重慶市部分學校2024?2025學年高二下學期四月質量檢測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖（1）、（2）、（3）分別為不同樣本數據的散點圖，其對應的樣本相關系數分別是，那么之間的關系為（

）

A． B．C． D．2．已知某地區高中生的身高近似服從正態分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現如圖形狀，被后人稱為“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，設各層球數構成數列，則數列的前項和為（

）A． B． C． D．4．已知數列為等比數列且，設等差數列的前項和為，若，則（

）A．或18 B． C．18 D．25．展開式中的系數為（

）A．200 B．210 C．220 D．2306．在四面體中，，且，E，F分別為，的中點，則與所成的角為（

）A． B． C． D．7．如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N、M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經過到達N處的方法有9種B．甲乙兩人在處相遇的概率為C．甲、乙兩人相遇的概率為D．甲從M到達N處的方法有120種8．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．可表示為B．5個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手10次C．若把英語單詞“happy”的字母順序寫錯，則可能出現的錯誤共有59種D．將4名老師分派到兩個學校支教，每個學校至少派1人，則共有8種不同的分派方法10．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結論正確的是（

）A．當時，B．直線與平面所成角的正弦值最大值為C．當平面截直四棱柱所得截面面積為時，D．四面體的體積為定值11．若對一切恒成立，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．某公司收集了某商品銷售收入（單位：萬元）與相應的廣告支出（單位：萬元）共10組數據，繪制出散點圖，如圖，并利用線性回歸模型進行擬合．若將圖中10個點中去掉點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法錯誤的是．

①決定系數變小

②殘差平方和變小③相關系數的值變小

④自變量與因變量相關性變弱13．在某抽獎活動中，設置3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球大小相同質地均勻，其中紅色箱子中放有紅球2個，黃球2個，綠球2個；黃色箱子中放有紅球3個，黃球1個，綠球2個；綠色箱子中放有紅球3個，黃球2個．要求參與者先從紅色箱子中隨機抽取一個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機抽取一個小球，抽獎結束．若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎品，否則不能獲得獎品．若甲為參與者，在其第一次抽取的不是紅球的條件下，獲得獎品的概率為．14．甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數，按下列方法操作一次產生一個新的實數：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個新的實數，對實數仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數，當時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．現將近幾日某地區門鎖銷售的數量進行統計，得到如下表格：第x天1234567數量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關，求出y關于x的經驗回歸方程，并預測第10天該地區門鎖的銷售數量；（參考公式和數據:）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開門鎖，他現在無法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進行開鎖時的開鎖次數，Y為他無放回的進行開鎖時的開鎖次數．求的概率．16．“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統民俗活動，為國家級非物質文化遺產之一．每年農歷正月十三來自省內外的說書藝人負鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應有盡有，規模壯觀．為了解人們對該活動的喜愛程度，現隨機抽取200人進行調查統計，得到如下列聯表：不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與對該活動的喜愛程度有關聯？(2)為宣傳曲藝文化知識，當地文化局在書會上組織了戲曲知識競賽活動．活動規定從8道備選題中隨機抽取4道題進行作答．假設在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設隨機變量表示戲迷乙正確完成題的個數，求的分布列及數學期望．17．已知橢圓的離心率為，E的左頂點N到點的距離為．(1)求橢圓E的標準方程．(2)過點M作斜率和為2的直線，，直線，分別與E交于A，B兩點和C，D兩點．（i）若（點B在點A的下方）的面積為，求直線的方程；（ii）設AB，CD的中點分別為P，Q，證明：直線PQ過定點．18．已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，求證.19．新高考數學多選題6分制的模式改變了傳統的多選題賦分模式，每題具有多個正確答案，答對所有正確選項得滿分，答對部分選項也可得分，強調了對知識點理解和全面把握的要求．在某次數學測評中，第11題（6分制多選題）得分的學生有100人，其中的學生得部分分，的學生得滿分，若給每位得部分分的學生贈送1個書簽，得滿分的學生贈送2個書簽．假設每個學生在第11題得分情況相互獨立．（1）從第11題得分的100名學生中隨機抽取4人，記這4人得到書簽的總數為個，求的分布列和數學期望；（2）從第11題得分的100名學生中隨機抽取人，記這人得到書簽的總數為個的概率為，求的值；（3）已知王老師班有20名學生在第11題有得分，若以需要贈送書簽總個數概率最大為依據，請問王老師應該提前準備多少個書簽比較合理？

參考答案1．【答案】B【詳解】由散點圖（1）可得，變量與變量之間呈現正相關，所以；由散點圖（2）可得，變量與變量之間呈現負相關，所以；由散點圖（3）可得，變量與變量之間不相關，所以，所以.故選B.2．【答案】D【詳解】解：依題意，，故選D.3．【答案】B【詳解】因為，，，，以此類推可知，故，因此，數列的前項和為.故選B.4．【答案】C【詳解】設數列的公比為，則，所以,所以，所以.故選C.5．【答案】A【詳解】，又中含的項為，中含的項為，故展開式中含的項為，故展開式中的系數為200故選A6．【答案】B【詳解】取的中點為，連接，則，所以或其補角即為所求因為，且，所以且，所以所以與所成的角為故選B7．【答案】D【詳解】解：對于，甲經過到達，可分為兩步：第一步：甲從經過的方法數：種，第二步：甲從到的方法數：種，所以：甲經過的方法數為種，故正確；對于，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，他們在，2，3，相遇的走法有種方法；甲、乙兩人相遇的概率，故正確．對于，甲由道路網處出發隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達處需走6步，共有種方法，故錯誤；對于，由知：甲從到達處的方法有種，甲經過的方法數為：種，同理，乙從到達處的方法有種，乙經過的方法數也為：種，甲、乙兩人相遇經點的方法數為：種，甲、乙兩人相遇經點的概率，故正確；故選．8．【答案】D【詳解】如圖：

設，則，，.因為，所以.又，所以.所以，，.又.所以.所以.所以.故選D9．【答案】BC【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，5人兩兩握手，即從5人中隨便選出2人握手，即共握（次），故B正確；對于C，在5個位置中選3個位置填入h，a，y，剩下2個位置填入p，共有（種），其中正確的只有1種，則可能出現的錯誤共有（種），故C正確；對于D，將4人按3，1分派，共種；將4人按2，2分派，共有種，故每個學校至少派1人，共有14種分派方法，故D錯誤．故選BC．10．【答案】ABD【詳解】當時，P為AC的中點，連接，，則，因為平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，A正確.因為四棱柱為直四棱柱，所以，因為平面，平面，所以平面，則點P到平面的距離等于點A到平面的距離.設點A到平面的距離為，由,可得,即,又設與交于點，連接，則，則,

，則所以所以設直線BP與平面所成的角為，，因為點P到平面的距離為定值，則,所以當BP最小，即P為AC的中點時，直線BP與平面所成的角最大，此時，所以，所以B正確.當時，點P為AC上靠近點C的四等分點，過點P作的平行線分別交于連接，由，所以，又所以等腰梯形為平面截四棱柱所得截面圖形.易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面積為，由幾何體的對稱性可知，當平面截直四棱柱所得截面面積為時，或，C錯誤.由上可知，平面，所以點P到平面的距離恒為定值，因為的面積為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選ABD.11．【答案】AB【詳解】由題意可得對一切恒成立，令，則，當時，，故在上單調遞減，此時在上無最小值，不符合題意，當時，令，有，令，有，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，則，令，則，故當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，即，當，滿足題意.故選AB.12．【答案】①③④【詳解】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，故去掉點后，回歸效果更好，故決定系數會變大，更接近于1；殘差平方和變小；相關系數的絕對值，即會更接近于1，由圖可得與正相關，故會更接近于1，即相關系數的值變大，自變量與因變量相關性變強，故①，③，④錯誤，②正確．13．【答案】【詳解】設，分別表示第一次抽到的小球的顏色分別是紅、黃、綠的事件，設表示第二次抽到的小球的顏色是紅的事件，在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲獲得獎品的概率為：.14．【答案】【詳解】a3的結果有四種，每一個結果出現的概率都是，1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a1→12→+1218＝a3，4．a1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲獲勝的概率為，即a3＞a1的概率為，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．15．【答案】（1），；（2）【詳解】（1）依題意可得；又，所以，可知，所以經驗回歸方程為，將代入該方程可得預測第10天該地區門鎖的銷售數量為；（2）有放回時，隨機變量對應的概率為；無放回時，隨機變量對應的概率為；若，則有以下情況：當時，，此時概率為；當時，或，此時概率為;因此可得的概率為.16．【答案】(1)列聯表見解析，性別與對活動的喜愛程度無關；(2)①概率為；②的分布列見解析；數學期望.【分析】（1）計算出卡方，與2.706比較后得到結論；（2）①利用二項分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及對應的概率，得到分布列，求出數學期望.【詳解】（1）補全的列聯表如下：不喜愛喜愛合計男性3090120女性255580合計55145200根據表中數據，計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此我們可以認為成立，即認為對該場活動的喜愛程度與性別無關.（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則．②的可能取值為，，，的分布列為；X234P數學期望.17．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由題意知橢圓E的左頂點的坐標為，則，解得，又，，解得，，則橢圓E的標準方程為．（2）（i）易知直線MN的方程為，即，，由的面積為，得點B到直線的距離為，設與直線平行且距離為的直線方程為，由，解得或．當時，由，得，顯然，此時該直線與橢圓無交點；當時，由，得，解得或當點B的坐標為時，直線的斜率為2，此時直線的斜率為0，此時直線與橢圓只有一個交點，不合題意；當點B的坐標為時，直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即；（ii）設，，直線，與E的方程聯立，消去y得，則，則．設直線，與直線的方程聯立，可得，則，得，同理，直線的斜率也滿足該式，即，是關于x的方程的兩個根，則，得，直線，即直線過定點．18．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【詳解】（1）因為，所以，當時，時，單調遞減，時，單調遞增，當時，令得或，①當時，，，在上單調遞減，②當時，或時，單調遞減，時，單調遞增，③當時，或時，單調遞減，時，單調遞增，綜上可得，時在上遞減，在上遞增，時在上遞減，時在，上遞減，在上遞增，時在，上遞減，在上遞增.（2）設