第九章

平面直角坐標系章末復習數學人教版新課標（2024）七年級下冊

請你帶著下面的問題，復習一下全章的內容吧．

1．結合具體實例，談談如何建立平面直角坐標系．在平面直角坐標系中描出原點以及其他一些點的位置，并分別指出它們的橫坐標、縱坐標及所在的象限．

2．當要用坐標描述一個簡單幾何圖形時，你是如何建立平面直角坐標系的？結合長方形談談你的做法．

3．你能結合具體實例，說一說怎樣用坐標描述一個區域內的地點分布情況嗎？你又是怎樣用方向和距離表示兩個地點或物體的相對位置的？請結合實例說明．

4．你能結合具體實例，說一說怎樣用坐標表示圖形的平移嗎？

例1

（1）若點

P(m，n)在第二象限，則點

Q(－m，－n)在第_____象限；

（2）若點

A(m＋3，m＋1)在y軸上，則點

A的坐標為_________．考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

解析：（1）因為點

P(m，n)在第二象限，所以

m＜0，n＞0．

所以－m＞0，－n＜0．

所以點

Q(－m，－n)在第四象限．四

例1

（1）若點

P(m，n)在第二象限，則點

Q(－m，－n)在第_____象限；

（2）若點

A(m＋3，m＋1)在y軸上，則點

A的坐標為_________．

解析：（2）因為點

A(m＋3，m＋1)在

y軸上，

所以

m＋3＝0，即

m＝－3．

所以

m＋1＝－2．

所以點

A的坐標為(0，－2)．(0，－2)考點一平面直角坐標系中點的坐標特征四根據已知點的橫、縱坐標確定某點所在的象限

（1）確定已知點的橫、縱坐標的符號；

（2）根據各象限內點的坐標的特征判斷點所在的象限．

各象限內點的坐標特征：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．考點一平面直角坐標系中點的坐標特征根據點的坐標特征求字母的值

（1）明確平面直角坐標系內點的特征；

（2）結合題意列出方程；

（3）解方程，求出字母的值．考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

1．（1）如果點A(a，b)在第三象限，那么點

B(－a＋1，2b－1)在哪一個象限？

（2）如果點

P(m＋2，m－1)在

x軸上，求點

P的坐標．

解：（1）因為點A(a，b)在第三象限，所以a＜0，b＜0．

所以－a＋1＞0，2b－1＜0．

所以點

B在第四象限．考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

解：（2）因為點

P(m＋2，m－1)在

x軸上，

所以

m－1＝0，解得

m＝1．

所以m＋2＝3．

所以點

P的坐標為(3，0)．考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

1．（1）如果點A(a，b)在第三象限，那么點

B(－a＋1，2b－1)在哪一個象限？

（2）如果點

P(m＋2，m－1)在

x軸上，求點

P的坐標．考點二用坐標表示地理位置

例2

根據下列條件畫一幅示意圖，標出學校、書店、電影院、汽車站的位置．

書店：從學校向東走

500

m，再向北走

450

m；

電影院：從學校向西走

300

m，再向南走

300

m，最后向東走

50

m；

汽車站：從學校向南走

600

m，再向東走

400

m．考點二用坐標表示地理位置

解：如圖，以學校所在位置為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標系，規定1個單位長度代表100

m．

根據已知條件，可知點

A(500，450)是書店的位置，點B(－250，－300)是電影院的位置，點C(400，－600)是汽車站的位置．建立平面直角坐標系表示地理位置時的注意事項

（1）選擇適當的位置為坐標原點，通常是比較明顯的地點或是所要繪制的區域內較居中的位置．

（2）坐標軸的方向通常是以正北為縱軸的正方向，正東為橫軸的正方向，這樣可以使東西南北的方向與地理位置的方向一致．考點二用坐標表示地理位置考點三用坐標表示平移

例3

將三角形

ABC的三個頂點的橫坐標都加－6，縱坐標都減5，則三角形ABC平移的方式是（

）．

A．向右平移6個單位長度，向上平移5個單位長度

B．向左平移6個單位長度，向上平移5個單位長度

C．向左平移6個單位長度，向下平移5個單位長度

D．向右平移6個單位長度，向下平移5個單位長度

解析：橫坐標加－6，就是橫坐標減6，表示向左平移

6

個單位長度；縱坐標減

5，表示向下平移

5

個單位長度．C考點三用坐標表示平移

例4

在平面直角坐標系中，三角形

ABC的三個頂點的位置如圖所示．點A′

的坐標為(4，6)，現將三角形

ABC平移，使點

A平移到點

A′，點

B′，C′分別是點B，C的對應點．請畫出平移后的三角形

A′B′C′（不寫畫法），并直接寫出點

B′，C′

的坐標．（1，2）考點三用坐標表示平移

解：由點

A(1，2)平移到點A′(4，6)，得平移過程是先向右平移

3個單位長度，再向上平移

4

個單位長度．由平移過程可得出點

B′

的坐標為(0，4)，點

C′的坐標為(3，2)．進而可畫出平移后的三角形A′B′C′（如圖）．考點三用坐標表示平移由點的坐標變化確定點的平移方式

（1）平移后的點與平移前的點的橫坐標之差反映了點沿

x軸的平移情況．若差值為正，則表示向右平移；若差值為負，則表示向左平移．

（2）平移后的點與平移前的點的縱坐標之差反映了點沿y軸的平移情況．若差值為正，則表示向上平移；若差值為負，則表示向下平移．考點三用坐標表示平移坐標平面內的圖形平移的步驟

第1步：明確平移的方向和距離；

第2步：找出圖形中的關鍵點；

第3步：利用平移規律確定平移后的各關鍵點的對應點的坐標，順次連接各點得到平移后的圖形．考點三用坐標表示平移

2．在平面直角坐標系中，線段

AB兩個端點的坐標分別是

A(－1，2)，B(－2，3)，若線段AB平移后點

B的新坐標為(1，4)，則點

A的新坐標是________.

解析：由點

B(－2，3)平移后的新坐標為(1，4)，可得坐標的變化規律為橫坐標加

3，縱坐標加

1，所以點

A平移后的橫坐標為－1＋3＝2，縱坐標為2＋1＝3，所以平移后點

A的坐標是(2，3)．(2，3)考點四平面直角坐標系中的圖形面積問題HEF

例5

如圖，四邊形

OABC各個頂點的坐標分別是

O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求這個四邊形的面積．

解：如圖，過點

C作

x軸的平行線，交

y軸于點

F，過點

B作

y軸的平行線，交

x軸于點

H，且這兩條線交于點E，則

E(5，3)，F(0，3)，H(5，0)．考點四平面直角坐標系中的圖形面積問題＝5×3－×2×2－×1×3－×3×2

所以S四邊形OABC＝S長方形OHEF－S三角形ABH

－S三角形CBE－S三角形OCF＝．

例5

如圖，四邊形

OABC各個頂點的坐標分別是

O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求這個四邊形的面積．HEF考點四平面直角坐標系中的圖形面積問題在平面直角坐標系中求圖形的面積的兩點注意

（1）在平面直角坐標系中求不規則圖形的面積時，一般采用割補法，將其割補為規則的圖形，求出這些規則圖形的面積再相加減即可．

（2）利用點的平移規律，將點的坐標轉化為距離是求解圖形面積的關鍵．考點四平面直角坐標系中的圖形面積問題

3．如圖，在三角形AOB中，點

A的坐標為(2，3)，點

B的坐標為(5，2)，求三角形

AOB的面積．EDC

解：如圖，過點

B作

x軸的垂線，垂足為

C，過點

A作

y軸的垂線，垂足為

E，延長EA，CB交于點

D．

因為點

A的坐標為(2，3)，點

B的坐標為(5，2)，所以

AE＝2，OE＝3，AD＝3，BD＝1，BC＝2，OC＝5．考點四平面直角坐標系中的圖形面積問題所以S三角形AOB

＝S長方形OCDE－S三角形OBC－S三角形ABD－S三角形AEO＝5×3－×5×2－×3×1－×2×3＝15－5－－3＝．

故三角形AOB的面積為

．EDC考點五平面直角坐標系中的點的規律探究

例6

如圖，正方形

A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…（每個正方形的頂點從第三象限開始，按順時針方向，依次記為

A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐標原點

O處，各邊均與x軸或y軸平行，若它們的邊長依次是2，4，6，…，則頂點A20

的坐標為___________．考點五平面直角坐標系中的點的規律探究

解析：因為＝5，所以

A20在第四象限，是第五個正方形的頂點．因為第一個正方形的邊長是2，第二個正方形的邊長是

4，第三個正方形的邊長是

6，…，所以第五個正方形的邊長是

10，所以

A20的坐標為(5，－5)．考點五平面直角坐標系中的點的規律探究

例6

如圖，正方形

A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…（每個正方形的頂點從第三象限開始，按順時針方向，依次記為

A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐標原點

O處，各邊均與x軸或y軸平行，若它們的邊長依次是2，4，6，…，則頂點A20

的坐標為___________．(5，－5)24－4－2yxOA11A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10考點五平面直角坐標系中的點的規律探究

4．如圖所示，已知點A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，…，則點

A2027的坐標為________________．

解析：要求

A2023的坐標，可先從簡單的點的坐標開始探究，發現其中的規律．從各點的位置可以發現：A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)；A5(2，－1)，A6(2，2)，A7(－2，2)，A8(－2，－2)；A9(3，－2)，A10(3，3)，A11(－3，3)，A12(－3，－3)；……