絕對突破2023高考數學試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，則下列說法正確的是（）

A.函數在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增

B.函數在$x=1$處取得極小值

C.函數在$x=2$處取得極大值

D.函數在$x=3$處取得極小值

2.若$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,-4)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值為（）

A.$-10$

B.$10$

C.$-6$

D.$6$

3.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$1$，公差為$2$，則$\{a_n^2\}$是（）

A.等差數列

B.等比數列

C.既不是等差數列也不是等比數列

D.無法確定

4.已知$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}$，則$AB$的值為（）

A.$\begin{bmatrix}10&11\\14&15\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}10&13\\14&15\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}11&10\\15&14\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}13&10\\15&14\end{bmatrix}$

5.已知$y=\lnx$，$x>0$，則$y'$的值為（）

A.$\frac{1}{x}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$-\frac{1}{x}$

D.$-\frac{1}{x^2}$

6.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\alpha\cos\alpha$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$-\frac{1}{2}$

C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$

D.$-\frac{\sqrt{2}}{4}$

7.已知$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，則$\sin\alpha\cos\alpha$的值為（）

A.$\frac{1}{5}$

B.$\frac{2}{5}$

C.$\frac{1}{10}$

D.$\frac{2}{10}$

8.已知$a+b=5$，$ab=6$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.17

B.21

C.25

D.29

9.若$\log_2(3x-1)=\log_2(5-2x)$，則$x$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.2

C.$\frac{3}{2}$

D.3

10.已知$y=\sqrt{x}$，$x\geq0$，則$y'$的值為（）

A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

B.$\frac{1}{x}$

C.$\frac{1}{2x}$

D.$-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.如果兩個函數在某區間內可導，則這兩個函數的乘積在該區間內也可導。（）

2.二次函數的頂點坐標為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。（）

3.等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

4.向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的數量積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夾角。（）

5.函數$f(x)=x^3-3x+1$在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增。（）

6.函數$y=\frac{1}{x}$的圖像關于原點對稱。（）

7.在直角坐標系中，若點$(x,y)$到原點的距離為$r$，則$r=\sqrt{x^2+y^2}$。（）

8.函數$y=\lnx$在定義域內是增函數。（）

9.對于任意的實數$a$和$b$，$a^2+b^2\geq2ab$。（）

10.函數$y=\sqrt[3]{x}$在$(-\infty,+\infty)$上連續。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何求一個二次函數的頂點坐標。

2.請簡述向量的數量積的定義及其性質。

3.如何判斷一個一元二次方程有兩個相等的實數根？

4.簡述三角函數的周期性及其在解題中的應用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數的單調性和極值的關系，并舉例說明。

2.論述數列的通項公式和前$n$項和公式的關系，以及它們在解題中的應用。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.設$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(x)$的圖像開口向上，則$a$的取值范圍是（）

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$a\geq0$

D.$a\leq0$

2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$1$，公差為$2$，則$a_{10}$的值為（）

A.17

B.19

C.21

D.23

3.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$2$，公比為$\frac{1}{2}$，則$a_4$的值為（）

A.$\frac{1}{16}$

B.$\frac{1}{8}$

C.$\frac{1}{4}$

D.1

4.若$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$|A|$的值為（）

A.$5$

B.$-5$

C.$7$

D.$-7$

5.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，$f(x)$在$x=1$處的導數值為（）

A.$-2$

B.$2$

C.$0$

D.$3$

6.若$\sin\alpha=0.5$，則$\alpha$的取值范圍是（）

A.$(0,\frac{\pi}{6})$

B.$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$

C.$(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6})$

D.$(\frac{5\pi}{6},\pi)$

7.已知$\tan\alpha=\frac{1}{3}$，則$\cos\alpha$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{3}{5\sqrt{10}}$

D.$\frac{4}{5\sqrt{10}}$

8.若$\log_2x+\log_2x+1=\log_2x^2$，則$x$的值為（）

A.2

B.1

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

9.已知$a+b=5$，$a^2+b^2=29$，則$ab$的值為（）

A.10

B.8

C.6

D.4

10.若函數$f(x)=x^2-4x+3$在$x=2$處取得極值，則這個極值是（）

A.最大值3

B.最小值3

C.最大值1

D.最小值1

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.BCD

解析思路：首先求出函數的導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，然后求導數的零點$x=1$和$x=2$，通過判斷導數的符號變化確定極值點和函數的單調性。

2.A

解析思路：向量的數量積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$，代入數值計算得到$1*3+2*(-4)=-10$。

3.A

解析思路：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。將首項和公差代入得到$a_n=1+(n-1)*2$。

4.B

解析思路：矩陣乘法直接計算得到$AB=\begin{bmatrix}1*2+2*3&1*3+2*4\\3*2+4*3&3*3+4*4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&11\\14&15\end{bmatrix}$。

5.A

解析思路：求導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得到$f'(1)=3*1^2-6*1+4=1$。

6.C

解析思路：根據三角恒等式$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得到$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$，進而得到$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\cos^2\alpha}$。

7.B

解析思路：由于$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，所以$\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$，代入$\sin\alpha\cos\alpha$的表達式得到$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\frac{\sin^2\alpha}{\tan\alpha}$。

8.A

解析思路：利用對數的性質，將等式兩邊的對數合并，得到$\log_2x^2=\log_2(3x