試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學三輪熱點圓中的最值問題題型沖刺復習1．如圖，在中，，，以點O為圓心、2為半徑畫圓，點C是上任意一點，連接．將繞點O按順時針方向旋轉，交于點D，連接．(1)當與相切時，求證：是的切線；求點C到的距離．(2)直接寫出的最大值與最小值的差．2．問題提出（1）如圖1，的面積為，弦，C是．上的一個動點，求面積的最大值；問題解決（2）如圖2，的半徑為，圓內中有一個四邊形區域，連接，為等邊三角形，當點D在的什么位置上時，陰影部分面積最小？并求出最小值．3．如圖，為等邊的外接圓，半徑為6，點在劣弧上運動（不與點，重合），連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形的面積是線段的長的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果不是，請說明理由；(3)若點，分別在線段，上運動（不含端點），經過探究發現，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發生變化，求所有值中的最大值；4．如圖1所示，等邊三角形內接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學思考如下：將與點順時針旋轉到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：（1）根據小明的思路，請你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為________．【類比遷移】如圖2所示，等腰內接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_________（直接寫答案）．5．如圖1所示，等邊三角形內接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學思考如下：將與點順時針旋轉到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：（1）根據小明的思路，請你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為________．【類比遷移】如圖2所示，等腰內接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_________（直接寫答案）．6．如圖，為等邊三角形的外接圓，半徑為4，點D在劣弧上運動（不與點A、B重合），連接．(1)求的長；(2)求證：是的平分線；(3)當時，求的長；(4)若點M、N分別在線段上運動（不含端點），經過探究發現，點D運動到每一個確定的位置，的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發生變化，則所有t值中的最大值為______．7．如圖1，在四邊形中，，，以為直徑所作的經過點，且與相切于點，連接．(1)求證：是的切線．(2)是的外接圓，不與、重合的點在的劣弧上運動（如圖2所示）．若點、分別為線段、上的動點（不與端點重合），當點運動到每一個確定的位置時，的周長有最小值，隨著點的運動，的值也隨之變化，求的最大值．8．如圖，在中，，，以點O為圓心，2為半徑畫圓，過點A作的一條切線，切點為P，連接．將繞點O按逆時針方向旋轉到時，連接，設旋轉角為（）．(1)如圖，當時，①求證：是的切線；②點H到的距離；(2)已知，在旋轉過程中，當與相切時，求旋轉角的度數；(3)直接寫出的最大值與最小值的差．9．如圖，在中，，，點是上任意一點，以點為圓心為半徑作，與交于點，連接，作的平分線交于點．

(1)求證：；(2)與的另一個交點為，連接，設的半徑為，四邊形的面積為．①求與之間的函數關系式；②當時，求四邊形面積的最大值與最小值．10．如圖1，內接于，點E為的內心，連接并延長交于點D，交于點F，連接．(1)若，求的度數．(2)如圖2，連接，若，求的長．(3)如圖3，連接，若的半徑為4，弦，設，求y與x之間的函數關系式及y的最大值．11．如圖1~圖3，半圓O的直徑，弦在半圓O上滑動（點C，D可以分別與A，B兩點重合），且．(1)如圖1，求劣弧的長；(2)連接，，，，當時，如圖2，求證：；(3)點E是的中點，過點C作于點F，如圖3．①當時，求線段的長；②在弦滑動的過程中，直接寫出線段長度的最大值．12．如圖，是的外接圓，連接，，過點作，交的延長線于點，同時過點作，交于點．(1)設度，直接寫出____________度，____________度（用含的代數式表示）；(2)如圖，過點作，交的延長線于點，連接，其中，；試問的值是否是定值，若是，請求出此定值，若不是，請說明理由；求出的最大值．13．如圖1，我們把一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知，，，分別為“果圓”與坐標軸的交點，

與“果圓”中的拋物線交于，兩點．(1)求“果圓”中的拋物線的解析式．(2)“果圓”上是否存在點使？如果存在請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．(3)如圖2，為直線下方“果圓”上一點，連接，，，設與交于點，的面積記為，的面積記為，求的最小值．14．正方形的四個頂點都在上，E是上一動點．(1)若點E不與點A、D重合，請直接寫出的度數；(2)如圖2，若點E在上運動（點E不與點B、C重合），連接，，，試探究線段，，的數量關系并說明理由；(3)如圖3，若點E在上運動，分別取、的中點M、N，連接，，交于點F，四邊形與四邊形關于直線對稱，連接，，當正方形的邊長為2時，求面積的最小值．15．正方形的四個頂點都在上，是上一動點．(1)若點不與點、重合，請直接寫出的度數；(2)如圖2，若點在上運動（點不與點、重合），連接，試探究線段的數量關系并說明理由；(3)如圖3，若點在上運動，分別取的中點、，連接交于點，四邊形與四邊形關于直線對稱，連接，，當正方形的邊長為2時，求面積的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學三輪熱點圓中的最值問題題型沖刺復習》參考答案1．(1)詳見解析；(2)【分析】（1）由切線的性質得，再證，根據全等三角形對應角相等，可得，即可證明是的切線；過點C作，垂足為E，則即為點C到的距離，根據即可求解；（2）作直線于點H，交于和，當點C位于處時，取最小值，當C位于處時，取最大值，則最大值與最小值的差為．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，∵，∴，即，又∵，∴．∴．又∵是的半徑，∴是的切線；如圖，過點C作，垂足為E，則即為點C到的距離，在中，∵，∴，∵，∴，即點C到的距離為．（2）解：中，，，∴．如圖，作直線于點H，交于和，由題意知，當點C位于處時，取最小值，當C位于處時，取最大值，∴的最大值與最小值的差．【點睛】本題考查切線的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，圓到直線的距離，解題的關鍵是掌握切線的判定方法，找出取最值時點C的位置．2．（1）；（2）當為的中點時，陰影部分面積最小，最小值為．【分析】（1）連接，設為優弧的中點，連接，并延長交于點E，則，此時點到的距離最大，故點與點重合時，由此進行計算即可得出答案；（2）連接，設相交于點，由題意得，當為的中點時，四邊形區域的面積最大，則陰影部分面積最小，由等邊三角形的性質可得，，由圓周角定理可得，結合為的中點，得出從而得到四邊形是菱形，求出，，，，最后根據進行計算即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接，設為優弧的中點，連接，并延長交于點E，則，此時點到的距離最大，故點與點重合時，面積最大，，∵的面積為，∴的半徑為，∵，，，，，∴面積的最大值為；（2）如圖2，連接，設相交于點，由題意得，當為的中點時，四邊形區域的面積最大，則陰影部分面積最小，是等邊三角形，，，由題意可知，是的直徑，，，為的中點，，，四邊形是菱形，在中，，，，，∴陰影部分面積最小值為故當為的中點時，陰影部分面積最小，最小值為．【點睛】本題考查圓的綜合運用，菱形的判定與性質、等邊三角形的性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．3．(1)見解析(2)是，(3)【分析】本題考查了圓的有關知識，等邊三角形的性質，旋轉的性質，軸對稱的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．（1）由等邊三角形的性質可得，圓周角定理可得，可得結論；（2）將繞點C逆時針旋轉，得到，可證是等邊三角形，可得四邊形的面積，即可求解；（3）作點D關于直線的對稱點E，作點D關于直線的對稱點F，由軸對稱的性質可得，，可得的周長，則當點E，點M，點N，點F四點共線時，的周長有最小值，即最小值為，由軸對稱的性質可求，，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可求，則當為直徑時，t有最大值為．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；．（2）解：四邊形的面積S是線段的長x的函數；理由如下：如圖1，將繞點C逆時針旋轉，得到，∴，∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∴，∴點D，點B，點H三點共線，∵，∴是等邊三角形，∵四邊形的面積，∴；（3）解：如圖2，作點D關于直線的對稱點E，作點D關于直線的對稱點F，∵點D，點E關于直線對稱，∴，同理，∵的周長，∴當E，M，N，F四點共線時，的周長有最小值，則連接，交于M，交于N，連接，作于P，∴的周長最小值為，∵點D，點E關于直線對稱，∴，∵點D，點F關于直線對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當有最大值時，有最大值，即t有最大值，∵為的弦，∴為直徑時，有最大值12，∴t的最大值為．4．初步探索：（1）證明見解析；（2）16；類比遷移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋轉得，，，則，所以、、三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當是的直徑時，，此時的值最大，所以的最大值是16；類比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點在同一條直線上，則，當是的直徑時，，此時的值最大，則，即可求得周長的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點逆時針旋轉到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉得，，，，，，、、三點在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當經過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16；類比遷移：如圖，，，

是的直徑，且圓心在上，，，將繞點順時針旋轉到，使點與點重合，則，，，，，、、三點在同一條直線上，，，當經過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉到，連接，

∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點睛】此題重點考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．5．初步探索：（1）證明見解析；（2）16；類比遷移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋轉得，，，則，所以、、三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當是的直徑時，，此時的值最大，所以的最大值是16；類比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點在同一條直線上，則，當是的直徑時，，此時的值最大，則，即可求得周長的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點逆時針旋轉到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉得，，，，，，、、三點在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當經過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16．類比遷移：如圖，，，

是的直徑，且圓心在上，，，將繞點順時針旋轉到，使點與點重合，則，，，，，、、三點在同一條直線上，，，當經過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉到，連接，

∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點睛】此題重點考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．6．(1)(2)見解析(3)(4)【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，易得，設，三線合一求出的長，進而表示出的長，再在中，利用勾股定理進行求解即可；（2）根據等邊三角形的性質，圓周角定理，得到，即可得證；（3）過點作，解非直角三角形，求出得長即可；（4）作點關于的對稱點，關于的對稱點，連接，易得，得到的周長，過點作，得到，進而得到當最大時，的長最大，即可得出結果．【詳解】（1）解：連接并延長，交于點，連接，∵為等邊三角形的外接圓，半徑為4，∴，∴，設，則：，，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍去）；∴；（2）∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；（3）過點作，由（1）可知：，∵，∴為等腰直角三角形，∴，由（2）知：，∴，∴，∴；（4）作點關于的對稱點，關于的對稱點，連接，則：，，∴，即：，∵的周長，∴當四點共線時，的周長最小，，∴當最大時，最大，過點作，∵，，∴，，∴，∴，∴當最大時，最大，∵是的一條弦，∴當為直徑時，最大，為，∴的最大值為，即：的最大值為；故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，圓周角定理，三角形的外接圓，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質，利用軸對稱解決線段最短問題，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造特殊圖形，是解題的關鍵．7．(1)詳見解析(2)【分析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，等邊三角形的性質等，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．（1）先求出，進而得到是等邊三角形，得到，即可得出結論．（2）由（1）知，為等邊三角形，由其三線合一，可求出的半徑為，分別作點關于、的對稱點、，連接分別交、于、兩點，連接、，則、，由對稱知，是的垂直平分線，是的垂直平分線，可得出是頂角為的等腰三角形，進而求出值．【詳解】（1）證明：連接是的直徑，是上的點，，，，是的切線，，則．，是等邊三角形，，，，，即，是的切線．（2）解：由（1）知，為等邊三角形，由其三線合一可得其四心【內心（內切圓圓心）、外心（外接圓圓心）、垂心、重心】合一，如圖2，點是的外接圓的圓心，連接、、，并延長交于點，則，，，，，，解得，，即的半徑為，分別作點關于、的對稱點、，連接分別交、于、兩點，連接、，則、，的周長，連接、、，由對稱知，是的垂直平分線，是的垂直平分線，，，，，則是頂角為的等腰三角形，可得，則，即，當是的直徑時，取得最大值，的直徑為，的最大值為．8．(1)①見解析；②點H到的距離為(2)或(3)【分析】（1）①解：由是的切線，可得，證明，則，即，進而結論得證；②如圖1，過點H作于點Q，由勾股定理得，，根據，計算求解即可；（2）由（1）可知，當時，與相切；如圖2，當時，，，此時與相切，根據，計算求解即可；（3）由勾股定理得，，如圖3，過作，交圓于，根據的最大值與最小值的差為，計算求解即可．【詳解】（1）①解：∵是的切線，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；②解：如圖1，過點H作于點Q，∵，，由勾股定理得，，∵，∴，∴解得，，∴點H到的距離為；（2）解：由（1）可知，當時，與相切；如圖2，當時，∵，，，∴，∴，即，此時與相切，；綜上所述，當與相切時，旋轉角的度數為或．（3）解：由勾股定理得，，如圖3，過作，交圓于，∴的最大值與最小值的差為，∴的最大值與最小值的差為．【點睛】本題考查了旋轉的性質，切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等知識．熟練掌握切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)①；②當時，四邊形面積的最大值為15，最小值為7【分析】（1）由題意可知，根據，可得，則，由平分，可知，進而可得，就可證明結論；（2）①由題意可證，是等腰直角三角形，可知，進而可得；②由函數關系式可知，當時，隨增大而增大，可求得當時，當時，有最小值，，當時，有最大值，，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，又∵，∴，則，∵平分，∴，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，則∵，∴；②，當時，隨增大而增大，∴當時，當時，有最小值，，當時，有最大值，，即：當時，四邊形面積的最大值為15，最小值為7．【點睛】本題考查了圓的相關概念，等腰直角三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，二次函數與幾何圖形，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．10．(1)(2)(3)，y的最大值【分析】本題考查三角形的內心，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，垂徑定理；（1）由點E為的內心，可得和是的角平分線，則，，再根據圓周角定理得到，即可得到，最后根據求解；（2）由，，可得，得到，則，，再證明，得到，代入解方程即可；（3）連接交于，連接，過作于，先利用垂徑定理求出，則，再根據，得到，，代入后整理得到，再根據二次函數的性質求最大值即可．【詳解】（1）解：∵點E為的內心，∴和是的角平分線，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得；（3）解：連接交于，連接，過作于，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，整理得，∵，∴當即與重合時，最大．11．(1)(2)見解析(3)；②3【分析】（1）求劣弧長，需先確定其所對圓心角及圓半徑，再用弧長公式計算．（2）利用圓中弧與角的關系找全等條件，用全等判定定理證明．（3）①通過角度關系求，在直角三角形中用三角函數求，進而得②構造輔助線，利用三角形相關性質確定EF與其他線段關系，根據三邊關系求最大值．【詳解】（1）連接，，為等邊三角形，，；（2）證明：，，又，，(AAS)；（3）①連接由（1）得，當時，，在中，，；②取中點，連接，是中點，，在中，為中點，為中點，，因為，是中點，在中，，在中，根據三角形三邊關系，當、、三點共線時取等號，所以最大值為．【點睛】本題主要考查圓的相關性質，包括弧長計算、圓周角與弧的關系，以及三角形的知識，如等邊三角形判定、全等三角形判定、直角三角形邊角關系、三角形中位線定理和三邊關系等，掌握以上知識，數形結合分析是解題的關鍵．12．(1)，；(2)是定值，理由見解析；最大值為．【分析】（）作圓周角，可求得，進而得出，根據得出；（）作于，可證得，從而，從而求得的值，可證得，從而得出結果；可得出，從而，從而得出，從而當點在的中點時，最大，進一步得出結果．【詳解】（1）解：如圖，作圓周角，∴，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）解：如圖，是定值，理由如下：作于，∴，，由（）知，，∴，∴，∴，∴，∵，∴點共圓，∴，由（）知，，∴，∴，∴；由上知，，∴，∴，∴，∴，∴當點在的中點時，最大，如圖，連接，交于點，∴，∴，∴最大．【點睛】本題考查了圓的有關性質，垂徑定理，圓的內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義等知識，掌握知識點的應用及正確添加輔助線，構造相似三角形是解題的關鍵．13．(1)(2)使,點坐標為或(3)【分析】（1）先求出點，坐標，利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）求出線段，進而得出，判斷出滿足條件的一個點和點重合，再利用拋物線的對稱性求出另一個點．（3）先判斷出要的最小值，只要最大即可，再求出直線解析式和拋物線解析式聯立成的方程只有一個交點，求出直線解析式，即可求出，即可求解．【詳解】（1）解：對于直線，交坐標軸兩點，，，∵拋物線過，兩點，∴，解得：，即，（2）解：如圖2，是半圓的直徑，半圓上除點，外任意一點，都有，點只能在拋物線部分上，，，，，，，當時，點和點重合，即：，由拋物線的對稱性知，另一個點的坐標為，即：使，點坐標為或．（3）如圖3，，，，過點作交軸于，的邊上的高和的邊的高相等，設高為，，，，的最小值，即最小，，，當最大時，即最小，的最小值，和果圓的拋物線部分只有一個交點時，最大，直線的解析式為，設直線的解析式為①，拋物線的解析式為即②，聯立①②化簡得，，，拋物線和直線只有一個交點．解得：，直線的解析式為，直線與軸交點坐標，；的最小值為．【