高考數學思維訓練題及試題與答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數$f(x)=x^3-3x+1$，則下列說法正確的是（）

A.函數在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增

B.函數在$x=1$處取得極小值

C.函數在$x=1$處取得極大值

D.函數在$x=0$處取得拐點

2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-2)$，則下列說法正確的是（）

A.$\vec{a}$與$\vec{b}$平行

B.$\vec{a}$與$\vec{b}$垂直

C.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{2}$

D.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{3}$

3.設$a,b$為實數，且$a+b=2$，$a^2+b^2=6$，則下列說法正確的是（）

A.$a=1,b=1$

B.$a=1,b=1$或$a=-1,b=3$

C.$a=-1,b=1$或$a=1,b=3$

D.$a=-1,b=-1$或$a=1,b=1$

4.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=n^2+1$，則下列說法正確的是（）

A.$\{a_n\}$是等差數列

B.$\{a_n\}$是等比數列

C.$\{a_n\}$是遞增數列

D.$\{a_n\}$是遞減數列

5.已知函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$，則下列說法正確的是（）

A.函數在$x=-1$處有極值

B.函數在$x=-1$處有拐點

C.函數在$x=-1$處無極值也無拐點

D.函數在$x=-1$處無極值但有一個拐點

6.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則下列說法正確的是（）

A.$\vec{a}$與$\vec{b}$平行

B.$\vec{a}$與$\vec{b}$垂直

C.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{2}$

D.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{3}$

7.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則下列說法正確的是（）

A.$\{a_n\}$是等差數列

B.$\{a_n\}$是等比數列

C.$\{a_n\}$是遞增數列

D.$\{a_n\}$是遞減數列

8.已知函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$，則下列說法正確的是（）

A.函數在$x=-1$處有極值

B.函數在$x=-1$處有拐點

C.函數在$x=-1$處無極值也無拐點

D.函數在$x=-1$處無極值但有一個拐點

9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則下列說法正確的是（）

A.$\vec{a}$與$\vec{b}$平行

B.$\vec{a}$與$\vec{b}$垂直

C.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{2}$

D.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{3}$

10.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則下列說法正確的是（）

A.$\{a_n\}$是等差數列

B.$\{a_n\}$是等比數列

C.$\{a_n\}$是遞增數列

D.$\{a_n\}$是遞減數列

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.對于任意實數$x$，不等式$x^2+x+1>0$恒成立。（）

2.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）在$x=1$處取得極值，則$b=2a$。（）

3.向量$\vec{a}=(2,3)$的模長為$\sqrt{13}$。（）

4.若數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則$\{a_n\}$是等比數列。（）

5.函數$f(x)=e^x$在定義域內是增函數。（）

6.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。（）

7.若$\sinA=\sinB$，則$A=B$或$A+B=\pi$。（）

8.二項式展開式的通項公式為$C_n^k\cdota^{n-k}\cdotb^k$。（）

9.矩陣的行列式值等于其轉置矩陣的行列式值。（）

10.對于任意的$x$，函數$g(x)=\ln(x+1)$在$x=-1$處連續。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的單調性。

2.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3^n-2^n$，求$a_1$和$a_n$的通項公式。

3.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$A$的行列式$|A|$。

4.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數$f(x)$的定義域。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數列$\{a_n\}$的極限存在時，數列$\{a_n\}$的必要條件是什么？并舉例說明。

2.論述如何利用導數研究函數的單調性和極值問題。請結合具體函數進行說明。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）的圖像開口向上，則下列選項正確的是（）

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a>0$，$b>0$，$c<0$

D.$a<0$，$b<0$，$c<0$

2.向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-2)$的長度分別是（）

A.$|\vec{a}|=5$，$|\vec{b}|=5$

B.$|\vec{a}|=5$，$|\vec{b}|=10$

C.$|\vec{a}|=10$，$|\vec{b}|=5$

D.$|\vec{a}|=10$，$|\vec{b}|=10$

3.數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=n^2-n+1$，則$a_4$的值為（）

A.6

B.10

C.15

D.20

4.函數$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像在（）

A.第一象限內

B.第二象限內

C.第三象限內

D.第四象限內

5.若$|x+2|=|x-3|$，則$x$的取值范圍是（）

A.$x\leq-2$

B.$-2\leqx\leq3$

C.$x\geq3$

D.$x\geq-2$且$x\leq3$

6.矩陣$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$的行列式為（）

A.-2

B.2

C.-8

D.8

7.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+2$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為（）

A.$a_n=2n$

B.$a_n=2n-1$

C.$a_n=n+1$

D.$a_n=n$

8.函數$f(x)=\ln(x+1)$的定義域是（）

A.$(-\infty,-1)$

B.$(-1,+\infty)$

C.$[0,+\infty)$

D.$(-\infty,0)$

9.若$a,b$為實數，且$a^2+b^2=1$，則下列選項正確的是（）

A.$a=1,b=0$

B.$a=0,b=1$

C.$a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2}$

10.已知函數$f(x)=\sqrt{x}$的圖像與直線$y=x$在第一象限相交于點$(a,a)$，則$a$的值為（）

A.1

B.2

C.4

D.8

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.B.函數在$x=1$處取得極小值

2.B.$\vec{a}$與$\vec{b}$垂直

3.C.$a=-1,b=1$或$a=1,b=3$

4.C.$\{a_n\}$是遞增數列

5.D.函數在$x=-1$處無極值但有一個拐點

6.B.$\vec{a}$與$\vec{b}$垂直

7.C.$\{a_n\}$是遞增數列

8.D.函數在$x=-1$處無極值但有一個拐點

9.B.$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角為$\frac{\pi}{2}$

10.B.$\{a_n\}$是遞增數列

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.×

10.√

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導數為$f'(x)=3x^2-12x+9$。令$f'(x)=0$得$x=1$，此時$f(x)$在$x=1$處取得極小值。因為當$x<1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$x>1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。所以函數在$x=1$處取得極小值。

2.數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3^n-2^n$，則$a_1=S_1=3-2=1$。對于$n\geq2$，有$a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2^n-(3^{n-1}-2^{n-1})=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}$。所以$a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}$。

3.矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$的行列式$|A|=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$。

4.函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域為所有使分母不為零的$x$值，即$x\neq2$。因此，定義域為$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.數列$\{a_n\}$的極限存在時，數列$\{a_n\}