學生課程講義

課程名稱五年級奧數上課時間任課老師沈老師

第25講,本講課題：完全平方數

內容概要

一個自然數自乘所得的積稱為完全平方數，100以內的完全平方數（又稱平方數）是0、1、2

X2=4、3X3=9、4X4=16、5X5=25、6X6=36、7X7=49、8X8=64、9X9=81共10個,平方數

有一些特別的性質，可以解決一些有趣的問題:少年宮游戲廳內懸掛著200個彩色燈泡,這些燈

泡或明或暗，閃爍不停.這20C個燈泡按「200編號,它們每過1秒變化一下自己的明暗狀態.

開始時,全部燈泡是暗的第1秒,全部燈泡是亮著的；

第2秒，凡編號為2的倍數的燈泡改變自己的明暗狀態,即變暗；

第3秒，凡編號為3的倍數的燈泡改變自己的明暗狀態：明的變暗，暗的變明……依次類推,

第n秒鐘,凡編號為n的倍數的燈泡改變原來的明暗狀態.每200秒鐘為一周期.即到201秒時,

全部燈泡大放光明，然后繼續上述規則改變

原來的狀態.問:第200秒時，明亮的燈泡有多少

事實上，每個燈泡如果明暗改變次數為偶數次時，它還保持原來的明暗狀態;如果變化次數

為奇數次時，則明暗狀態發生改變，原來明亮的燈泡將變暗,原來不亮的燈泡將變明亮.由于平

方數的不同約數個數為奇數,從第2秒開始（此時，偶數編號燈泡變暗,奇數編號燈泡是亮的）起

到200秒止，中間的平方數有4、9、16、25、36>49、64、81、100、12k144、169、196,在

這些秒時，同樣編號的燈泡由暗變明，加上1號燈泡始終是亮的,共14個燈泡是亮的.下面舉例

來討論平方數的一些問題。

【例1】在1-2016的自然數中，完全平方數共隨堂練習1

有（）個在324、897、211、247、546中，哪些數

是完全平方數。

【例2146035乘以一個自然數a,是一個平方【例4】

數,a最小是多少？請找出符合下列性質的所有四位數:

⑴它是一個平方數；

（2）開始兩位數的數字要相同；

（3）最末兩位數的數字要相同

隨堂練習2

203500乘一個自然數a,是一個平方數，a最

小是多少？

隨堂練習3

自然數N是一個兩位數,它是一個完全平方

數,而且N的個位數字與十位數字都是完全平

方數，這樣的自然數是（）

【例3】下面是一個算式

1+1X2+1X2X3+1X2X3X4+1X2X3X

4X5+1X2X3X4X5X6.這個算式的得數能

［例5］有一些自然數（0除外）既是平方數,

否是某個數的平方？

又是立方數（注:平方數可以寫成兩個相同的

自然數的乘積，立方數可以寫成三個相同的

自然數的乘積）.如：1=1X1=1X1X1,64=8X

8=4X4X4,那么1000以內的自然數中，這樣

的數有（〉個

［例6］下式中每個漢字表示1-9中的一個2、把一個兩位數的個位數字與其十位數字交

數字,不同的漢字代表不同的數字.已知換后得到一個新數，它與原來數加起來的和

熱2+愛2+小2=學2+奧2+數2那么，請寫恰好是某個自然數的平方，這個和是（）

出符合上述條件的一個等式:

3、哥哥對弟弟說：“到21世紀的六年，我恰

好是X歲，"哥哥生于（）年。

隨堂練習44、在自然數中,恰好有3個因數的兩位數共

12345654321是平方數嗎?有（）個。

5、祖孫三人，孫子年齡與爺爺年齡之積是

1512,而爺爺、父親、孫子三人年齡之積是完

全平方數,則父親年齡是（）歲。

練習題

一、填空題

1、一個兩位數等丁它個位數字的平方與「位

數字之和,這個兩位數是6、（/+22+3?+…+20149除以7的余數是（）

7、2235與2016的和除以7的余數是()12、1234567654321X(1+2+3+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

等于()

8、在2024到2499之間有多少個平方數？

13、請說明從1開始的連續n個奇數的和是