10.2.2加減消元法

數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級下冊

某種瓶裝飲料有A，B兩種包裝盒，1

個A

包裝盒和1個B

包裝盒能裝6

瓶，2

個A

包裝盒和1

個B

包裝盒能裝8

瓶．A，B

兩種包裝盒分別能裝多少瓶？

解：設(shè)

A

種包裝盒能裝

x

瓶，B

種包裝盒能裝

y

瓶．

根據(jù)題意，可列方程組

你能用代入法解這個方程組嗎？

由①，得

y＝6－x．③

將③代入②，得

2x＋6－x＝8．

解這個方程，得x＝2．

把x＝2

代入③，得y＝4．

所以這個方程組的解為思想：消元方法：代入法

前面我們用代入法求出了方程組

的解，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)新的消元的方法嗎？

思考：這個方程組的兩個方程中，y

的系數(shù)有什么關(guān)系？

兩個方程中y

的系數(shù)相等．問題

思考：利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？

用②－①可消去未知數(shù)

y，得(2x＋y)－(x＋y)＝8－6．

解：②－①，得

2x－x＝8－6，

解得x＝2．

把

x＝2代入①，得

y＝4．

所以這個方程組的解為依據(jù)：等式的性質(zhì)1

思考：①－②也能消去未知數(shù)

y，求出

x

嗎？

用①－②也能消去未知數(shù)

y，得

(x＋y)－(2x＋y)＝6－8．

解：①－②，得

x－2x＝6－8，

解得

x＝2．

把

x＝2

代入①，得

y＝4．

所以這個方程組的解為

聯(lián)系前面的解法，想一想怎樣解方程組問題

思考：此題中未知數(shù)

y的系數(shù)有什么新的關(guān)系？

思考：利用這種關(guān)系你能想到什么辦法消元？

兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)．

用①＋②可消去未知數(shù)y，得(3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．依據(jù)：等式的性質(zhì)1

解：①＋②，得15x＋3x＝2.8＋8，

解得

x＝0.6．

把

x＝0.6

代入①，得

y＝0.1．

所以這個方程組的解為思考

這兩個方程組的特點分別是什么？如何實現(xiàn)消元？依據(jù)是什么？

y的系數(shù)相同，通過兩方程相減實現(xiàn)消元，依據(jù)是等式的性質(zhì)1．

y的系數(shù)互為相反數(shù)，通過兩方程相加實現(xiàn)消元，依據(jù)是等式的性質(zhì)1．

當(dāng)兩個二元一次方程組的兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．進(jìn)而求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法這種方法叫作加減消元法，簡稱加減法．加減消元法加減消元法的依據(jù)是等式的性質(zhì)．

用加減消元法解方程組問題

思考：直接加減是否可行？為什么？

這兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)，直接把這兩個方程進(jìn)行加減不能消元．

用加減消元法解方程組問題

在方程兩邊乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，變形成同一未知數(shù)在兩個方程中的系數(shù)相反或相等．

思考：怎樣對方程變形，使兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，進(jìn)而使用加減消元法？

以用加減法消去未知數(shù)y為例，

解：①×2，得

8x－6y＝30．③

②×3，得

9x＋6y＝21．④

③＋④，得

17x＝51，解得

x＝3

．

把

x＝3

代入①，得

y＝－1．

所以這個方程組的解為思想：消元方法：加減法把

x＝3

代入②可以解得

y

嗎？

思考：如果用加減法消去

x

應(yīng)如何解？解得的結(jié)果一樣嗎？

解：①×3，得

12x－9y＝45．③

②×4，得

12x＋8y＝28．④

③－④，得

－17y＝17，解得

y＝－1．

把

y＝－1

代入①，得

x＝3．

所以這個方程組的解為歸納

當(dāng)兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，可以先在系數(shù)絕對值較小的方程兩邊同乘倍數(shù)，使之與另一個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，再將兩個方程相加或相減，從而實現(xiàn)消元．

例如，可變形為歸納

當(dāng)兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時，一般選擇系數(shù)較簡單（或相對較?。┑奈粗獢?shù)消元，將兩個方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值分別轉(zhuǎn)化成它們的最小公倍數(shù)，再加減消元．

例如，可變形為

解：①＋②，得

2x＋x＝10＋5，

解得

x＝5．

把

x＝5

代入②，得

y＝0．

所以這個方程組的解為

例1

用加減法解方程組

解：②×2，得

2x－4y＝8．③

解得

x＝6．

把

x＝6

代入②，得

y＝1．

所以這個方程組的解為

例2

用加減法解方程組

①＋③，得

2x＋2x＝16＋8，

例3

用加減法解方程組

解：①×3，得

9x＋12y＝48．③

②×2，得

10x－12y＝66．④

③＋④，得

19x＝114，解得

x＝6．

所以這個方程組的解為

把

x＝6

代入①，得

y＝－

．如果用加減法消去x應(yīng)如何解？

加減法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）變形：使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

（2）加減：將兩個二元一次方程用相加或相減的方式消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

（3）求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

加減法解二元一次方程組的一般步驟：（4）回代：把求得的未知數(shù)的值代入方程組中的任一方程，求出另一個未知數(shù)的值；

（5）寫解：將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起，就得到方程組的解．加減法解二元一次方程組一般步驟基本思路10.2.2加減消元法

（第2課時）

用加減法解方程組

解：①×2，得

4x－10y＝－6．③

③＋②，得

－9y＝－9，

解得

y＝1．

所以這個方程組的解為

把

y＝1

代入②，得

x＝1．

用加減法解二元一次方程組的一般步驟：變形使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

將兩個二元一次方程用相加或相減的方式消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；加減求值回代寫解解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入方程組中比較簡單的方程中，求出另一個未知數(shù)的值；將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起．

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了加減消元法解二元一次方程組，由此我們能夠解決哪些實際問題呢？本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)加減法解二元一次方程組在實際生活中的簡單應(yīng)用．問題

思考：本題中有哪些未知量？

每頭牛、每只羊的值金數(shù)．

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：

今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？

意思是：假設(shè)

5頭牛、2只羊，共值金

10兩；2頭牛、5只羊，共值金

8

兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：

今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？

意思是：假設(shè)

5頭牛、2只羊，共值金

10兩；2頭牛、5只羊，共值金

8

兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？問題

思考：本題中有哪些相等關(guān)系？

5×每頭牛的值金數(shù)＋2×每只羊的值金數(shù)＝10兩；

2×每頭牛的值金數(shù)＋5×每只羊的值金數(shù)＝8兩．思考

如何用二元一次方程組表示上面的兩個相等關(guān)系？

分析：由于每頭牛和每只羊的價格分別相等，所以根據(jù)“5頭牛、2只羊，共值金

10兩；2頭牛、5只羊，共值金

8

兩”可列方程組問題

解：設(shè)每頭牛和每只羊分別值金

x

兩和

y兩．

根據(jù)問題中的相等關(guān)系，列得方程組

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：

今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？

意思是：假設(shè)

5頭牛、2只羊，共值金

10兩；2頭牛、5只羊，共值金

8

兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？

①×2，得

10x＋4y＝20．③

②×5，得

10x＋25y＝40．④

答：每頭牛和每只羊分別值金

兩和

兩.

所以這個方程組的解是

④－③，得21y＝20，y＝.

把

y＝代入①，得

x＝.

列二元一次方程組解決實際問題，需要從實際問題中找出兩個相等關(guān)系，要根據(jù)相等關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)的方法，如直接設(shè)未知數(shù)、間接設(shè)未知數(shù)、設(shè)輔助未知數(shù)等．注意單位統(tǒng)一及檢驗所得到的解是否與實際意義相符合．

例

某校組織“大手拉小手，義賣獻(xiàn)愛心”活動，購買了黑、白兩種顏色的文化衫共

140

件，進(jìn)行手繪設(shè)計后出售，所獲利潤全部捐給山區(qū)困難孩子．每件文化衫的批發(fā)價和零售價如下表：項目批發(fā)價/元零售價/元黑色文化衫1025白色文化衫820

假設(shè)文化衫全部售出，共獲利

1860

元，求黑、白兩種文化衫各多少件．

分析：根據(jù)題意，設(shè)黑色文化衫x件，白色文化衫y

件．根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系可得：黑色文化衫件數(shù)與白色文化衫件數(shù)之和是140，即______________；每件黑色文化衫的利潤是____________元，每件白色文化衫的利潤是____________元，兩種文化衫共獲利1

860

元，即____________________________．聯(lián)立兩式構(gòu)建二元一次方程組，進(jìn)而求出x，y的值．x＋y＝14025－10＝1520－8＝12(25－10)x＋(20－8)y＝1860

解：設(shè)黑色文化衫x

件，白色文化衫y件．

根據(jù)題意列方程組，得

去括號，得

解得

x＝60．

所以這個方程組的解為

答：黑色文化衫

60