★小學五年級奧數專題講解之“列方程組解應用題

(三)”

(-)閱讀思考，學會方法。

例1.解方程組：

J3x+7)，=13(I)

[4x-7y=\⑵

分析與解答：在這個方程組的兩個方程中，未知數y的系數相同但符號相反，如果把這

兩個方程的兩邊分別相加，就可以消y,得到一個一元一次方程。

(1)+(2)，得

3x\+iy>=13

+)?1%=1

lx=14

x=2

把x=2代入(1),得

3x2+7y=13

y=i

[x=2

*.

,7=1

例2.解方程組：

9x+2y=35(1)

‘3x+4y=25(2)

分析與解答：在這個方程組的兩個方程中，同一個未知數的系數都不相同，如果直接把

這兩個方程的兩邊分別相加或相減，都不能消去任何一個未知數。但我們可以把方程⑴的

兩邊同乘以2,就可以使兩個方程的未知數y的系數相等，而且符號相同，只要把方程兩邊

分別相減，就可消去未知數y。

(1)X2,得

18x+4y=70(3)

(3)-(2),得

18x+4y=70

一)3x+4)，=25

15x=45

x=3

把x=3代入(2),得

3x3+4y=25

y=4

x=3

y=4

想一想：如果先消去未知數x,又應當怎樣解呢?

聰聰列出如下算式，這樣解方程對嗎？

J9x+2y=35(I)

[3x+4y=25(2)

(2)x3,得

9x+12y=75⑶

(3)一⑴

9x+12y=75

-)9x+2y=35

10)，=40

y=4

把)'=4代入(2)

3x+4x4=25

x=3

fx=3

y=4

例3.解方程組：

3y=18-5x(1)

[3x=4+5)(2)

分析與解答：這個方程里的兩個方程都不是標準形式，為了便于應用加減消元法，首先

應根據方程的同解原理,先把每?個方程都整理成標準形式，即:

5x+3y=18⑶

[3x_5y=4

(4)

(3)X5,得

25x+15y=90⑸

(4)X3,得

9x-15y=12(6)

(5)+(6),得

34x=102

x=3

把x=3代入(3)

5x3+3v=18

3y=3

y=i

x=3

*?

7=1

用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：

(1)把方程組里的每一個方程都整理成標準形式；

(2)把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以一個適當的數，使兩個方程里的某一個未知

數的系數相等：

(3)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得出一個一元一次方程；

(4)解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；

(5)把求出的未知數的值代入方程組里的任何一個方程，求出另一個未知數的值；

(6)把所求得的兩個未知數的值寫在一起，就是方程組的解。

(二)嘗試討論，合作交流。

在解方程組時，究竟采用哪種方法比較簡便？請解下列方程組。

5x+=182x+3y=\\

①12x-3），=3

②5y=3

2x-y=03y=87-2x

④9=7+5y

③匕?"3y=l

聰聰總結說：在一般情況下，當方程組中一個方程的某一個未知數的系數是1時，或者

一個方程的常數項是零時，用代入法比較簡便；在兩個方程的同一個未知數的系數相等或成

整倍數時，用加減法較為簡便。

(三)靈活運用，創新發展。

1.綠化隊完成春季植樹任務，如果每人植樹】5棵，則的85棵未植；如果每個植樹17棵,

則有29棵未植，綠化隊有多少人？春季植樹多少棵？

2.六年級一、二班都有44名學生，兩班都有一些同學參加了數學課外小組。一班沒參加

的人數是二班參加人數的4倍；二班沒參加人數是一班參加人數的3倍。求一班、二班參加

數學課外小組的各有幾人，

3平行四邊形ABCD的周長為75厘米(如圖)，以BC為底時高14厘米，以CD為底時

高是16厘米，求平行四邊形面積是多少平方厘米？

BE

【試題答案】

(二)嘗試討論，合作交流。

在解方程組時，究竟采用哪種方法比較簡便？請解下列方程組。

5x+3y=18⑴

①卜一3),二3(2)

⑴+⑵，得

7x=21

尢=3

把x=3代入(1)

5x3+3y=18

3)，=3

)二1

x=3

*v

y=i

2x+3y=11(1)

②[2x-5y=3(2)

(1)一⑵

8y=8

y=1

把)"1代入⑴

2x4-3x1=11

2x=8

x=4

x=4

??

J二]

2x-y=0(1)

③伍—3y=l(2)

將(1)變形，得

j=2x-0(3)

y=2x

把⑶代入⑵

7X-3(2X)=1

lx-6x=\

x=1

把x=l代入(3)

y=2x1

)'=2

X=1

…y=2

3_y=87-2jv(1)

④(3x=7+5y(2)

將⑴和⑵整理，得

2x+3)，=87(3)

3x-5y=7(4)

將(3)X5,(4)X3,得

10戈+15)，=435(5)

9x-15y=21(6)

把(5)+(6),得

19x=456

x=24

把x=24代入(1)

3y=87—2x24

3y=39

y=13

x=24

聰聰總結說：在一般情況下，當方程組中一個方程的某一個未知數的系數是1時，或者

一個方程的常數項是零時，用代入法比較簡便；在兩個方程的同一個未知數的系數相等或成

整倍數時，用加減法較為簡便。

(三)靈活運用，創新發展。

1.綠化隊完成春季植樹任務，如果每人植樹15棵，則有85棵未植：如果每人植樹17棵,

則有29棵未植，綠化隊有多少人？春季植樹多少棵？

解：設綠化隊有x人，春季共植樹y棵。根據題意列出二元一次方程組：

15x=y-85(1)

[17x=y-29(2)

(2)-(1)

17x-15x=y-29-(y-85)(3)

把方程(3)整理得：

2x=y-29-y+85

2x=56

i=28

將x=28代入(1)

15x28=y-85

)，=420+85

y=505

x=28

y=505

答：綠化隊有28人，春季植樹505棵。

2.六年級一、二班都有44名學生，兩班都有一些同學參加了數學課外小組。一班沒參加

的人數是二班參加人數的4倍；二班沒參加人數是一班參加人數的3倍。求一班、二班參加

數學課外小組的各有兒人，

解：設一班參加數學小組的有x人，二班參加數學小組有y人。

44-x=4y(I)

44-y=3x⑵

由⑴得：x+4y=44⑶

由(2)得：3x+y=44(4)

⑶X3得：3x+12y=132(5)

(5)—(4)得：

11)，=88

y=8

將)'=8代入(])得：

447=48

x=12

x=12

y=X

答：一班參加數學小組的有12人，二班參加數學小組的有8人。

3平行四邊形ABCD的周長為75厘米(如圖)，以BC為底時高14厘米，以CD為底時

高是16厘米，求平行四邊形面積是多少平方厘米？

解：設BC的長度為x厘米，CD的長度為y厘米。