第一講從洛書到幻方492357816大家仔細觀察一下右側這個3行3列的數陣圖，很快就會發現一個有趣的現象：它的每行、每列以及每條對角線上492357816幻方有大有小，剛才的這個幻方是3行3列的，因此也叫做三階幻方；如果幻方是4行4列的，我們就稱之為四階幻方；至于五階、六階幻方的含義依此類推．右圖是一個基本三階幻方，其實任意一個三階幻方都是可以由它變化而來的．比如用2至10構建一個三階幻方，那么只需要把基本三階幻方中的每一個數都加1即可；又如用2，4，6，…，16，18構建一個三階幻方，那么只需要把基本三階幻方中的每一個數都乘2即可．因此，學會構建三階幻方的方法，我們就可以很輕松地構建無數個三階幻方．我們先來學習一種很快構建三階幻方的方法．我國古代的數學家概括其構建方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”．如下圖所示：1和9對調1和9對調3和7對調12345678999274563814、2、8、6分別往外拉9927456381例題1用3，6，9，…，24，27這9個數構建一個三階幻方．「分析」用3，6，9，…，24，27構建三階幻方與用1~9構建三階幻方有什么聯系呢？

練習1用7，14，21，…，56，63這9個數構建一個三階幻方．下面我們來學習一般幻方的填法，包括三階、四階、五階或更高階幻方．例題2712142712142131116109「分析」每行、每列、每條對角線上所填數之和都相等，你能算出這個和是多少嗎？練習2712&495163811在右圖的方格表中填入恰當的數，使得每行、每列、每條對角線上的所填數之和都相等．那么“&”處所填的數是多少？8★A75有些時候一開始幻和是求不出來的，這個時候需要利用一類基本的數學思想——比較法來推導．如右圖三階幻方，我們取出有公共格（★）的一行一列．由于行和與列和相同，因此去掉“★”公共格后，剩下數的和仍然相同．也就是說，因此A就等于6．這種方法我們稱之為比較法，通過對有公共格的兩條直線進行比較分析，可以確定一些未知的空格．8★A75例題3請完成圖中的三階幻方：6358「分析」利用題目中已填的數是無法直接算出幻和的，可以利用“比較法”填出一些數，進而計算幻和嗎？練習3請完成圖中的三階幻方：141411722（1）幻和等于幻方中心方格內所填數的3倍，如右圖所示，即幻和；（2）所有經過中心方格的行、列或對角線上的三個數，均構成等差數列；（3）位置如a、b、c所示的三個格子滿足如下關系：．492492357816（1）幻和等于；（2）4、5、6，2、5、8，9、5、1，3、5、7均成等差數列；（3），，，．利用以上的幾個性質，就可以非常快捷地填出有空缺的三階幻方．例題4（1）請完成左下圖中的三階幻方．（2）在右下圖中的每個空格內填入一個數，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中的各數之和都等于27．「分析」嘗試用一下三階幻方重要性質解決問題吧！

練習4（1）請完成左下圖中的三階幻方．（2）已知右下圖這個幻方的幻和等于30，這個幻方中最大的數字是多少？711711796歐拉幻方如圖是一個歐拉幻方，它的每行或每列數之和為260，半行或半列之和為130．更妙的是一個國際象棋中的馬可以按照它的步法依正整數順序從1走到64．114831503316631830514636219143547249321534176452294452061361354425569402160285384124571237436552639105922542742758233811例題59378238468423087在圖中的每個空格內填入一個數，使得每行、每列及兩條對角線上的5個方格中的各數之和都相等．「分析」試著找一下交叉的兩個幻和，能否應用“比較法”填出一些格子，進而計算出幻和呢？

比較法就是通過對兩條有公共部分的直線進行幻和的比較，從而求出幻方中的一些未知數．這個方法不僅適用于幻方，也適用于一些與幻方類似（相等和數）的數陣圖問題．所以比較法在數學學習中是一種很重要的數學思想和解題方法．例題6319將319「分析」在填寫幻方時，我們常常找有公共方格的兩條直線進行比較分析，本題我們也可以用類似的方法．課堂內外神秘的洛書相傳在我國遠古的伏羲氏時代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負有一幅奇妙的圖案，這就是所謂的《河圖》．有一只神龜出沒于洛水，龜殼上有一些神秘的符號，這就是所謂的《洛書》．伏羲氏知道后，就按照《河圖》、《洛書》編制八卦，用以推算歷法，預測吉兇等．在我國的古籍《周易》、《尚書》、《論語》中都有關于《河圖》、《洛書》的記載．《周易》的系辭篇里是這樣記載的：“河出圖，洛出書，圣人則之．”這與上述傳說頗相吻合．也許這一記載正是上述傳說的來源或記錄吧！明朝的程大位也曾說：“數何肇自圖書乎，伏羲氏得之以畫卦，大禹得之以序疇，列圣得之以開物．”意思是說：“數起源于什么？它起源于河圖、洛書嗎？伏羲氏得到它后，用它繪制出八卦；大禹得到它后，用客觀存在來規劃田疇，其客觀存在圣賢得到后，用來開發物產．”那么，河圖究竟是一個什么樣的圖案，洛書究竟是一些什么樣的書寫符號呢？這在《周易》、《論語》這些典籍中都沒有記載．直到宋代，朱熹經解《周易》時，曾派他手下的學者蔡元定去四川，用高價才在民間收購到了華山道士搏傳出的《太極圖》、《河圖》、《洛書》等．其中《太極圖》與現在流傳的太極圖相同，而《河圖》《洛書》則是由一些圓圈點構成的圖形，洛書的形狀如左下圖所示．這與公元前一世紀時我國漢代的《大戴禮》一書中的九宮圖相合．所謂九宮，就是將一個正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個小正方格．每個小方格分別填入從1到9這九個自然數中的其中一個，不同的方格填入的數不同，使得三橫行中每一橫行三個數的和（叫行和），三縱列中每一縱列三個數的和（叫列和），兩條對角線中每一條對角線上三個數的和（叫對角和）都相等，等于．這樣得到的圖就叫九宮圖．與洛書相應的九宮圖如右下圖所示．作業用2、4、6、8、10、12、14、16、18這9個數構建一個三階幻方．

請將1~16填入圖中16個方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的各數之和都相等．現在已經填