湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．2．下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的計算，正確的是（

）A． B．C． D．3．某學(xué)校為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，舉行了全校學(xué)生全員參加的“詩詞比賽”.滿分分，得分分及其以上為“優(yōu)秀”.比賽的結(jié)果是：高一年級優(yōu)秀率約是，高二年級優(yōu)秀率約是，高三年級優(yōu)秀率約是.其中高一高二高三年級人數(shù)比為，那么全校“優(yōu)秀率”約是（

）A． B． C． D．4．若的展開式中的系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．5．“靈秀湖北夢，大道武當(dāng)山”，年“五一”長假來臨之際，甲?乙?丙?丁、戊五位同學(xué)決定一起游覽“祈福圣地”——武當(dāng)山.到武當(dāng)山的顧客，一般都會選擇金頂、太子坡、南巖宮這三個地方游覽，如果在5月1日上午8：00~9：00之間，他們每人只能去一個地方，金頂一定有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的準(zhǔn)線為，直線，動點(diǎn)在上運(yùn)動，記點(diǎn)到直線與的距離分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”.將數(shù)列進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列；，設(shè)第次“美好成長”后得到的數(shù)列為，記，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為二、多選題（本大題共3小題）9．近些年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測2025年到2029年間，有93%的概率平均氣溫會超過2020年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄.某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開展一次關(guān)于全球變暖的研討會，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中6名男生4名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會，則下列說法正確的是（

）A．選取的4名學(xué)生都是男生的不同選法共有15種B．選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有360種C．選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有195種D．選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種10．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．沒有最大值11．已知函數(shù)，對于不相等的實(shí)數(shù)設(shè)，，現(xiàn)有如下四個結(jié)論，其中正確的選項(xiàng)是（

）A．對于任意不相等的實(shí)數(shù)都有B．當(dāng)時，函數(shù)恰有3個零點(diǎn)C．對于任意的實(shí)數(shù)，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得D．對于任意不相等的正實(shí)數(shù)，都有三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)f(x)＝x＋xlnx在(1，1)處的切線方程為.13．化簡.14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最小值時，求的值；(2)當(dāng)時，數(shù)列滿足，，若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，求的值.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知，兩點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于兩點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），過作直線的垂線，垂足為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，當(dāng)時，①求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求的最小值.19．已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，方程有兩個不同的根，分別為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題知．故選A．2．【答案】D【詳解】對于A，∵，∴A不正確；對于B，，，故B不正確；對于C，由組合數(shù)性質(zhì)可得，故C不正確；對于D，由組合數(shù)性質(zhì)可知，故D正確．故選D．3．【答案】C【詳解】根據(jù)全概率公式可得:.故選C．4．【答案】B【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，令，得；令，得．所以的展開式中的系數(shù)為，解得．故選B．5．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)決定在8:00~9:00去金頂、太子坡、南巖宮游玩，且每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則5人一共有種情況，若金頂沒人去，即五位同學(xué)選擇了太子坡、南巖宮，每人有2種選擇方法，則5人一共有種情況，故金頂一定要有人去有種情況．故選B．6．【答案】D【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知．如圖，設(shè)于點(diǎn)，則，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在中間時，取得最小值．由拋物線，得，所以的最小值即點(diǎn)到直線的距離，為．故選D．

7．【答案】B【詳解】根據(jù)題意可令，所以在上單調(diào)遞增，則原不等式等價于，由，解之得．故選B．8．【答案】C【詳解】對A選項(xiàng)，根據(jù)題意可得：，A選項(xiàng)正確；對B選項(xiàng)，設(shè)每次插入項(xiàng)的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和即為，，B選項(xiàng)正確；對C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯誤；對D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可得，又，，又，是以首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，，D選項(xiàng)正確．故選C．9．【答案】AC【詳解】選取的4名學(xué)生都是男生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有種，故B錯誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C正確；選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D錯誤.故選AC．10．【答案】ABD【詳解】因?yàn)椋曰颍椿蛉簦郑?，所以，符合題意，若，又，則，又，則，與矛盾，不符合題意，所以沒有最大值，所以A、D正確，因?yàn)榍绊?xiàng)均小于1，從項(xiàng)起均大于1，所以無最大值，故C錯誤；又由，所以B正確．故選ABD．11．【答案】BCD【詳解】對于A，因?yàn)樵谏鲜窍葴p后增的函數(shù)，在對稱軸左邊的兩點(diǎn)連線斜率為負(fù)數(shù)，所以對于不相等的實(shí)數(shù)不恒成立，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，令，則，令，又為增函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以存在；兩個零點(diǎn)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，函數(shù)恰好有3個零點(diǎn)，故B正確；對于C，由，得，即，令，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即必唯一有零點(diǎn)，即存在滿足使得當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以先減后增，即存在不相等的實(shí)數(shù)使即，故C正確．對于D，又：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以對于任意不相等的正實(shí)數(shù)都有，故D正確．故選BCD．12．【答案】【詳解】，則，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：.13．【答案】【詳解】.14．【答案】/【詳解】（1）當(dāng)時，雙曲線方程為：由于點(diǎn)在雙曲線上，設(shè)點(diǎn)，，．．（2）在中，由正弦定理：，，，，由（1）可得：，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，令．故：，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故：當(dāng)時，數(shù)列前項(xiàng)和取得最小值．（2）解法一：當(dāng)時，，．因?yàn)閿?shù)列是公差為等差數(shù)列，所以：不為常數(shù)，故：的值為．解法二：由解法一知：，，可得：，．因?yàn)閿?shù)列是公差為等差數(shù)列解得：或．檢驗(yàn)：當(dāng)時，，故：滿足條件；當(dāng)時，，，此時：，故：為常數(shù)數(shù)列，不滿足條件．綜上：的值為．16．【答案】(1)極大值，極小值(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，．令，同理：或所以：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值．（2）解法一：由題：，．①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，．②當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，．③當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．此時：不合題意．④當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，．綜上：的值為．解法二：由題：，．①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，．②當(dāng)時，由于，在上的最小值小于，與題目矛盾，故不成立；綜上：的值為．解法三：由題：，．由題：的最小值為，則必有：．當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，．故：的值為．17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，則，令，于是，兩式相減得：，則，所以.（2）由（1）得，整理得，令，顯然，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是，因此，，則，所以的取值范圍是.18．【答案】(1)(2)①證明見解析，；②1【詳解】（1）由題意可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）解法一：①由條件，可知直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程組：，其中（▲），所以，，由條件，即，由于直線不過點(diǎn)，故，化簡可得，所以，代入（▲）式，，此時直線恒過定點(diǎn)．②因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，

所以，此時的坐標(biāo)為，的斜率，滿足條件．故的最小值為．解法二：①設(shè)，，由條件，即（★），由點(diǎn)在橢圓上，則有，即①，同理可得②，①②可得：代入（★）式可得：，即，變形可得．所以直線恒過定點(diǎn)．②解法同一.19．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【詳解】（1），．由于不是定義域區(qū)間的端點(diǎn)，且在定義域上連續(xù)，故：不僅是函數(shù)的最小值，同時也是