河北承德市雙灤區實驗中學2024--2025學年第二學期高二數學4月份月考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知函數（是的導函數），則（）A.1 B.2 C. D.2.在等比數列中，，，成等差數列，則（）A. B. C.2 D.43.若函數在區間[2，3]上不是單調函數，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.4.若，則（）A.100 B.110 C.120 D.1305.若函數有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.7.記數列的前項和為，已知，為等差數列，若，則（）A.2 B. C. D.8.某學校有4位同學參加數學知識競賽，競賽規則規定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得30分，答錯得－30分；選乙題答對得10分，答錯得－10分．若4位同學的總得分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數是()A.24 B.36 C.40 D.44二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9.若，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.10.設數列的前n項和為，已知，且，則下列結論正確的是（）A.是等比數列 B.是等比數列 C. D.11.已知函數，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.函數的單調遞減區間為C.的極小值為e D.方程有2個不同的解三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.由這七個數字組成沒有重復數字的七位數，且偶數數字從小到大排列（由高數位到低數位），這樣的七位數有__________個．13.已知，則使恒成立的的范圍是______．14.已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍______．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題13分）已知二項式的展開式中，所有項的二項式系數之和為，各項的系數之和為，.（1）求的值：（2）求展開式中的系數.16.(本小題15分）某工廠計劃投資一定數額的資金生產甲，乙兩種新產品.甲產品的平均成本利潤fx(單位：萬元)與投資成本x(單位：萬元)滿足：fx=alnxx+5x-b(a，b為常數，(1)求a，b的值；(2)若該工廠計劃投入50萬元用于甲，乙兩種新產品的生產，每種產品投資不少于10萬元，問怎樣分配這50萬元，才能使該工廠獲得最大利潤？最大利潤為多少萬元？(參考數據：ln10=2.303，ln17.(本小題15分）已知等差數列的公差，且，，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設求數列前項和為；（3）設求數列的前項和.18.(本小題17分）設函數.（1）當時，求的單調區間；（2）若已知，且的圖象與相切，求b的值；（3）在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）.19.(本小題17分）已知函數f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)當x≥0時，若不等式f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；(2)若x>0，證明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.參考答案：1.【答案】A【解析】對函數求導可得，所以當x=1時，所以，所以，所以.所以選擇A.2.【答案】C【解析】設等比數列的公比為，則，，；由于，，成等差數列，所以，，又因為；所以.3.【答案】B【解析】因為函數，所以，若在區間上不是單調函數，，則在區間上有解即在區間上有解，即,設，則，，,所以，實數的取值范圍是，4.【答案】C【解析】由展開的性質得，，所以.5.【答案】C【解析】由題意，，，由函數有兩個不同的極值點，故函數有兩個變號零點，即當時，有兩個不同正實數根、，由韋達定理可得：，，則，解得，即實數a的取值范圍是.6.【答案】A【解析】已知命題“”為真命題，即對于區間內的任意，不等式恒成立.移項可得在上恒成立，所以要小于等于在上的最小值.對函數求導，得.因為時，，，所以，函數在上單調遞增.所以當時，函數取得最小值，.由于，而，所以，即實數的取值范圍是.7.【答案】D【解析】因為，所以，化簡可得，即，故可知等差數列的首項為2，公差為1，所以有，即，故當時，，所以，8.【答案】D【解析】分以下四種情況討論：①2位同學選甲題作答，一人答對一人答錯，另外2位同學選乙題作答，一人答對一人答錯，此時不同得分情況的種數為C×2×2＝24；②4位同學都選擇甲題或乙題作答，兩人答對，另外兩人答錯，此時不同得分情況的種數為2C＝12；③1位同學選甲題作答并且答對，另外3位同學選乙題作答并且全部答錯，此時不同得分情況的種數為C＝4；④1位同學選甲題作答并且答錯，另外3位同學選乙題作答并且全部答對，此時不同得分情況的種數為C＝4.綜上所述，不同得分情況的種數為24＋12＋4＋4＝44，故選D.9.【答案】ACD【解析】依題意，，令，得，令，得，，令，得，所以A，C選項正確，B選項錯誤.由題可得時，，所以D選項正確.10.【答案】BC【解析】因為，且，上式兩邊除以得：，則是公差為1，首項為1的等差數列，，則，所以C對對于A項：，則，不是等比數列對于B項：，所以是等比數列，故B正確對于D項：，，兩式相減得，故D錯誤．11.【答案】ACD【解析】對函數求導得，.對于選項A，因為，，所以函數在處的切線方程為，即，故選項A正確；對于選項B，令，即，解得，因為，所以函數的單調遞減區間為，，故選項B錯誤；對于選項C，令，解得，即函數在上單調遞增，時單調遞減，所以函數在處取得極小值，極小值為，故選項C正確；對于選項D，方程，即，即求方程零點的個數，構造函數，并對其求導得，當時，，即函數為單調遞增的，，，故在區間有唯一一個零點，時，即函數為單調遞減的，，即在區間存在唯一一個零點，故選項D正確；12.【答案】90【解析】解法一：因偶數排列順序固定且0只能在從左向右排，第6，5，4位，奇數可任意排列，則當0排在第6位時，共有（個）數；當0排在第5位時，共有（個）數；當0排在第4位時，共有（個）數，所以這樣的七位數共有（個）．解法二：因為偶數不排首位，且偶數的順序從小到大排列，所以分三步進行，先排首位為奇數，再將剩余的兩個奇數排在后六個位置中，余下四個位置再將四個偶數按照由小到大從前向后的順序依次排列即可，因此共有.13.【答案】【解析】因為恒成立，所以m≥f(x)-所以當時，，當時，，所以g(x)在上單調遞增，在所以當時，，當時，，求導得，在上單調遞減，，于是得函數在上單調遞減，，因此，則，所以的取值范圍是.14.【答案】【解析】由（），可得：在上有解.令（），只要即可.求導，.令，即，因為，所以，解得.當時，，則，所以在上單調遞增.當時，，則，所以在上單調遞減.由的單調性可知，在處取得極大值，也是最大值，.因為，所以.正確答案為15.【答案】解：（1）依題意，，令，得，則，所以，因為時，，所以是原方程的一個解，又因為函數在上單調遞增，所以是原方程唯一的解綜上，的值為5．（2）由（1）得，的通項公式，依題意，令，解得，所以展開式中的系數為.16.【答案】解：(1)由題意知，f1整理得5-b=5aln10+5-10b=16.515，解得a=5(2)設甲產品投資x萬元，乙產品投資50-x萬元，且x∈10,40則該公司獲得的利潤φx=x5則φ'x=令φ'x=0，解得x=25當10<x<25時，φ'x>0當25<x<40時，φ'x<0∴φx∴當甲，乙兩種產品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元.17.【答案】解：（1）根據題意，由于，則①；又有，，成等比數列，則②，聯立①②且，解得，，則，故數列的通項公式為.（2）因為，所以，則；（3）因為，所以③，④，則③-④得，綜上可知.18.【答案】解：（1）當時，，求導可得，令，解得或時，令，解得時，所以f(x)的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.（2）當時，，設與直線相切的切點是，因為，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得；（3）當時，，的圖象與有三個公共點，所以等價于方程有三個不等實數根，設函數，則，時，或；時，，在和上單調遞增，在上單調遞減，時取極大值，時取極小值，所以的取值范圍為.19.【答案】(1)解方法一由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.∵ex≥1＋x，當且僅當x＝0時等號成立，∴f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x.∴當1－2a≥0，即a≤時，在區間[0，＋∞)上，f′(x)≥0，且f′(x)不恒等于0，∴f(x)單調遞增，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，符合題意．又由ex>1＋x(x≠0)，可得e－x>1－x(x≠0)．∴當a>時，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)·(ex－2a)．∴在區間(0，ln2a)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減，f(x)<0，不符合題意．綜上，實數a的取值范圍為.方法二由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.令h(x)＝ex－1－2ax，則h′(x)＝ex－2a.當2a≤1，即a≤時，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，且h′(x)不恒等于0，∴h(x)單調遞增，h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥f′(0)＝0.∴f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，∴f(x)≥f(0)＝0，∴a≤時滿足條件．當2a>1，即a>時，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)<0，h(x)單調遞減，∴當x∈(0，ln2a)時，有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<