江蘇省東臺市第一高級中學2024?2025學年高二下學期第一次月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A．2 B．22 C．12 D．102．已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．13．在的二項展開式中，含的項系數是（

）A．132 B．240 C．480 D．1964．已知空間中，點，則平面的一個法向量為（

）A． B． C． D．5．現從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態和環保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數是（

）A．20 B．90 C．120 D．2406．已知平行六面體的所有棱長均為，，則對角線的長為（

）A． B． C． D．7．《九章算術》中，將底面為長方形，且一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B．4 C．2 D．38．地圖涂色是一類經典的數學問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個區域，要求相鄰區域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（

）種.A．84 B．72 C．48 D．24二、多選題（本大題共3小題）9．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面C．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D．已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底10．在10件產品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產品中任意抽出3件，則下列結論正確的有（

）A．抽出的3件產品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種11．若，則下列正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．已知直線過點和點，則點到直線的距離為.14．書架上某一層有本不同的書，新買了本不同的書插進去，要保持原來本書的順序不變，則不同的插法種數為.（用數字作答）四、解答題（本大題共5小題）15．（1）解不等式；（2）計算：；（結果用數字表示）16．如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，已知，.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.17．3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數.(1)全體站成一排，甲、乙不在兩端；(2)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(3)全體站成一排，男生彼此不相鄰.18．已知的展開式的第2項與第3項的二項式系數之比是.（1）求的值；（2）求展開式的常數項；（3）求展開式中系數絕對值最大的項.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點在棱上，點為中點．

（1）證明：若，則直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以.故選A.2．【答案】A【詳解】由題意可設，即，即，解得，所以.故選A3．【答案】B【詳解】可以看成6個因式相乘，要得到，只需兩個因式取，其他4個因式取常數即可，所以的系數為：.故選B4．【答案】B【詳解】由題，，設平面的一個法向量為，則，令，得.故選B5．【答案】C【詳解】共有種不同的選派方案．故選C.6．【答案】D【詳解】由已知：平行六面體所有棱長均為，，則，又因為：，同理可得：，則，則.故選.7．【答案】B【詳解】由題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建系如圖，設，因為，所以，，設異面直線與所成角為，則，解得，即.故選B.8．【答案】A【詳解】將圖形區域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選A9．【答案】AD【詳解】對于A選項，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，A對；對于B選項，若、、、四點共面，則存在、，使得，則對空間中任意一點，，可得，且，因為，且，所以，、、、四點不共面，B錯；對于C選項，因為，即，故或，C錯；對于D選項，假設、、共面，則存在、，使得，所以，，則、、共面，與題設矛盾，故也是空間的一個基底，D對.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】解：由題意得：對于A、B選項：抽出的3件產品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；對于選項C：抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產品都不合格，種取法.故抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯誤，C正確；對于選項D：10件產品種抽取三件的取法有，抽出的3件產品中全部合格的取法有種，抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.故選ACD11．【答案】BC【詳解】對于A：令，則，故A錯誤；對于B：令，則，故B正確；對于C：令，則，故C正確；對于D，由，兩邊同時求導得，令，則，故D錯誤.故選BC.12．【答案】或【詳解】因為，則或，且，解得或.13．【答案】【詳解】由題意知，直線的一個方向向量為,0,，取直線的一個單位方向向量為，又為直線外一點，且直線過點,2,，，,,，，點到直線的距離為．14．【答案】【詳解】原問題等價于將本書放在書架上，保持原來的本書順序不變，由倍縮法可知，不同的插法種數為種.15．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）對于不等式，有，可得，因為，所以，即，可得，解得.又因為，解得；（2）由題意可知：.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，，，.由直三棱柱中，底面，、底面，，.以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，所以，，，設平面的法一個向量為，則，令，則，，所以，設到平面的距離為，則.（2）設平面的一個法向量為，則，取，則，可得，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)2400(2)288(3)1440【分析】（1）特殊元素優先排求解；（2）利用捆綁法求解；（3）利用插空法求解.【詳解】（1）先在中間五個位置選兩個位置安排甲，乙，然后剩余5個人在剩余五個位置全排列，所以有種.（2）相鄰問題，利用捆綁法，共有種.（3）即不相鄰問題，先排好女生共有種排法，男生在5個空中安插，共有種排法，所以共有種.18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）依題意可得第2項的二項式系數為，第3項的二項式系數為，所以，即，則，或（舍去）；（2）展開式的通項為（，），令，解得，所以，所以常數項為第5項60.（3）系數的絕對值為，則所以，即，，所以，因此，系數絕對值最大的項是.19．【答案】（1）證明見詳解（2）（3）存在，或【詳解】（1）如圖所示，

在線段上取一點，使，連接，因為，則,所以，又平面，平面，所以平面，又，，點為中點，，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因為平面，平面所以在平面內一定存在一條直線與直線平行，所以平面.（2）如圖所示，

因為平面，，所以點為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，所以由題意得：，又點為中點，所以，所以，設平