2023—2024學年高三第三次模擬考試數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列集合中有無數個元素的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出各個選項的元素個數即可得出答案.【詳解】對于A，因為，，則，，故A錯誤；對于B，因為，，則，所以，故B錯誤；對于C，，，所以，故C錯誤；對于D，有無數個元素.故D正確.故選：D.2.已知為純虛數，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數乘法求出，再利用純虛數的意義求解即得.【詳解】依題意，，由是純虛數，得，所以.故選：B3.已知向量，若與的夾角為，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標求出，即可利用向量數量積公式求出結果.【詳解】，則，故選：A.4.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結合兩直線平行判斷即得.【詳解】當時，直線，則，當時，，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C5.已知球的半徑為5，點到球心的距離為3，則過點的平面被球所截的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用球的截面小圓性質求出截面小圓半徑即得.【詳解】由點到球心的距離為3，得球心到過點的平面距離的最大值為3，因此過點的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為，所以過點的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選：C6.如圖所示的“分數楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據萊布尼茨三角形，下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察萊布尼茨三角形，得出規律即可判斷得解.【詳解】觀察萊布尼茨三角形，知每一個數等于下一層與它緊挨的兩個數之和，因此，即D正確，ABC錯誤.故選：D7.傾斜角為的直線l經過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用焦半徑公式將所求弦長用三角函數表示，再利用三角函數性質求出取值范圍即可.【詳解】首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個拋物線，傾斜角為的直線l經過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．作準線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A8.設，其中是自然對數的底數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定數據，構造函數，利用導數探討單調性并比較大小即得.【詳解】令函數，求導得，即函數在上單調遞減，而，又，因此，所以.故選：B【點睛】思路點睛：構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及數與數之間的內在聯系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知由5個數據組成的一組數據的平均數為7，方差為2，現再加入一個數據1，組成一組新數據，則（）A.這組新數據平均數為3 B.這組新數據的平均數為6C.這組新數據的方差為 D.這組新數據的方差為【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件，求出新數據組的平均數，再利用分層抽樣的方差公式求出方差即得.【詳解】依題意，這組新數據的平均數為，方差為.故選：BC10.已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則與為異面直線C.若，且，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直的判定判斷A；確定線線位置關系判斷B；利用平面基本事實判斷C；利用線面垂直的性質、面面平行的性質判斷D.【詳解】對于A，顯然，又，則，A正確；對于B，由，得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯誤；對于C，由，，知點在平面內，即為平面的公共點，而，因此，C正確；對于D，由，得，而，因此，D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數滿足，且，若，則（）A. B.的圖象關于直線對稱C.是周期函數 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據給定的等式，結合賦值法推導出函數及對稱軸，再逐項分析計算得解.【詳解】由，得，則，即，因此是周期為4的周期函數，C正確；令，得，則，因此，A錯誤；由，得，則，因此的圖象關于直線對稱，B正確；由，得的圖象關于直線對稱，因此直線及均為圖象的對稱軸，從而，令，得，即，則，故，D正確.故答案為：BCD【點睛】結論點睛：函數的定義域為D，，①存在常數a，b使得，則函數圖象關于點對稱.②存在常數a使得，則函數圖象關于直線對稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的實軸長為4，則________.【答案】1【解析】【分析】根據給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.【詳解】顯然恒成立，則雙曲線的焦點在x軸上，于是，所以.故答案為：113.已知函數，若存在，使得，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數，求出相位的范圍，再利用正弦函數的性質求解即得.【詳解】函數，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值為.故答案為：14.如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形的周長的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設，利用平行四邊形性質，結合勾股定理求出周長的函數關系，再求出函數的值域即可.詳解】設，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當，即時，，而時，，所以的周長的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求的極值；（2）若過點可以作兩條直線與曲線相切，證明：．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，判斷函數的單調性并求出極值.（2）設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，把點的坐標代入，構造函數，分類探討單調性、確定方程正根個數即得.【小問1詳解】因為，所以，令，得，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，所以當時，取得極小值，且極小值為，無極大值.【小問2詳解】設切點為，則切線的方程為，則，整理得，由過點可以作兩條直線與曲線相切，可得方程有兩個不相等的正根.令，則，當時，在上單調遞減，則方程最多只有一個正根，不符合題意，當時，若，則上單調遞增，若，則在上單調遞減，則，又和時，，故要使得方程有兩個不相等的正根，則.16.如圖，在四面體中，分別為的中點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，借助勾股定理逆定理證得，再利用線面垂直、面面垂直的判斷推理即得.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，所以，且，又，所以，≌，則，有，因為，所以，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設，則，因為，分別為，的中點，所以，則，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個不透明的袋中各裝有6個大小質地完全相同的球，其中甲袋中有3個紅球、3個黃球，乙袋中有1個紅球、5個黃球．（1）若從兩袋中各隨機地取出1個球，求這2個球顏色相同的概率；（2）若先從甲袋中隨機地取出2個球放入乙袋中，再從乙袋中隨機地取出2個球，記從乙袋中取出的紅球個數為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記這2個球顏色相同為事件，根據相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）依題意的可能取值為、、，利用全概率公式求出，，，即可得到分布列與數學期望.【小問1詳解】記這2個球顏色相同為事件，則；【小問2詳解】依題意的可能取值為、、，則，，，所以的分布列為：所以.18.已知橢圓的左、右頂點分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點，直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）分別是橢圓的左、右焦點，是內切圓的圓心，試問平面上是否存在定點，使得為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，2.【解析】【分析】（1）設出點，利用斜率坐標公式列式可得，借助距離為2求解即得.（2）設，借助三角形面積可得，利用點到直線距離探討與的關系，結合橢圓的方程推理即得.小問1詳解】設，則，即，顯然點，依題意，，解得，由橢圓的焦距是2，得，則，所以橢圓標準方程為.【小問2詳解】設，因為，則，由（1）知，則直線的方程為，即，從而點到直線的距離，即，即.因為，所以，所以，所以，即，因為，所以，因為，所以，即，點在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，故存在定點，使得.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設出直線方程，再與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理并結合已知推理求解.19.函數稱為取整函數，也稱為高斯函數，其中表示不超過實數的最大整數，例如：．對于任意的實數，定義數列滿足．（1）求的值；（2）設，從全體正整數中除去所有，剩下的正整數按從小到大的順序排列得到數列．①求的通項公式；②證明：對任意的，都有．【答案】（1），；