/北京順義區2023~2024學年高三數學第二學期3月月考試題第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項中只有一是符合題目）1.一質點做直線運動，若它所經過的路程與時間的關系為（的單位：m，的單位：s），則時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數求瞬時變化率.【詳解】，則，有，所以時的瞬時速度為16m/s.故選：A2.在的二項展開式中，二項式系數最大的項是（）A.第7項 B.第3和第4項 C.第4項 D.第3項【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用二項式系數性質直接求出結論.【詳解】二項式的展開式有7項，所以二項式系數最大的項是第4項.故選：C3.已知函數，則在點處的切線斜率是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線的斜率.【詳解】函數，求導得，所以所求切線的斜率為.故選：D4.下列函數的求導運算中，錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本函數的導數公式及導數的運算法則逐項求導判斷即可.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：C5.下列函數中，在區間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數求出各函數的單調區間，即可判斷.【詳解】對于A：定義域為，且，所以在區間上單調遞增，故A錯誤；對于B：定義域為，，所以當時，當時，即在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；對于C：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；對于D：定義域為，又，所以或時，當時，所以在，上單調遞減，在上單調遞增，故D正確.故選：D6.在0，1，2，3，4，5這6個數中任取4個，可組成無重復數字的四位數的個數（）A.240 B.300 C.320 D.360【答案】B【解析】【分析】由分步乘法原理計算可得.【詳解】分步完成，第一步，首位數字不能為零，有5種取法；第二步，其余三位數可以從剩下的五位數中任取三位，共有種取法；所以一共有種，故選：B.7.如圖所示為函數的導函數圖象，則下列關于函數的說法正確的有（）①單調減區間是；②和4都是極小值點；③沒有最大值；④最多能有四個零點.A.①② B.②③ C.②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】利用給定的導函數圖象，求出函數的單調區間，再逐一分析各個命題判斷得解.【詳解】觀察圖象知，當或時，，當或時，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數在上不單調，①錯誤；和4都是極小值點，②正確；函數在取得極大值，當不小于函數在上的所有函數值時，函數有最大值，③錯誤；當，，且函數函數在上的圖象都與軸相交時，函數在上各有1個零點，共有4個零點，因此最多能有四個零點，④正確，所以關于函數的說法正確的有②④.故選：C8.若函數存在極大值，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數的定義域與導函數，分、、三種情況討論，分別得到函數的單調性，從而確定函數的極值點，即可判斷.【詳解】函數的定義域為，又，當時為常數函數，不存在極值，故舍去，當時，令，解得，則當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則在處取得極小值，不存在極大值，不符合題意；當時，令，解得，則當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得極大值，符合題意；綜上可得.

故選：A9.對于上可導的任意函數，若當時滿足，則必有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定不等式，得到函數在、時的函數值變化關系，結合不等式性質推理得解.【詳解】由，得當，即時，，函數不單調遞減，則；當，即時，，函數不單調遞增，則；由不等式的性質得：.故選：C10.已知函數，若有且只有一個零點，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數的導數，按分類，結合函數單調性、極值討論函數的零點是否符合題設要求即可得解.【詳解】顯然，否則函數有兩個零點，不符合題意，函數，求導得，當時，由，得或，函數在上單調遞增，，則函數在上有一個零點，不符合題意；當時，由，得或，由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值，而，則在上有唯一零點，因為有且只有一個零點，且，則當且僅當，于是，所以實數的取值范圍是.故選：A第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.口袋中有4個紅球，5個白球，且都編有不同號碼，現要從中取出1個白球和2個紅球的不同取法有__________種.（用數字作答）【答案】30【解析】【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及組合應用問題列式計算即得.【詳解】求不同取法種數，需要兩步，先取出一個白球，有種方法，再取出兩個紅球，有種方法，由分步計數乘法原理得不同取法有（種）.故答案為：3012.的展開式中含的系數為__________．（用數字作答）【答案】40【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式求指定項的系數.【詳解】的展開式中通項公式為，令，解得，∴展開式中含項是第3項，它的系數是.故答案為：40.13.現有3名女生，3名男生要站成一排，則男生甲不能站在左端，并且3名女生必須相鄰的不同排列方式有__________種.（用數字作答）【答案】108【解析】【分析】把3名女生視為一個整體，利用相鄰問題及有位置限制的排列問題，列式計算即得.【詳解】把3名女生視為一個整體，與除甲外的另2名男生任選一個在左端，有種方法，再把甲與余下兩個作全排列，有種方法，最后排相鄰的3名女生，有種方法，所以不同排列方式有（種）.故答案為：10814.從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員1人組成3人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法.（用數字作答）【答案】216【解析】【分析】根據題意，分為1女2男和2女1男，再利用排列、組合求解每類的種數，結合計數原理，即可求解.【詳解】第一類，選1女2男，有種，這3人選2人作為隊長和副隊有種，故有種；第二類，選2女1男，有種，這3人選2人作為隊長和副隊有種，故有種，根據分類計數原理共有種，故答案為：21615.已知函數，下列命題中：①函數有且僅有兩個零點；②函數在區間和內各存在1個極值點；③函數不存在最小值；④，，使得；⑤存在負數，使得方程有三個不等的實數根.其中所有正確結論的序號是_______________.【答案】①④【解析】【分析】求出的定義域及導數，結合函數零點、極值點及最小值的意義逐一判斷各個命題得解.【詳解】函數的定義域為R，求導得，對于①，由，得或，函數有且僅有兩個零點，①正確；對于②，由，即，解得或，或時，，當時，，即是函數的極值點，而，②錯誤；對于③，顯然函數在上遞減，在上遞增，而當時，恒成立，又的極小值，因此是的最小值，③錯誤；對于④，由于，恒成立，當時，，因為，所以時，使得，④正確；對于⑤，顯然當或時，，而當時，遞減，當時，遞增，且當時，，因此直線與函數的圖象最多有兩個公共點，即方程最多有兩個不等的實數根，⑤錯誤，所以所有正確結論的序號是①④.故答案為：①④三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明過程或演算步驟.）16.已知的二項展開式中第二項的系數與第三項的系數的和是48.（1）求的值以及展開式的通項；（2）求展開式中的常數項；（3）直接寫出展開式系數最大的項.【答案】（1），通項為，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）寫出通項公式，得到第二項和第三項的系數，得到方程，求出，進而得到通項；（2）在（1）的基礎上得到，求出常數項；（3）當為奇數時，項的系數為負數，當為偶數時，項的系數為正數，列舉出為偶數時各項的系數，比較后得到答案.【小問1詳解】的通項公式為，第二項的系數為，第三項的系數為，故，解得，負值舍去，故展開式的通項為，；【小問2詳解】由（1）知，，令，解得，故，故常數項為；【小問3詳解】系數最大的項為，理由如下：由通項公式可得，，當為奇數時，項的系數為負數，當為偶數時，項的系數為正數，故當時，，當時，，當時，，當時，，故展開式系數最大的項為.17.已知函數在時取得極值.（1）求函數的單調區間；（2）求函數在區間上的最小值.【答案】（1）遞增區間是，遞減區間是；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，由給定的極值點求出值并驗證，再解導數大于0、小于0的不等式即得.（2）利用（1）中單調區間求出極小值及端點處的函數值即得.【小問1詳解】函數，求導得，由函數在時取得極值，得，解得，此時，顯然是的變號零點，即是極值點，因此，，當或時，，當時，，所以函數的遞增區間是，遞減區間是.【小問2詳解】由（1）知，函數的在上單調遞增，在上單調遞減，，，所以函數在區間上的最小值是.18.已知函數，，其中.（1）求證：對任意，總有恒成立；（2）求函數在區間上的最小值；（3）當時，求證：函數在區間上存在極值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得對任意的恒成立，令，利用導數說明函數的單調性，求出函數的最小值，即可得證；（2）求出函數的導函數，分、兩種情況討論得到在上的單調性，再結合所給區間，分3種情況討論函數的最小值；（3）利用導數說明導函數單調性，以及隱零點的思想證明即可.【小問1詳解】依題意對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，即對任意的恒成立；小問2詳解】因為，則，①當時，所以在上單調遞增，當時；②當則時，時，即在上單調遞減，在上單調遞增；又，所以當時在上單調遞增，所以；當時在上單調遞減，所以；當，則；綜上可得.【小問3詳解】因為，，則，令，則，因為，所以恒成立，所以即在上單調遞增，又，當時，，所以，所以使得，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以在處取得極小值，即函數在區間上存在極值.19.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）判斷函數在區間上的單調性；（3）是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）遞增；（3）存在，.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程.（2）由導數值恒正判斷函數單調遞增.（3）假定存在，分離參數構造函數，利用導數探討最大值即可得解.【小問1詳解】函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】當時，，，因此，所以函數在區間上的單調遞增.【小問3詳解】假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，令，求導得，令，求導得，即函數在上遞增，則，即，于是，而，因此，函數在上單調遞增，，，則，所以的取值范圍是.20.設函數，曲線在點處的切線斜率為1.（1）求的值；（2）設函數，判斷函數的零點的個數；（3）求證：.【答案】（1）（2）個（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求得答案；（2）求出的導數，判斷導數的正負，即可求得單調區間，再求出極小值，即可判斷；（3）結合（2），可得在為增函數，結合函數值的正負，即可證明結論.【小問1詳解】由題意得的定義域為，又，因為，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可得，則，的定義域為，，令，得，與在區間上的情況如下：x單調遞減極小值單調遞增所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，又，所以恒成立，所以函數的零點的個數為；【小問3詳解】由（2）得，在時，取得最小值1，所以恒成立，所以在為增函數，又因為，當時，，所以；當時，，所以，當時，，綜上可得，.21.已知數列：，，…，（，）具有性質：對任意，（），與兩數中至少有一個是該數列中的一項，為數列的前項和.（1）分別判斷數列0，1，3與數列0，1，3，4是否具有性質；（2）證明：，且；（3）證明：當時，，，，，成等差數列.【答案】（1）數列不具有性質，數列具有性質；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用數列新定義直接判斷即可.（2）由定義知，，證得，再利用累加法求和即可證得結論.（3）由（2）可證得，利用定義知是數列A中項，可知，即可證得數列是以0為首項，公差為的等差數列．【小問1詳解】由于，，所以數列不具有性質；；；；；；，六組數中，每一組至少有一個數屬于，所以數列具有性質．【小問2詳解】由數列具有性質，則與中至少有一個屬