第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《因式分解的應用》專項測試卷帶答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．設表示一個兩位數，其中十位數字為a，個位數字為b，表示的平方．規定：若一個正整數A能寫成，且，則稱A為“平方差數”，并把式子稱為“平方差分解”．例如：因為，所以56是“平方差數”；其中為“平方差分解”．(1)當時，請寫出一個“平方差數”及其“平方差分解”；(2)判斷400是否為“平方差數”？若是，寫出“平方差分解”；若不是，請說明理由．2．綜合與實踐“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，在探究“因式分解”時，我們借助直觀、形象的幾何模型，轉化成“幾何”形式來求解．運用到了“數形結合”的數學思想．下面，讓我們一起來探索其中的規律．【實踐操作】如下圖我們通過對立體圖形的體積進行變換來得到一些代數恒等式．（1）如圖1，在一個棱長為的正方體中挖出一個棱長為的正方體，再把剩余立體圖形切割（如圖2），得到三個長方體①、②、③（如圖3）．易得長方體①的體積為．則長方體②的體積為______，長方體③的體積為______（結果不需要化簡）．則因式分解______．【拓展延伸】（2）嘗試因式分解：3．如果一個正整數能表示成兩個連續偶數的平方差，那么這個正整數為“神秘數”．如：；因此，4，12，這三個數都是神秘數．(1)28是不是神秘數？為什么？(2)設兩個連續偶數為和（其中為非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數，請說明理由．4．如圖，在半徑為的圓形鋼板上沖去半徑為的四個小圓孔．若請你利用因式分解的方法計算出剩余鋼板的面積．（取3.14）5．閱讀材料：若，求，的值．解：．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)，則_____，______；(2)已知，求的值；(3)已知的三邊長為，b，c，且，滿足，請直接寫出的周長．6．閱讀材料材料1將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例：①；②．材料2因式分解：．解：將“”看成一個整體，令，則原式再將“A”還原，得原式．上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)根據材料1，把分解因式；(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：；②分解因式：．7．閱讀材料并解決問題：分解因式時，細心觀察這個式子就會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了，過程為：，這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種方法解決問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊長，b，c，滿足，試判斷的形狀．8．將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：．再如“”分法：．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：①．②．(2)已知：a、b、c為的三條邊，求的周長．9．運用完全平方公式可以將形如或的多項式進行因式分解，稱形如或的多項式為完全平方式．例如，即完全平方式“”中的第三項9恰好等于一次項系數“6”一半的平方．根據這個規律解答下列問題：(1)已知是完全平方式，則___________；(2)已知是完全平方式，則___________；(3)求的最小值．10．仔細閱讀下面的例題，解答問題：例：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．解：設另一個因式為，得則解得另一個因式為，的值為．仿照以上方法解答問題：(1)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值；(2)若二次三項式可分解為，求的值；(3)若二次三項式可分解為，求的值．11．【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法．【問題解決】(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)證明：若為正整數，則代數式的值一定是某個整數的平方．12．如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神奇數”．如：因此4，這三個數都是神奇數(1)直接判斷：______（是或不是）神奇數，______（是或不是）神奇數；(2)設兩個連續偶數為和（其中k取非負整數），下面是三個同學演算后的發現，請選出正確的“發現”________（填序號），并從你所選的序號中挑一個加以說理。①莆莆發現：由這兩個連續偶數構造的“神奇數”是4的倍數．②田田發現：若長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，則周長一定為神奇數．③仁仁發現：若長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，則面積一定為神奇數．13．閱讀理解應用待定系數法：設某一整式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個整式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值．待定系數法可以應用到因式分解中，例如問題：因式分解，因為為三次整式，若能因式分解，則可以分解成一個一次整式和一個二次整式的乘積故我們可以猜想可以分解成展開等式右邊得：，根據待定系數法原理，等式兩邊整式的同類項的對應系數相等可以求出，所以(1)若x取任意值，等式恒成立，則；(2)已知整式有因式，請用待定系數法求出該整式的另一因式．14．如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如，因此4，12，20這三個數都是神秘數．(1)28和2012這兩個數是神秘數嗎？為什么？(2)設兩個連續偶數為和（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4與奇數的積嗎？為什么？(3)兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什么？15．先閱讀下列解答過程：已知有一個因式，求m的值．解：可以設為一個因式為，則，即由此得：∴﹔也可以采用另一種方式：當時，解得．然后解答問題：(1)已知有一個因式，則另一個因式為___________；(2)已知有一個因式，求m的值；(3)已知多項式有一個因式，求k的值及直接寫出此多項式分解因式的結果．參考答案1．(1)（不唯一）(2)不是“平方差數”，理由見解析【分析】本題主要考查因式分解的應用，理解“平方差數”、“平方差分解”的定義是解答的關鍵．（1）根據“平方差數”、“平方差分解”的定義解答即可；（2）先把寫出，然后根據“平方差數”的定義判斷即可．【詳解】（1）解：∵∴272是“平方差數”，“平方差分解”為．（2）解：400不是“平方差數”，理由如下：∵，但∴400不是“平方差數”．2．（1）（2）【分析】本題考查因式分解的幾何應用、列代數式，根據題中給出的信息，結合數形結合思想是解答的關鍵．（1）根據幾何體各邊關系，結合長方體和正方體的體積公式求解即可；（2）將（1）中的b換為，進而化簡求解即可；【詳解】解：（1）由圖1知，長方體②的體積為，長方體③的體積為∴故答案為：；（2）將（1）中的b換成，則∴．3．(1)28是神秘數，理由見解析(2)兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數，理由見解析【分析】本題考查了新定義——“神秘數”，熟練掌握新定義，整式的乘法運算和平方差公式，是解題的關鍵．（1）根據“神秘數”的定義，只需看28能否寫成兩個連續偶數的平方差即可；（2）運用平方差公式進行計算．平方差公式：．【詳解】（1）解：∵∴28是“神秘數”；（2）解：兩個連續偶數構成的“神秘數”是4的倍數．理由如下：∵∴兩個連續偶數構成的“神秘數”是4的倍數．4．【分析】本題是因式分解的應用，用大圓的面積減去4個小圓的面積即可得到剩余部分的面積，然后把和的值代入后分解因式可得結果，熟練進行計算是解題的關鍵．【詳解】解：．5．(1)3，0(2)(3)或【分析】本題考查了因式分解的應用，偶次方的非負性，勾股定理的應用．（1）通過完全平方公式進行變式得，然后由非負數性質求得結果；（2）由得，然后由非負數性質求得結果；（3）把原方程化為，然后由非負數性質求得、c，進而根據勾股定理求得，便可求得三角形的周長．【詳解】（1）解：由，得∵≥0∴∴．故答案為：3；0．（2）解：由得：∴∴∴；（3）解：∵∴∴∴∴∵的三邊長為，b，c∴或∴的周長為或．6．(1)(2)①；②【分析】本題主要考查了因式分解的應用對于（1），根據材料一可知，即可分解；對于（2）①，令，再結合材料一分解，可得答案；②令，展開并整理，結合材料一分解，整體代入可得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：①令．原式；②令．原式.7．(1)(2)是等腰三角形【分析】本題考查了因式分解的應用．熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．（1）應用分組分解法直接分解因式即可；（2）首先應用分組分解法，把分解因式，然后得到，從得到是等腰三角形．【詳解】（1）解：；（2）解：的三邊長，b，滿足．是等腰三角形．8．(1)①；②(2)7【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法時，要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續分解，還是分組后利用各組本身的特點進行解題．（1）①根據“”分法即可得出答案；②根據“”分法即可得出答案；（2）運用完全平方公式進行分解因式，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：（1）①；②；（2）解：的周長．9．(1)16(2)14或(3)84【分析】本題考查了因式分解的應用，理解題意，熟練運用完全平方公式解決問題是解題的關鍵．（1）根據題目信息中的完全平方式的特點求解即可；（2）根據題目信息中的完全平方式的特點求解即可；（3）利用完全平方式的特點，將變形為，再根據完全平方式的非負性即可解答．【詳解】（1）解：是完全平方式．故答案為：16．（2）解：是完全平方式，且或解得：或．故答案為：14或．（3）解：的最小值為84即的最小值為84．10．(1)，-6(2)(3)【分析】本題考查因式分解的意義．（1）設另一個因式為，得，可知，繼而求出t和k的值及另一個因式．（2）將展開，根據所給出的二次三項式即可求出a的值；（3）展開，可得出一次項的系數，繼而即可求出b的值．【詳解】（1）解：設另一個因式為，得解得另一個因式為，的值為；（2）解：∴解得；（3）解：．11．(1)(2)(3)見解析【分析】本題考查分解因式的應用，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．（1）用換元法設，將原式化為，再利用十字相乘法因式分解得出，再將A還原即可；（2）設，則原式，再利用完全平方公式變形，將B還原即可；（3）先計算，同理（2）計算即可．【詳解】（1）解：設原式．（2）解：設原式；（3）證明：原式設原式．

為正整數為正整數．代數的值一定是某個整數的平方．12．(1)是，不是(2)①②【分析】本題主要考查了因式分解的應用，找到一般規律是解題關鍵．（1）設兩個連續偶數為和（其中k取非負整數），則，據此即可判斷；（2）根據（1）中的結論即可判斷；【詳解】（1）解：∵∴是神奇數；設兩個連續偶數為和（其中k取非負整數）則令，解得：（不符合題意）；∴不是神奇數；故答案為：是，不是（2）解：由（1）得：∴由這兩個連續偶數構造的“神奇數”是4的倍數．故①正確；若長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，設其為和（k取正整數）則周長，故周長一定為神奇數，故②正確；面積∵為奇數，而是偶數∴面積不是神秘數．故③錯誤；故答案為：①②13．(1)1(2)【分析】此題考查多項式乘以多項式法則、因式分解的實際運用，理解題意，掌握待定系數法分解因式的方法與步驟是解決問題的關鍵．（1）直接對比系數得出答案即可；（2）根據題意設，進一步展開對比系數得出答案即可．【詳解】（1）∵恒成立∴∴；（2）設∴∴多項式的另一因式是．14．(1)28和2012這兩個數是神秘數，理由見解析(2)由這兩個連續偶數構造的神秘數是4與奇數的倍數，理由見解析(3)兩個連續奇數的平方差不是神秘數，理由見解析【分析】此題考查的知識點是因式分解的應用，主要是平方差公式的靈活應用．（1）把28、2012寫成平方差的形式，即可判斷是否是神秘數；（2）化簡兩個連續偶數為和的平方差，再判斷；（3）設兩個連續奇數為和，則，即可判斷兩個連續奇數的平方差不是神秘數．【詳解】（1）解：28和2012這兩個數是神秘數，理由見解析是神秘數；是“神秘數”；（2）解：由這兩個連續偶數構造的神秘數是4與奇數的倍數，理由如下：∵是奇數由和構造的神秘數是4與奇數的積．（3）解：設兩個連續奇數為和則由（2）可知：神秘數是4的奇數倍，而兩個連續奇