海南省三亞市實驗中學2024?2025學年高二下學期第一次質量檢測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．高二某班4名同學分別從3處不同風景點中選擇一處進行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．設函數在處存在導數為2，則（

）A．1 B．2 C． D．33．已知函數滿足，則的值為（

）A． B． C． D．4．函數的圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．一個口袋里裝有大小不同的2個紅球和4個白球，從中取3個球，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有（

）A．35種 B．32種 C．16種 D．14種6．某市的5個區縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個區域染色，每個區域只染一種顏色，且相鄰的區域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種7．設是定義在上的奇函數，且，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．的零點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數的極小值點為1，極小值為.則（

）A．B．C．有3個零點D．直線與的圖象僅有1個公共點10．下列說法正確的是（

）A．可表示為B．若把英文“hero”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有23種C．10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，一共握手45次D．學校有5個“市三好學生”名額，現分給3個年級，每個年級至少一個名額，則有6種分法11．已知函數（

）A．若在上單調遞增，則實數的取值范圍是B．若在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是C．當在區間上不單調，則實數的取值范圍是D．若的單調遞減區間為，則.三、填空題（本大題共3小題）12．求的值為.13．用“實”?“驗”?“中”?“學”?“頂”?“呱”?“呱”這七個字可以組成種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）14．過原點與曲線相切的切線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數，．（1）求的單調遞增區間與極值；（2）求在區間上的最大值與最小值．16．求下列問題的排列數：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.17．由0，1，2，3，4這五個數字．（1）能組成多少個無重復數字的五位數？（2）能組成多少個無重復數字的五位偶數？（3）組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？18．設函數．(1)若恒成立，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，當時，函數的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．19．已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，故共有種選擇方法.故選D.2．【答案】C【詳解】由依題意，知，則.故選C.3．【答案】A【詳解】由已知可得，，則，所以，.故選A.4．【答案】D【詳解】依題意，，因為，所以，所以切線方程為，即，故選D.5．【答案】C【詳解】從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有種.故選C.6．【答案】D【詳解】當B，E同色時，共有種不同的染色方案，當B，E不同色時，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案.故選D7．【答案】A【詳解】當時，令，則，所以在上單調遞減，因為，所以，于是當時，，即；當時，，即.又為上的奇函數，所以當時，，當時，，又，所以的解集為.故選A.8．【答案】D【詳解】由得，構造函數，求導得在上單調遞減，在上單調遞增，上單調遞減，且，及時，的圖象如圖，得到有3個解.

故選D.9．【答案】ACD【詳解】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯誤.，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個零點，故C正確；直線與的圖象僅有1個公共點，故D正確.故選ACD.10．【答案】BCD【分析】利用排列數公式判斷A；利用排除法列式計算判斷B；利用組合計數判斷C；分類計算判斷D.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，四個字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現的錯誤共有種，B正確；對于C，10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，共有次，C正確；對于D，5個名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.故選BCD.11．【答案】AD【詳解】由函數可知：函數的定義域為，導數.對于選項A：因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分離出參數，可得在上恒成立.又因為二次函數在上單調遞增，所以在上，所以，故選項A正確.對于選項B：因為在上存在單調遞減區間，所以在上有解，即在上有解，分離出參數，可得在上有解.又因為二次函數在上單調遞增，所以在上，所以，故選項B錯誤.對于選項C：當時，.令，解得.因為在區間上不單調，所以導數在區間上有極值點，則，解得：，故選項C錯誤.對于選項D：因為的單調遞減區間為，所以是的一個根，即，解得：，故選項D正確.故選AD.12．【答案】18【詳解】13．【答案】【詳解】由于這七個字中有兩個重復文字，故第一步優先擺放，共有種；第二步擺放剩下五個文字，共有種；根據分步計數乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.14．【答案】【詳解】設切點坐標為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.【詳解】設切點坐標為，切線方程為，由，則，則，則，即，即，解得，所以，所以原點與曲線相切的切線方程為．15．【答案】（1）單調增區間為和，極大值為，極小值為（2）最大值為1，最小值為【詳解】（1），令，得或，當時，，則在單調遞增，當時，，則在單調遞減，當時，，則在單調遞增，所以單調增區間為和，單調減區間為，所以的極大值為，極小值為．（2）由（1）可知，在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，又，，所以在區間上的最大值為1，最小值為．16．【答案】（1）720(種)（2）1440(種)（3）1440(種)【詳解】（1）根據相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.（2）根據不相鄰問題插空法得，先將4名男生進行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有(種)不同的排列方法.（3）先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有(種)不同的排列方法.17．【答案】（1）96（2）60（3）65【詳解】（1）先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，所以能組成96個無重復數字的五位數；（2）當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，即可以組成個無重復數字的五位偶數；（3）計算比21034大的五位數的個數分兩類：萬位比2大的五位數個數是，萬位是2的五位數中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，由分類加法計數原理得，所以組成無重復數字的五位數中比21034大的數有65個.18．【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）函數的定義域為，不等式，令，依題意，恒成立，，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，則，所以實數a的取值范圍是.（2）由函數，求導得，由，得，當時，，函數在上單調遞減，，解得，無解；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，符合題意，所以存在實數a，當時，函數的最小值是2，.19．【答