2023年吉林省長春市中考數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．實數a、b、c、d在數軸上對應點的位置如圖所示，這四個數中絕對值最小的是（）A．a B．b C．c D．d2．長春龍嘉國際機場T3A航站樓設計創意為“鶴舞長春”．如圖所示．航站樓的造型如仙鶴飛翔，蘊含了對吉春大地未來發展的美好愿景．本期工程是按照滿足2030年旅客吞吐量38000000人次目標設計的，其中38000000這個數用科學記數法表示為（）A．0.38×108 B．38×106 C．3.8×108 D．3.8×1073．下列運算正確的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2?a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a34．如圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（）A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥5．如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據的數學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短6．學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米7．如圖，用直尺和圓規作∠MAN的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE8．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，分別以A、B為圓心，1為半徑作圓，當⊙A與x軸相切、⊙B與y軸相切時，連接AB，，則k的值為（）A．3 B．3 C．4 D．6二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．分解因式：m2﹣1＝．10．若關于x的方程x2﹣2x+c＝0有兩個不相等的實數根，則實數c的取值范圍是．11．2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數式表示）12．如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為．13．如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為度．14．2023年5月28日，C919商業首航完成——中國民航商業運營國產大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面米．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．16．（6分）班級聯歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規則如下：將三個完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色后放回，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色．若兩次中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求某同學獲一等獎的概率．17．（6分）隨著中國網民規模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務，問原計劃平均每天制作多少個擺件？18．（7分）將兩個完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放，點A、E，B、D依次在同一條直線上，連接AF、CD．（1）求證：四邊形AFDC是平行四邊形；（2）已知BC＝6cm，當四邊形AFDC是菱形時，AD的長為cm．19．（7分）近年來，肥胖已經成為影響人們身體健康的重要因素，國際上常用身體質量指數（BodyMassIndex，縮寫BMI）來衡量人體程度以及是否健康，其計算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，體重60kg，則他的BMI＝≈23.4，中國成人的BMI數值標準為：BMI＜18.5為偏瘦；18.5≤BMI＜24為正常；24≤BMI＜28為偏胖：BMI≥28為肥胖．某公司為了解員工的健康情況，隨機抽取了一部分員工的體檢數據，通過計算得到他們的BMI值并繪制了兩幅不完整的統計圖．根據以上信息回答下列問題：（1）補全條形統計圖；（2）請估計該公司200名員工中屬于偏胖和肥胖的總人數；（3）基于上述統計結果，公司建議每個人制定健身計劃．員工小張身高1.70m，BMI值為27，他想通過健身減重使自己的BMI值達到正常，則他的體重至少需要減掉kg．（結果精確到1kg）20．（7分）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上．（1）在圖①中，△ABC的面積為；（2）在圖②中，△ABC的面積為5；（3）在圖③中，△ABC是面積為的鈍角三角形．21．（8分）甲、乙兩人相約登山，他們同時從入口處出發，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車直達山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數圖象如圖所示：（1）當15≤x≤40時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式；（2）求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．22．（9分）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發現，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側，連接PA、PB、PC，若，則的值為．23．（10分）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE＝2，動點P從點E出發，沿折線EB﹣BA﹣AD以每秒1個單位長度的速度運動．作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ．當點Q與點C重合時，點P停止運動．設點P的運動時間為t秒．（t＞0）（1）當點P和點B重合時，線段PQ的長為；（2）當點Q和點D重合時，求tan∠PQE；（3）當點P在邊AD上運動時，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形，如圖②，請說明理由；（4）作點E關于直線PQ的對稱點F，連接PF、QF，當四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出t的取值范圍．24．（12分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝﹣x2+bx+2（b是常數）經過點（2，2）．點A的坐標為（m，0），點B在該拋物線上，橫坐標為1﹣m．其中m＜0．（1）求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；（2）當點B在x軸上時，求點A的坐標；（3）該拋物線與x軸的左交點為P，當拋物線在點P和點B之間的部分（包括P，B兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為2﹣m時，求m的值；（4）當點B在x軸上方時，過點B作BC⊥y軸于點C，連接AC、BO．若四邊形AOBC的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形AOBC的頂點），設這兩個交點分別為點E、點F，線段BO的中點為D．當以點C、E、O、D（或以點C、F、O、D）為頂點的四邊形的面積是四邊形AOBC面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的m的值．

2023年吉林省長春市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．實數a、b、c、d在數軸上對應點的位置如圖所示，這四個數中絕對值最小的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】根據數軸上表示某個數的點與原點的距離的大小確定結論．【解答】解：由圖可知：實數b在數軸上的對應點到原點O的距離最小，所以在這四個數中，絕對值最小的數是b．故選：B．【點評】本題考查了絕對值的定義、實數大小比較問題，熟練掌握絕對值最小的數就是到原點距離最小的數．2．長春龍嘉國際機場T3A航站樓設計創意為“鶴舞長春”．如圖所示．航站樓的造型如仙鶴飛翔，蘊含了對吉春大地未來發展的美好愿景．本期工程是按照滿足2030年旅客吞吐量38000000人次目標設計的，其中38000000這個數用科學記數法表示為（）A．0.38×108 B．38×106 C．3.8×108 D．3.8×107【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：38000000＝3.8×107．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．下列運算正確的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2?a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a3【分析】直接利用同底數冪的乘除運算法則以及冪的乘方運算法則、合并同類項法則分別判斷得出答案．【解答】解：A．a3﹣a2，無法合并，故此選項不合題意；B．a2?a＝a3，故此選項符合題意；C．（a2）3＝a6，故此選項不合題意；D．a6÷a2＝a4，故此選項不合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了同底數冪的乘除運算以及冪的乘方運算、合并同類項，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．4．如圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（）A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥【分析】由多面體的表面展開圖，即可得到答案．【解答】解：多面體的底面是面③，則多面體的上面是⑤．故選：C．【點評】本題考查幾何體的表面展開圖，關鍵是由長方體的表面展開圖找到相對面．5．如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據的數學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短【分析】根據點O為AA'、BB'的中點得出OA＝OA'，OB＝OB'，根據對頂角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，從而證得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，問題得證．【解答】解：∵點O為AA'、BB'的中點，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由對頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度，故選：A．【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質，正確運用三角形全等的判定定理是解題的關鍵．6．學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【分析】根據直角三角形的邊角關系進行解答即可．【解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．【點評】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．7．如圖，用直尺和圓規作∠MAN的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE【分析】利用基本作圖得到AF平分∠MAN，則根據角平分線的畫法可對選項進行一一判斷．【解答】解：角平分線的作法如下：①以點A為圓心，AD長為半徑作弧，分別交AM、AN于點D、E；②分別以點D、E為圓心，DF長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內相交于點F；③作射線AF，AF即為∠MAN的平分線．根據角平分線的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根據等腰三角形的三線合一可知AF⊥DE，故選：B．【點評】本題考查了用直尺和圓規作角平分線的方法，掌握畫法是解題的關鍵．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，分別以A、B為圓心，1為半徑作圓，當⊙A與x軸相切、⊙B與y軸相切時，連接AB，，則k的值為（）A．3 B．3 C．4 D．6【分析】依據題意，可得A（k，1），B（1，k），再由AB＝3，從而2（k﹣1）2＝18，進而得解．【解答】解：由題意，得A（k，1），B（1，k）．∵AB＝3，∴有兩點距離公式可得：2（k﹣1）2＝18．∴（k﹣1）2＝9．∴k＝﹣2或4．又k＞0，∴k＝4．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數的圖象與性質的應用，解題時需要熟練掌握并理解．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．分解因式：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．【分析】本題剛好是兩個數的平方差，所以利用平方差公式分解則可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．【點評】本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項；符號相反．10．若關于x的方程x2﹣2x+c＝0有兩個不相等的實數根，則實數c的取值范圍是c＜1．【分析】根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，Δ＝b2﹣4ac＞0求解即可．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣2x+c＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案為：c＜1．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解題關鍵．熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．11．2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為（7.5﹣10x）公里．（用含x的代數式表示）【分析】根據題意可知：總路程﹣已跑的路程＝離終點的路程，然后列出相應的代數式即可．【解答】解：由題意可得，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為（7.5﹣10x）公里，故答案為：（7.5﹣10x）．【點評】本題考查列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式即可．12．如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為1：3．【分析】根據題意求出OA：OA′＝1：3，根據相似三角形的性質求出AC：A′C′，根據相似三角形的性質計算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC與△A′B′C′的周長比為1：3，故答案為：1：3．【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質，掌握位似圖形的對應邊互相平行是解題的關鍵．13．如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為45度．【分析】由多邊形的內角和及軸對稱的性質和三角形內角和可得出結論．【解答】解：∵五邊形的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由圖形的折疊可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案為：45．【點評】本題考查了多邊形的內角和，三角形的內角和定理，圖形的折疊的性質，掌握這些知識點是解題的關鍵．14．2023年5月28日，C919商業首航完成——中國民航商業運營國產大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面19米．【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x＝0求平移后的拋物線與y軸的交點即可．【解答】解：由題意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），設拋物線解析式為：y＝ax2+20，將A（﹣40，4）代入解析式y＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防車同時后退10米，即拋物線y＝﹣+20向左平移后的拋物線解析式為：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案為：19．【點評】本題考查了待定系數法求拋物線解析式、函數圖象的平移及坐標軸的交點，解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．【分析】分別運用完全平方公式和乘法分配律將兩個括號展開，再進行合并同類項計算即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1＝3a+1．當a＝時，3a+1＝3×+1＝+1．【點評】整式的混合運算是初中數學最基本的知識點，考查學生最基本的運算能力，一定要熟練掌握，確保計算結果正確無誤．16．（6分）班級聯歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規則如下：將三個完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色后放回，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色．若兩次中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求某同學獲一等獎的概率．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中兩次中的彩蛋顏色不同的結果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次中的彩蛋顏色不同的結果有4種，∴某同學獲一等獎的概率為．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．17．（6分）隨著中國網民規模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務，問原計劃平均每天制作多少個擺件？【分析】設原計劃平均每天制作x個擺件，根據“結果提前5天完成任務”列分式方程，求解即可．【解答】解：設原計劃平均每天制作x個擺件，根據題意，得，解得x＝200，經檢驗，x＝200是原方程的根，且符合題意，答：原計劃平均每天制作200個擺件．【點評】本題考查了分式方程的應用，理解題意并能根據題意建立方程是解題的關鍵．18．（7分）將兩個完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放，點A、E，B、D依次在同一條直線上，連接AF、CD．（1）求證：四邊形AFDC是平行四邊形；（2）已知BC＝6cm，當四邊形AFDC是菱形時，AD的長為18cm．【分析】（1）根據全等三角形的性質得到AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，根據平行線的判定定理得到AC∥DF，根據平行四邊形的判定定理即可得到四邊形AFDC是平行四邊形；（2）連接CF交AD于O，根據直角三角形的性質得到AC＝BC＝6（cm），根據菱形的性質得到CF⊥AD，AD＝2AO，根據直角三角形的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：∵△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，∴AC∥DF，∴四邊形AFDC是平行四邊形；（2）解：連接CF交AD于O，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6cm，∴AC＝BC＝6（cm），∵四邊形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO，∴∠AOC＝90°，∴AO＝AC＝＝9（cm），∴AD＝2AO＝18cm，故答案為：18．【點評】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．19．（7分）近年來，肥胖已經成為影響人們身體健康的重要因素，國際上常用身體質量指數（BodyMassIndex，縮寫BMI）來衡量人體程度以及是否健康，其計算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，體重60kg，則他的BMI＝≈23.4，中國成人的BMI數值標準為：BMI＜18.5為偏瘦；18.5≤BMI＜24為正常；24≤BMI＜28為偏胖：BMI≥28為肥胖．某公司為了解員工的健康情況，隨機抽取了一部分員工的體檢數據，通過計算得到他們的BMI值并繪制了兩幅不完整的統計圖．根據以上信息回答下列問題：（1）補全條形統計圖；（2）請估計該公司200名員工中屬于偏胖和肥胖的總人數；（3）基于上述統計結果，公司建議每個人制定健身計劃．員工小張身高1.70m，BMI值為27，他想通過健身減重使自己的BMI值達到正常，則他的體重至少需要減掉9kg．（結果精確到1kg）【分析】（1）利用正常人數7除以35%即可得總人數，減去其它人數和即可得答案；（2）用200×偏胖和肥胖和的百分比即可得答案；（3）利用身體質量指數公式算出小張實際體重，再用小張身高算出正常體重的最大值，最后用小張實際體重減去小張正常體重的最大值即可得答．【解答】解：（1）7÷35%＝20（人），偏胖人數：20﹣2﹣7﹣3＝8（人），條形圖如下：；（2）200×＝110（人），答：公司200名員工中屬于偏胖和肥胖的總人數110人；（3）小張實際體重：27×（1.70）2＝78.03（kg），小張正常體重的最大值：24×（1.70）2＝69.36（kg），∴他的體重至少需要減掉：78.03﹣69.36≈9（kg），故答案為：9．【點評】本題考查條形統計圖，扇形圖，能結合倆圖找到正常體重的人數和百分比是解題關鍵．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上．（1）在圖①中，△ABC的面積為；（2）在圖②中，△ABC的面積為5；（3）在圖③中，△ABC是面積為的鈍角三角形．【分析】（1）先根據三角形的面積求出AB邊上的高，再作圖；（2）根據網格線的特點及三角形的面積公式作圖；（3）根據網格線的特點及三角形的面積公式作圖．【解答】解：如圖：（1）如圖①：△ABC即為所求；（2）如圖②：△ABC即為所求；（3）如圖③：△ABC即為所求．【點評】本題考查了作圖的應用與設計，掌握網格線的特點及三角形的面積公式是解題的關鍵．21．（8分）甲、乙兩人相約登山，他們同時從入口處出發，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車直達山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數圖象如圖所示：（1）當15≤x≤40時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式；（2）求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．【分析】（1）設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式為y＝kx+b，再利用待定系數法來求解即可；（2）求出甲的函數解析式和乙的解析式，甲的函數解析式和乙的解析式組成方程組解答即可．【解答】解：（1）設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式為y＝kx+b，∵直線過（15，0）和（40，300），∴，解得，∴乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式為y＝12x﹣180；（2）設甲的函數解析式為：y＝mx+n，將（25，160）和（60，300）代入得：，解得，∴y＝4x+60；∵乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度，∴，解得，∴乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為180米．【點評】本題考查了一次函數的應用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，圖象的交點坐標的求法是解題關鍵．22．（9分）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為45度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發現，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側，連接PA、PB、PC，若，則的值為．【分析】【感知】根據圓周角定理即可得出答案；【探究】先構造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，進而得出△PBE是等邊三角形，即可得出結論；【應用】先構造出△PBC≌△EBA（SAS），進而判斷出∠PBG＝90°，進而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出結論；【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），故答案為：45；【探究】證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE為等邊三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【應用】解：如圖③，延長PA至點G，使AG＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG＝BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，∴＝＝，故答案為：【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．23．（10分）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE＝2，動點P從點E出發，沿折線EB﹣BA﹣AD以每秒1個單位長度的速度運動．作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ．當點Q與點C重合時，點P停止運動．設點P的運動時間為t秒．（t＞0）（1）當點P和點B重合時，線段PQ的長為；（2）當點Q和點D重合時，求tan∠PQE；（3）當點P在邊AD上運動時，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形，如圖②，請說明理由；（4）作點E關于直線PQ的對稱點F，連接PF、QF，當四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出t的取值范圍．【分析】（1）證明四邊形ABEQ是矩形，進而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解．（2）證明△PBE∽△ECD，得出．（3）過點P作PH⊥BC于點H，證明△PHE≌△ECQ得出PE＝QE，即可得出結論．（4）分三種情況討論，①如圖所示，當點P在BE上時，②當P點在AB上時，當F，A重合時符合題意，此時如圖，③當點P在AD上，當F，D重合時，此時Q與點C重合，則PFQE是正方形，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接BQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°，∵∠PEQ＝90°，∴四邊形ABEQ是矩形，當點P和點B重合時，∴QE＝AB＝3，BE＝2，在Rt△QBE中，，故答案為：．（2）如圖所示，∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，∴，∵BE＝2，CD＝AB＝3，∴．（3）如圖所示，過點P作PH⊥BC于點H，∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，則四邊形ABHP是矩形，∴PH＝AB＝3，又∵EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，∴PH＝EC，∴△PHE≌ECQ（AAS），∴PE＝QE，∴△PQE是等腰直角三角形；（4）①如圖所示，當點P在BE上時，∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2，在Rt△AQF中，，則，∵PE＝t，∴BP＝2﹣t，PF＝PE＝t，在Rt△PBF中，PF2＝PB2+FB2，∴，解得：，當時，點F在矩形內部，∴0＜t≤符合題意．②當P點在AB上時，當F，A重合時符合題意，此時如圖，π則PB＝t﹣BE＝t﹣2，PE＝AP＝AB﹣PB＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t，在Rt△PBE中，PE2＝PB2+BE2，∴（5﹣t）2＝（t﹣2）2+22，解得t＝．③當點P在AD上，當F，D重合時，此時點Q與點C重合，則PFQE是正方形，此時t＝