第01講平面向量的概念及其線性運算(精講）目錄TOC\o"13"\h\u第01講平面向量的概念及其線性運算(精講） 1第一部分：知識點必背 21、向量的有關概念 22、向量的線性運算 22.1向量的加法 22.2向量的減法 22.3向量的數乘 3第二部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：平面向量的概念 4角度1：平面向量的概念與表示 4角度2：模 6角度3：零向量與單位向量 10角度4：相等向量 12高頻考點二：向量的線性運算 16角度1：平面向量的加法與減法 16角度2：平面向量的數乘 18高頻考點三：共線向量定理的應用 22第三部分：數學文化題 29溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、向量的有關概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.2.3向量的數乘向量數乘的定義:一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數仍存在，但不唯一．4、常用結論4.1向量三角不等式①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；4.2中點公式的向量形式：若為線段的中點，為平面內任意一點，則.4.3三點共線等價形式：（，為實數），若，，三點共線第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示典型例題例題1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學校考階段練習）關于向量，，下列命題中，正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【詳解】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A錯誤；若，得方向相反，則，故B正確；當，與不一定平行，故C錯誤；盡管兩個向量的模有大小之分，但兩個向量是不能比較大小的，故D錯誤；故選：B．例題2．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學校聯考階段練習）下列說法正確的是（

）①有向線段三要素是始點、方向、長度；

②向量兩要素是大小和方向；③同向且等長的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【詳解】由有向線段、向量、同一向量的定義可以判斷①②③正確，由平行四邊形的性質可知，顯然④正確，故選：D例題3．（多選）（2023春·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）下列說法中錯誤的是（

）A．單位向量都相等 B．對于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則【答案】ACD【詳解】對于A，單位向量模都為1，方向不一定相同，故A錯誤；對于B，若方向相同，則，若方向相反，則，若不共線，根據向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知.綜上可知對于任意向量，必有，故B正確；對于C，平行向量就是共線向量，故C錯誤；對于D，兩個向量不能比較大小，故D錯誤.故選：ACD.練透核心考點1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學校考階段練習）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【詳解】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.故選：A2．（2023·全國·高一專題練習）給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．其中不是向量的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【詳解】①質量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個不是向量.故選：C3．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高級中學校考階段練習）判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則；④若，則．其中，正確的命題個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】對于①，兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點一定相同，故正確；對于②，當是零向量時，不能說與方向相同或相反，故錯；對于③，如果，則與可以不共線，所以不正確；對于④，向量不能比較大小，故不正確；故選：B．角度2：模典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）正方形的邊長為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【詳解】在正方形中，如圖所示,根據向量加法的平行四邊形法則，,又因為正方形的邊長為1，所以，故選：B.例題2．（2023·全國·高三專題練習）對于非零向量，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】對于非零向量，，可得，所以，充分性成立，但，此時的方向不定，不能推出，必要性不成立，故選：A．例題3．（2023·高一課時練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中．（1）單位向量共有______個；（2）模為的向量有______；（3）與相等的向量有______；（4）的相反向量有______．【答案】

8

、、、、、、、

、、

、、、【詳解】（1）由圖可知，，所以單位向量有個；（2）由圖可知，，所以模為的向量有：、、、、、、、；（3）由圖可知，，所以與相等的向量有：、、；（4）由圖可知，，所以的相反向量有：、、、；故答案為：；、、、、、、、；、、；、、、.例題4．（2023·全國·高一專題練習）已知等腰的直角邊長為1，為斜邊上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，顯然當為斜邊中點時，，此時最小為，即的最小值為.故選：A.練透核心考點1．（2023春·北京朝陽·高一校考階段練習）已知，，，則（

）．A．1 B．2 C．3 D．2或者6【答案】D【點睛】，與共線，又，，則或，或.故選：D.2．（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）如圖，在菱形ABCD中，，，則______．【答案】【詳解】如圖所示，設菱形對角線交點為O,．因為，所以，所以為等邊三角形．又，，所以．在中，，所以．故答案為:3．（2023·全國·高一專題練習）已知為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號）①；②；③；④.【答案】①②③【詳解】對于①，，故①成立；對于②，設分別為的中點，則，，，所以，故②成立；對于③，，所以，故③正確；對于④，，故④不成立.故答案為：①②③.4．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，已知網格小正方形的邊長為1，點P是陰影區域內的一個動點（包括邊界），O，A在格點上，則的最小值是____________；最大值是____________.【答案】

【詳解】本題即求點A到陰影區域中的點距離的最值，如圖，于是最小值為，最大值為.故答案為：.角度3：零向量與單位向量典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）下列說法：①零向量是沒有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個向量共線.其中，正確說法的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由零向量定義及性質知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯誤，②③正確；故選：C例題2．（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）如果，是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，若向量，的方向不同時，，A不一定正確；對于B，若向量，不共線時，，B不一定正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確．故選：D．例題3．（多選）（2023春·山東濰坊·高一山東省濰坊第四中學校考階段練習）下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若與共線，則或C．若為單位向量，則D．是與非零向量共線的單位向量【答案】AD【詳解】依題意，對于A：若，則，故A正確；對于B：若與共線，則，故B錯誤；對于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯誤；對于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.故選：AD.練透核心考點1．（2023春·貴州貴陽·高一校考階段練習）下列說法正確的是（

）A．在正方形中,B．已知向量,則A,B,C,D四點必在同一條直線上C．零向量可以與任一向量共線D．零向量可以與任一向量垂直【答案】C【詳解】對于A:與模長相等,方向不同,故不成立.對于B:向量共線指的是其方向相同或相反,不一定在同一條直線上,例如平行四邊形中,但四點不共線;對于C、D:零向量與任意向量共線,但不能說零向量與任意向量垂直.向量垂直指的是兩個非零向量成°.綜上,應選C.故答案為:C.2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學校聯考階段練習）下列說法中不正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個非零向量必不相等【答案】B【詳解】根據規定：零向量與任一向量平行，A正確；方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤；單位向量是模為1的向量，C正確；根據相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確；故選:B.3．（2023春·天津和平·高一校考階段練習）下列說法正確的是（）A．向量與向量的長度相等B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C．零向量的大小為0，沒有方向D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【答案】A【詳解】對于A：向量與向量的長度相等，正確；對于B：有共同起點，且長度相等的向量，若方向不同，它們的終點不同，錯誤；對于C：零向量的大小為0，方向為任意方向，錯誤；對于D：若兩個單位向量平行，則它們的方向可能相反，此時它們不是相等向量，錯誤；故選：A.4．（2023·全國·高一專題練習）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：對①：零向量的方向是任意的，故①錯誤；對②：零向量的長度為0，故②正確；對③：零向量的方向是任意的，故③正確；對④：單位向量的模都等于1，故④正確.故選：C.角度4：相等向量典型例題例題1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學校考階段練習）對于向量、，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因為時一定有，所以“”是“”的必要條件，但時，兩個向量不一定相等，如零向量與任意非零向量都平行，但不相等，所以“”是“”的不充分條件.所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．例題2．（多選）（2023春·廣東揭陽·高二校考階段練習）如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】AD【詳解】因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以，，，故選：AD例題3．（2023·高一課時練習）是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，在如圖所示的向量中：（1）分別找出與，相等的向量；（2）找出與共線的向量；（3）找出與模相等的向量；（4）向量與是否相等？【答案】（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．【詳解】因為是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，所以，；（1）由題中圖形可得：，；（2）由圖形可得，與共線的向量有：，，；（3）與模相等的向量有：，，，，，，；（4）向量與不相等，因為它們的方向不相同．例題4．（2023·高一課時練習）窗，古時亦稱為船牅，它伴隨著建筑的起源而出現，在中國建筑文化中是一種獨具文化意蘊和審美魅力的重要建筑構件．如圖，是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為1米的正方形，內嵌一個小正方形，且、、、分別是、、、的中點，則與相等的向量為________，的負向量為________．【答案】

【詳解】因為四邊形為正方形，所以，且，又E、F、G、H分別是AF、BG、CH、DE的中點，所以，所以相等的向量有，的負向量有.故答案為：，.練透核心考點1．（2023春·天津濱海新·高一天津經濟技術開發區第一中學校考階段練習）下列敘述中正確的個數是：（

）①若，則；②若，則或；③若，則④若，則⑤若，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】解：因為向量不能比較大小，所以①錯誤，如單位向量模都為1，方向任意，所以②錯誤，當時，，但是與不一定相等，所以③錯誤，當時，和可能不平行，所以④錯誤，兩個向量相等則它們一定平行，所以⑤正確，故選：B2．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：（1）與相等的向量有哪些？（2）的相反向量有哪些？（3）與共線的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）與長度相同，方向相同的向量有：；（2）與長度相同，方向相反的向量有：；（3）與方向相同或相反的向量有：.3．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.（1）寫出與共線的向量；（2）寫出與的模大小相等的向量；（3）寫出與相等的向量.【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3）與.【詳解】（1）因為E，F分別是AC，AB的中點，所以.所以與共線的向量有：，，，，，，；（2）由（1）知且，又D是BC的中點，故與模相等的向量有：，，，，；（3）與相等的向量有：與.高頻考點二：向量的線性運算角度1：平面向量的加法與減法典型例題例題1．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠第一中學校考期中）設為對角線的交點，為任意一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：在OAC中，因為是平行四邊形ABCD的對角線的交點，所以，即．在OBD中，因為是平行四邊形ABCD的對角線的交點，所以，即．所以．故選：D．例題2．（2023春·浙江金華·高一校考階段練習）設點，，分別是的三邊，，的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.例題3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習）下列四式可以化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，正確；對選項C：，正確；對選項D：，錯誤．故選：ABC例題4．（2023春·湖北·高一校聯考階段練習）如圖，，，，分別是梯形的邊，，，的中點，，，，，用，表示下列各式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知：．（2）

．練透核心考點1．（2023春·福建南平·高一校考階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故選：C2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中學校考階段練習）下列各式中不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：B3．（2023春·北京順義·高一北京市順義區第一中學校考階段練習）化簡所得的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.4．（2023春·新疆喀什·高一校考階段練習）化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）.（2）角度2：平面向量的數乘典型例題例題1．（2023·江蘇南通·二模）在平行四邊形中，，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，所以，，所以，故選：D例題2．（2023春·重慶·高一校聯考階段練習）若在線段上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】在線段上，，，，對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點，若，其中，為實數，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【詳解】由題意可得：，若，則，可得，故.故選：D.例題4．（2023春·云南·高二校聯考階段練習）我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在趙爽弦圖”中若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】依題意，，而，因此，解得，所以.故選：C練透核心考點1．（2023·北京西城·統考一模）已知為所在平面內一點，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意作出圖形,如圖,則，故選：A.2．（2023春·天津濱海新·高一大港一中校考階段練習）在中，點D滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，得到，即.故選：A.3．（多選）（2023春·重慶·高一校聯考階段練習）如圖，在直角梯形中，，與交于點，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對于A，，，，，，即，A正確；對于BC，由A知：，B正確，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.4．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習）如圖，在中，，若，則__________．【答案】【詳解】解：又，.∴．故答案為：．高頻考點三：共線向量定理的應用典型例題例題1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習）如圖所示，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】C【詳解】若三點共線，，則，理由如下：因為三點共線，則有，即，即，故，故，其中，、、三點共線，，，當且僅當，即時，等號成立．故選：C．例題2．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學新校校考階段練習）在中，，，與相交于點，設，(1)用，表示；(2)過點作直線分別與線段，交于點，，設，，求的最小值.【答案】(1)(2).【詳解】（1），C，Q三點共線，設，即，，同理由P，C，B三點共線可得：，其中，根據平面向量基本定理知：，解得，.（2）由三點共線，又由知，所以故，當且僅當故的最小值為.例題3．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考階段練習）如圖所示，在中，，分別是，的中點，．(1)用表示；(2)求證：，，三點共線．【答案】(1)，；(2)證明見解析【詳解】（1）在中，分別是的中點，則，故，；（2）證明：因為，，所以，所以，又因有公共點，所以三點共線．例題4．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中校考階段練習）如圖，在中，，，直線與直線交于點.(1)若點滿足，證明，，三點共線；(2)設，，以為基底表示.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，E為AC中點，，，，，與共線，又與有公共點，所以，，三點共線.（2）設，由，，E為AC中點，，，，三點共線，，，，，.練透核心考點1．（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學校考階段練習）如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交射線于不同的兩點.設，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由圖象可知，因為，且三點共線，所以，即，選項A錯誤；，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，C正確；，當且僅當，即時等號成立，D錯誤，故選：BC2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學校聯考階段練習）已知點G在內部，且，(1)求證：G為的重心；(2)過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點M，N，設，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設BC的中點為D，則，即，∴點G在的中線AD上，且滿足，故G為的重心.（2）由點G為的重心，則，∵三點共線，則，且，由題意可得：，則，消去可得，∵點M，N分別在邊AB，AC上，則，可得，當且僅當時，等號成立，解得，故的最小值為.3．（2023春·四川德陽·高一四川省德陽中學校校考階段練習）設兩個非零向量，不共線．(1)若，，，求證：，，三點共線；(2)若與共線，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因為，又，有公共點，，，三點共線；（2）因為和共線，兩個非零向量，不共線，存在實數，使得，，解得．4．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學校考階段練習）如圖，在長方形中，E為邊DC的中點，F為邊BC上一點，且．，設，．(1)試用基底，，表示，，；(2)若G為長方形內部一點，且，求證：E，G，F三點共線．【答案】(1)；；(2)證明見解析【詳解】（1）；；.（2），，，設，，即，解得，故，，故三點共線.第三部分：數學文化題1．（2023·全國·高三校聯考階段練習）分割〔〕是一種數學上的比例關系.分割具有嚴格的比例性、藝術性、