試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練矩形與折疊問題專題練1．如圖，矩形中，，點M是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于E，連接．(1)求證：；(2)設，若，求的值．2．【問題情景】在矩形紙片中，是邊上一動點，是邊上一動點，將矩形紙片沿所在直線翻折，點的對應點為點，點的對應點為點．【猜想證明】（1）設是邊的中點．①如圖1，連接，試猜想與的位置關系，并加以證明；②如圖2，連接，若點的對應點恰好落在對角線上，延長與邊交于點，求證：是邊的中點．【問題解決】（2）如圖3，若，，，當的延長線正好經過點時，請直接寫出的長．3．折紙是我國傳統的民間藝術，通過折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識，在綜合與實踐課上，老師讓同學們準備了一張邊長為的正方形紙片，以“正方形的折疊”為主題開展了數學探究活動．【操作判斷】操作一：如圖①，在正方形的邊上任選一點，沿折疊，使點落在點處，把紙片展平，折痕與對角線交于點；操作二：將邊折疊，使點落在射線上，折痕交于點，把紙片展平，折痕與正方形的對角線交于點．（1）根據以上操作，得的度數為___________．【遷移探究】（2）經過多次操作，同學們發現與的比值不變，試求出該比值．【拓展提升】（3）小明在操作中不慎將正方形紙片撕破，得到一個矩形，其中為，為，如圖②，經過上述操作一、二，得到折痕的延長線與的延長線交于點，當點在線段（不與重合）上運動時，求點到直線的最大距離．4．如圖1，四邊形是一張矩形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲．游戲1

折出對角線，將點A沿過點B的直線翻折到上，折痕BE交于點F，交于點E．展開后如圖2所示．（1）若E恰好為的中點，證明：，并求與之間的數量關系．游戲2

在游戲1的基礎上，將翻折至與重合，折痕為，展開后將點A沿過點E的直線翻折到上的點G處，展開后如圖3所示．（2）在（1）的條件下，連接，求的度數．游戲3

在游戲1的基礎上，將翻折至與先重合，展開后得到新折痕交于點N，如圖4所示，Q是的中點，連接．（3）設，，的面積分別為，若，，求的長．5．如圖1，已知O是坐標原點，點A的坐標是，B是y軸正半軸上一動點，以，為邊作矩形，點E，H分別在邊和上，將沿著對折，使點B落在上的點F處，將沿著對折，使點A落在上的點G處．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)如圖2，當點F，G重合時，求點B的坐標，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)當點F，G將對角線三等分時，求點B的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為和．把矩形沿對角線所在的直線折疊，使點落在點處，與軸相交于點．(1)求證；(2)求點的坐標；(3)若點是線段上一點，當的面積為時，求點的坐標．7．在矩形中，，點是上一動點，連接，將沿折疊，使點落在點處，延長交射線于點，延長交于，如圖1，圖2．(1)直接寫出與的數量關系為______；(2)如圖1，求證：；(3)若，在點從點向點運動的過程中．①如圖2，當時，求的長；②當時，直接寫出的長．8．在矩形中，，連接，且，將三角形沿翻折得，交于G，連接．(1)如圖（1）判斷與的位置關系和數量關系，并證明；(2)如圖若沿線段由B向D運動，速度每秒1個單位，連接．①如圖（2）當時，判斷四邊形的形狀，并證明；②如圖（3）在運動過程中，四邊形的面積是否發生變化？若不變，求出面積，若變化，說明理由．9．綜合與探究：在矩形中，，，點，分別在邊，上，將沿直線折疊，點的對應點為點．

(1)如圖1，當點與點重合，點落在上時，求的長；(2)如圖2，當點是的中點，且時，連接，求的長；(3)如圖3，當，點恰好落在上時，延長交于點，直接寫出的長．10．如圖，在長方形中，E是邊上一點，連接，沿直線翻折后，點A恰好落在長方形的對稱軸上的點處，連接．

(1)求證：是等邊三角形；(2)延長交于點F，若，求的長．11．在矩形中，點P為邊上一點，將沿直線翻折，使點B落在矩形內的點E處，直線與邊交于點F．(1)如圖1，當點P為中點時，求證：；(2)如圖2，若，，，求線段的長；(3)若直線與的延長線交于點Q，，，當時，求的值（用含n的代數式表示）．12．如圖，以矩形的邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，點B的坐標為．將矩形沿對角線折疊，點A落在點處，交邊于點D．

(1)求點D的坐標；(2)動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿O→D→B向點B運動，連接．設點P運動的時間是t秒，的面積為S，請用含t的式子表示S（不要求寫出t的取值范圍）；(3)當點P在線段上時，過P作于點Q，交于點E，F是線段上一點，分別連接．當的面積為的面積的，且時，求點F的坐標；此時，在第一象限內是否存在點G，使以P、E、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．13．綜合與實踐問題情境：“綜合實踐課”上，老師畫出了如圖1所示的矩形，（其中），P（不與點A重合）是邊上的動點，連接點P與邊的中點E，將沿直線翻折得到，延長交于點F（點F不與點C重合），作的平分線，交矩形的邊于點G．問與的位置關系？數學思考：（1）請你解答老師提出的問題，并說明理由．深入探究：（2）老師將圖1中的圖形通過幾何畫板改動為如圖2，在點P運動過程中，連接，若E，O，G三點共線，點G與點D剛好重合，求n的值．（3）若，連接，當是以為直角邊的直角三角形，且點G落在邊上時，請直接寫出的值．14．如圖1，點為矩形的對稱中心，，，點為邊上一點，連接并延長，交于點，四邊形與關于所在直線成軸對稱，線段交邊于點．

(1)求證：；(2)當時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點，.記四邊形的面積為，的面積為.當時，求的值．15．如圖，矩形中，對邊平行且相等，四個內角均為直角．，，點E是邊上一點，連接，將沿折疊，使點B落在點處，連接．

(1)當時，的長為______．(2)當點恰好在矩形的對角線上，求的長．(3)當點E為的中點時，的長為______．(4)當落在矩形的對稱軸上時，的長為______．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練矩形與折疊問題專題練》參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，得出，，證明，根據，得出；（2）根據三角函數定義得出，設，則，根據勾股定理得出，根據，得出，即，得出，求出，得出．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，，，∵點M是的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：由題意得：，∵，∴，∵，∴，設，則，∴，∵四邊形為矩形，∴，∵點M是的中點，∴．由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性質，解直角三角形，三角形全等的判定和性質，矩形的性質，折疊的性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質．2．（1）①，證明見解析②見解析（2）【分析】（1）①連接交于點S，由折疊可得：，進而得到是的中位線，即可求解；②連接，根據矩形的性質和折疊的性質可證，即可得到，從而得到答案；（2）延長，交于點，根據矩形和折疊的性質，得到，，，勾股定理求出的長，進而求出的長，利用，得到，進而得到，勾股定理求出的長，進而求出的長，利用，求出的長即可．【詳解】（1）證明：①；連接交于點S，如圖，由折疊可得：∴S是的中點，∵E是邊的中點，∴是的中位線，∴；

②連接，∵四邊形是矩形，∴由折疊得：，∴，∵E是邊的中點，∴∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴Q是邊的中點；（2）延長，交于點，∵矩形，∴，，，，∴，，∵，∴，∵折疊，∴，，，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查矩形與折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，解直角三角形，三角形的中位線定理，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由折疊的性質得，，根據，即可求得；（2）連接，由正方形的性質推出，，得到點四點共圓，進而得到，得到，為等腰直角三角形，進而可證明，即可得解；（3）作于，交的延長線于，證明，可得，，，推出當在線段上移動時，在直線上，且接近點時，接近點，得重合時，最大，設，，，根據勾股定理建立方程，進而可得答案．【詳解】解：（1）正方形，，由折疊的性質得，，將邊折疊，點落在射線上，，，故答案為：（2）如圖，連接，正方形，，，由（1）知：，點四點共圓，，，，，，，，，由折疊的性質得，，，；（3）作于，交的延長線于，，，，，，，，，，，，當在線段上移動時，在直線上，且接近點時，接近點，重合時，最大，如圖所示：設，，，，，．【點睛】本題考查正方形與折疊，四點共圓，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識點，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．4．（1）

（2）

（3）【分析】（1）證明，結合E恰好為的中點可得；（2）在中，，∴，∴證明得，，設，則，，由勾股定理得，證明得，在中，利用銳角三角函數求出即可求解．（3）延長交于點H，證明得，證明得，由求出，證明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根據即可求解．【詳解】解：（1）根據翻折的性質可知，，∴，∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴∴，∴，即∵E為的中點，∴，∴，∴（2）根據翻折的性質可知，，∴，∴，∴，∴，設，則，，∴在矩形中，，∴，∴，∴（3）延長交于點H，根據翻折的性質可知，又，∴，∴，∵，∴，∴又Q是的中點，∴，∴又，∴，∴∴∵，即，∴∵，，，∴∴，，∴，，在和中，，，解得或（舍去）∴，∴，∵，∴，∴【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，難度較大，屬中考壓軸題．5．(1)見解析(2)點B的坐標是；四邊形是菱形，理由見解析(3)點B的坐標是【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質、平行四邊形和菱形的判定方法和折疊的性質；理解坐標與圖形的性質；會運用勾股定理進行幾何計算；能運用分類討論的思想解決數學問題是關鍵．（1）根據矩形的性質得，再利用平行線的性質得，然后根據折疊的性質得到，，所以，根據平行線的判定定理得，加上，于是可根據平行四邊形的判定方法得四邊形是平行四邊形；（2）先根據折疊的性質得，由點F，G重合得到，根據菱形的判定方法得到平行四邊形是菱形，則，所以，而，根據三角形內角和定理可計算出，在中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得，于是得到點B的坐標是；（3）分類討論：當點F在點O，G之間時，根據折疊的性質得，則，所以，設，則，在中，根據勾股定理得，解得，則點B的坐標是；當點G在O，F之間時，同理可得，設，則，在中，根據勾股定理得，解得，則，所以點B的坐標是．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，又∵沿著對折，使點B落在上的F點處；沿著對折，使點A落在上的G點處，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：點B的坐標是；四邊形是菱形．理由如下：∵沿著對折，使點B落在上的F點處；沿著對折，使點A落在上的G點處，∴，∵點F，G重合，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，又∵，∴，又∵點A的坐標是，∴，∴，在中，，∴點B的坐標是；（3）解：當點F在點O，G之間時，如圖，∵沿著對折，使點B落在上的F點處；沿著對折，使點A落在上的G點處，∴，而，∴，∵點F，G將對角線三等分，∴，設，則，在中，，∵，∴，解得，∴，∴點B的坐標是；當點G在O，F之間時，如圖，同理可得，設，則，在中，，∵，∴，解得，∴，∴點B的坐標是．6．(1)證明見解析(2)(3)【分析】本題考查了一次函數的性質，矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判斷及性質等知識點，利用矩形的性質判定出三角形全等是解題的關鍵．（1）利用矩形的性質判定出即可解答；（2）利用勾股定理建立等量關系運算求解即可；（3）利用待定系數法求出直線的解析式，根據三角形面積公式求出的橫坐標后代入直線的解析式運算求解即可得到的縱坐標．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，，∵矩形沿對角線所在的直線折疊，∴，，∴在和中，，∴（AAS），∴；（2）解：∵，，∴，，設，則，∴在中：，即：，解得：，∴；（3）解：設直線的解析式為：，分別代入，，可得：解得：，∴，∵，，∴，解得：，∴把代入可得：，∴．7．(1)(2)見解析(3)①；②當在內部時，；當在延長線上時，【分析】（1）由對折可得，，再結合四邊形的內角和定理與鄰補角的性質可得結論；（2）如圖，連接，先證明，結合，可得，再利用相似三角形的性質可得結論；（3）①由，可得，設，則，再利用勾股定理建立方程求解即可；②如圖，當在線段上時，求解，，，，結合軸對稱的性質可得答案；②如圖，當在的延長線上時，同理：，求解，，，證明，可得，設，再進一步解答可得答案．【詳解】（1）解：，理由如下：∵將沿折疊，使點落在點處，∴，，∵，∴，∵，∴．（2）證明：如圖，連接，由對折可得：，，，∴是的垂直平分線，，∴，∴，∵，∴，∴，而，∴∴，而，∴．（3）①∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵，∴，解得：，（舍去），∴；②如圖，當在線段上時，∵，，∴，，∴，，由對折可得：，，，∴，∴，②如圖，當在的延長線上時，同理：，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，設，∴，解得：，∴；綜上：當在內部時，；當在延長線上時，．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，線段的垂直平分線的性質，矩形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與應用，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關鍵．8．(1)，，理由見解析(2)①結論：四邊形是矩形，理由見解析；②四邊形的面積不變，四邊形的面積，理由見解析【分析】（1）根據矩形的性質，折疊的性質，以及含30度角的直角三角形的性質，進行判斷即可；（2）①取的中點，連接，先證明是等邊三角形，推出，同理推出，進而得到，結合，即可得出結論；②過點D作于點J，于點K，易得四邊形是矩形，求出四邊形的面積，證明，推出四邊形的面積等于四邊形的面積即可．【詳解】（1）解：，．理由：四邊形是矩形，，由翻折變換的性質可知，，，，，；（2）①結論：四邊形是矩形．理由：取的中點，連接．，，是等邊三角形，，，同法可得，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形；②四邊形的面積不變．理由：如圖過點D作于點J，于點K，，∴四邊形是矩形，，，矩形的面積，由平移變換的性質可知，，的面積的面積，∴四邊形的面積矩形的面積．【點睛】本題考查矩形的判定和性質，折疊問題，平移的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形，掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．9．(1)；(2)；(3)AH的長為．【分析】（1）由矩形的性質可得，，由折疊的性質，得，在中，根據勾股定理即可求解；（2）由矩形的性質可得，，，由點是的中點，可得，結合折疊的性質可推出是正方形，得到，推出，在中，根據勾股定理即可求解；（3）連接，，根據題意可求出，在中，由勾股定理得到，由折疊的性質，得，，推出，，進而得到，可證明，得到，設，則，根據勾股定理列出方程即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質，得，在中，由勾股定理，得；（2）四邊形是矩形，，，，點是的中點，，由折疊的性質，得，．，，四邊形是矩形．又，四邊形是正方形．，，在中，由勾股定理，得；（3）的長為．如圖，連接，，

四邊形是矩形，，，．，在中，由勾股定理，得，由折疊的性質，得，，，，．在和中，，，，設，則，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，，解得，的長為．【點睛】本題考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，折疊的性質，解題的關鍵是靈活運用這些知識．10．(1)見解析(2)1【分析】本題考查了矩形與翻折的性質，對稱軸的性質，等邊三角形的判定與性質以及含直角三角形，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）根據翻折以及對稱軸證明即可．（2）根據是等邊三角形與翻折求出，然后得到，根據角度關系判斷出，然后得到即可求出的長．【詳解】（1）解：∵直線是長方形的對稱軸，∴垂直平分，∴，由翻折得，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵是等邊三角形，∴，由翻折得，，在長方形中，，∴，，∴，∴，∴，∴．11．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由翻折可知，，由點P為的中點，可知．，得，結合，可知，進而可證得結論；（2）過點E作于點H，交于K，則，先證為等腰直角三角形，進而可知也是等腰直角三角形，得，設，由翻折可得，可知，．根據勾股定理得，即，可求得，，進而求得，再證，得進而求出即可求得答案；（3）如圖，連接，分別過B，Q作于點M，交延長線于點N，則，結合題意易知，則，即，可證得，可知四邊形為平行四邊形，得，則，由翻折可得垂直平分BE，得，證得，可知，易證，得，由勾股定理得．，由等面積，過F作于點G，證，，由相似三角形得性質可知，，即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，∵將沿直線翻折得到，∴，．∵點P為的中點，∴．∴．又，∴．∴．（2）解：過點E作于點H，交于K，則，∵，，∴．又∵，∴為等腰直角三角形．∴，則也是等腰直角三角形，∴，在中，設，由翻折可得，．∴，．在中，由勾股定理得，即，解得．∴，．∴．在和中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴．（3）解：如圖，連接，分別過B，Q作于點M，交延長線于點N，則，根據題意得：，則．∵，∴，∴，即．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．∴．∴．由翻折可得垂直平分BE．∴．∵，，∴，∴．∴．∴．在中，由勾股定理得．∴，過F作于點G，則，∵，，∴，．∴，∴．∴．【點睛】本題考查了矩形的相關知識，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理的計算等知識點．其中利用面積相等求線段或證明平行是解題關鍵．12．(1)點的坐標為(2)(3)點，存在，點坐標為或【分析】（1）由平行線的性質和折疊的性質可證，由勾股定理可求解；（2）分兩種情況討論，由三角形的面積公式可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，由勾股定理可求的長，即可求點坐標，分三種情況討論，由平行四邊形的性質可求點坐標．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質可知，，，，點坐標為，是矩形，，，設點的坐標為，則，，在中，有，即：，解得：，點的坐標為；（2）解：當點在線段上時，，當點在線段上時，，綜上所述：；（3）解：如圖，過點作于，連接，

的面積為的面積的，，，，，點，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，是的中位線，，，，，又，，，，，，又，，，，，，，，點，設點坐標為，點，點，點，當為對角線，，，，，點，當為對角線，，，，，點，當為對角線，，，，，點（不合題意舍去），綜上所述：點坐標為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．13．（1），理由見解析；（2）；（3）3或【分析】（1）根據平行線的性質，得到，翻折和角平分線的定義，推出，即可；（2）證明，得到，設，得到，進而得到，，勾股定理得到，再根據，求解即可；（3）分或兩種情形，分別作出圖形，然后求解即可．【詳解】解：（1）．理由：由翻折可知．∵平分，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．（2）由翻折知，，∵E，O，D三點共線，∴又∵，，∴，∴．∵E是的中點，∴設，則．∴，

∴．在中，由勾股定理得，∴．∵，∴，∴．（3）的值為3或．設，∵，∴，由題意知，分或，兩種情況求解：若點在上，當時，此時，如圖1，

∵，四邊形為矩形，∵，矩形為正方形，，，∴；若點在上，當時，如圖2，過點作于點，此時，，三點在同一直線上，四邊形是矩形，

由（2）可知，，，∴，即，解得，，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查矩形的性質，翻折的性質，正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正切．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．14．(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據軸對稱和矩形的性質，證明，即可解答；（2）過點作于，設，則，求得，再利