四川省宜賓市宜賓四中20232024學年高一上學期期中數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15題，45分）1.若復數$z=a+bi$滿足$z^2=4$,則$a+b=$____.2.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d=$____.3.若函數$f(x)=x^22x+1$的定義域為$[1,3]$，則其值域為____.4.在直角坐標系中，點$A(1,2)$到$y$軸的距離為____.5.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta=$____.6.若二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個實根，且$b^24ac>0$，則$a$的取值范圍為____.7.在三角形$ABC$中，若$AB=AC=5$，$BC=8$，則$\angleA$的大小為____.8.若函數$f(x)=\ln(x^21)$的定義域為$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$，則$f'(x)=$____.9.若矩陣$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式為$2$，則其逆矩陣為____.10.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_4=16$，則公比$q=$____.11.若函數$f(x)=\frac{1}{x1}$的圖像關于$y$軸對稱，則$f(x)$的表達式為____.12.在直角坐標系中，點$P(x,y)$到原點的距離為$5$，則$x^2+y^2=$____.13.若$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta=$____.14.若二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個相等的實根，則$b^24ac=$____.15.在三角形$ABC$中，若$AB=AC=5$，$\angleA=120^\circ$，則$BC$的大小為____.二、填空題（每題3分，共5題，15分）16.若函數$f(x)=x^33x^2+2x$，則$f'(1)=$____.17.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_5=10$，則$a_3=$____.18.若矩陣$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式為$2$，則其逆矩陣的第一行第一列元素為____.19.在直角坐標系中，點$A(2,3)$到$x$軸的距離為____.20.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta=$____.三、解答題（每題10分，共5題，50分）21.已知函數$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$的最小值。22.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，求通項公式$a_n$。23.已知矩陣$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣。24.在直角坐標系中，點$A(1,2)$，$B(3,4)$，求線段$AB$的長度。25.已知$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\sin\theta\cos\theta$的值。8.計算題（每題5分，共5題，25分）26.已知函數f(x)x33x22x，求f'(x)并計算f'(1)的值。27.在等差數列an中，若a13，d2，求a10的值。28.已知矩陣beginpmatrix1&23&4endpmatrix，求其行列式det(A)。29.在直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，求線段AB的中點坐標。30.已知sinthetacosthetafracsqrt22，求sin2theta的值。9.證明題（每題10分，共3題，30分）31.證明：若a,b為正整數，且ab，則a2b2。32.證明：在等差數列an中，若a1a2a3，則anan+1an+2。33.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)f(b)，則存在c(a,b)，使得f'(c)0。10.應用題（每題10分，共2題，20分）34.某公司生產一種產品，每件產品的成本為200元，售價為300元。若每月生產x件產品，則每月的總成本為200x元，總收入為300x元。求每月的利潤函數P(x)并計算當月產量為100件時的利潤。35.某銀行推出一款理財產品，年化收益率為5%。若小明投資10萬元，求一年后的本息和。11.函數題（每題5分，共5題，25分）36.已知函數f(x)x22x1，求f(x)的單調區間。37.已知函數f(x)1x，求f(x)的定義域和值域。38.已知函數f(x)ln(x)，求f(x)的導數f'(x)。39.已知函數f(x)eax，求f(x)的反函數f1(x)。40.已知函數f(x)sin(x)，求f(x)的周期。12.數列題（每題5分，共5題，25分）41.在等差數列an中，若a11，d2，求an的通項公式。42.在等比數列bn中，若b12，q3，求bn的通項公式。43.已知數列an1n，求an的前n項和Sn。44.已知數列ann2，求an的前n項和Sn。45.已知數列ann，求an的前n項和Sn。13.矩陣題（每題5分，共5題，25分）46.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的逆矩陣A1。47.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的轉置矩陣AT。48.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的行列式det(A)。49.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的特征值。50.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的特征向量。14.向量題（每題5分，共5題，25分）51.已知向量a2i3j，求向量a的模長。52.已知向量a2i3j，求向量a的方向角。53.已知向量a2i3j，求向量a的單位向量。54.已知向量a2i3j，求向量a的逆向量。55.已知向量a2i3j，求向量a在x軸上的投影。15.解答題（每題10分，共5題，50分）56.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的極值點。57.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的拐點。58.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的圖像的凹凸性。59.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的圖像的漸近線。60.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的圖像的對稱性。一、選擇題答案：1.D2.B3.C4.A5.B6.C7.D8.B9.A10.D11.B12.C13.A14.D15.B二、填空題答案：16.517.318.219.120.0三、解答題答案：21.f(x)的最小值為1。22.an2n1。23.矩陣的逆矩陣為beginpmatrix2&11.5&0.5endpmatrix。24.線段AB的長度為sqrt(10)。25.sinthetacostheta的值為sqrt(2)/2。四、計算題答案：26.f'(x)3x26x2，f'(1)1。27.a1023。28.det(A)2。29.線段AB的中點坐標為(2,3)。30.sin2theta的值為2sqrt(2)/2。五、證明題答案：31.證明略。32.證明略。33.證明略。六、應用題答案：34.P(x)100x20000，當月產量為100件時的利潤為0。35.證明略。七、函數題答案：36.(I)f(x)在x=1處連續。(II)f(x)在x=1處可導。(III)f(x)在x=1處可微。37.(I)f(x)在x=1處不連續。(II)f(x)在x=1處不可導。(III)f(x)在x=1處不可微。八、極限題答案：38.極限為0。39.極限為1/2。40.極限不存在。九、連續題答案：41.函數在x=1處連續。42.函數在x=1處不連續。十、可導題答案：43.函數在x=1處可導。44.函數在x=1處不可導。十一、可微題答案：45.函數在x=1處可微。46.函數在x=1處不可微。十二、微分題答案：47.dy/dx6x212x。48.dy/dx6x12。十三、矩陣題答案：49.特征值為1和5。50.特征向量為(1,1)T和(1,1)T。十四、向量題答案：51.模長為sqrt(13)。52.方向角為arctan(3/2)。53.單位向量為(2/sqrt(13),3/sqrt(13))。54.逆向量為(2i,3j)。55.在x軸上的投影為(2,0)。十五、解答題答案：56.極值點為x=0和x=2。57.拐點為(1,2)。58.函數在(∞,1)上凸，在(1,+∞)上凹。59.漸近線為y=x1和y=x+3。60.函數圖像關于y軸對稱。1.函數與極限：連續、可導、可微、極限的概念及性質。2.微積分：導數、微分、積分的概念及計算方法。3.矩陣與向量：矩陣的運算、特征值、特征向量、向量的模長、方向角、單位向量等。4.解答題：涉及函數的極值、拐點、凹凸性、漸近線、對稱性等性質。各題型所考察學生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學生對基礎知識的掌握程度，如函數的性質、極限、導數等。2.填空題：考察學生對基礎知識的掌握程度，如函數的定義、導數的計算等。3.解答題：考察學生對知識點的綜合運用能力，如求函數的極值、拐點等。4.計算題：考察學生對知識點的計算能力，如求導數、微分等。5.證明題：考察學生的邏輯推理能力，如證明函數的性質等。6.應用題：考察學生將理論知識應用于實際問題的能力，如求利潤函數等。7.函數題：考察學生對函數性質的理解和掌握程度，如