廣東省東莞市海德實驗學校2024?2025學年高二下學期第一次月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數的導函數是，若，則（）A． B．1 C．2 D．42．函數的導數為（

）A． B．C． D．3．若函數恰好有三個單調區間，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知函數，則（

）A． B． C． D．5．已知函數在處有極大值，則的值為（

）A．6 B．6或2 C．2 D．4或26．已知函數的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．7．我們熟悉的網絡新詞，有“yyds”、“內卷”、“躺平”等，定義方程的實數根叫做函數的“躺平點”．若函數，，的“躺平點”分別為，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．8．已知函數，若對任意，有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖顯示物體甲、乙在時間到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是（

）A．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范圍內，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度10．已知是自然對數的底數，函數的定義域為，是的導函數，且，則（

）A． B． C． D．11．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．有極大值B．有極小值C．無最大值D．在上單調遞增三、填空題（本大題共3小題）12．函數的單調遞減區間為．13．已知函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是.14．已知兩個函數和.（其中為實數），若對，，使成立，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數在處取得極大值2．（1）求的值；（2）求函數在區間上的最值．16．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的極值．17．設函數，.（1）當（為自然對數的底數）時，求的極小值；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍.18．已知函數．(1)若1是函數的極值點，求的值；(2)若，試問是否存在零點．若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由．19．已知函數．（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；（2）設是函數的兩個極值點，證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】因為所以故選B2．【答案】B【詳解】函數，求導得.故選B3．【答案】D【詳解】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選D.4．【答案】A【詳解】因為，則，所以，，解得，所以，，因此，.故選A.5．【答案】A【詳解】因為函數，所以，因為在處有極大值，所以，即，解得或，當時，，令，解得或，當時，，即在單調遞減，當時，，即在單調遞增，所以時取得極小值，不合題意，舍去；當時，，令，解得或當時，，即在單調遞增，當時，，即在單調遞減，所以時取得極大值，符合題意.所以的值為6，故選A．6．【答案】C【分析】由函數圖象的特殊點以及單調性逐一判斷可得解.【詳解】由圖象可知，故BD不成立；對于A選項：，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，不符合圖象，故A不成立.故選C.7．【答案】C【詳解】根據題意，，又，則，解得；同理，即，令，則，所以在上單調遞增，又，，所以在上存在唯一零點，；又，則，解得；所以.故選C.8．【答案】B【詳解】因為，所以,令,因為，所以單調遞減，單調遞減，因為，所以為偶函數，因為，所以，當時，單調遞增，單調遞增，所以.故選B.9．【答案】BC【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故A錯誤,B正確；在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故C正確，D錯誤．故選BC．10．【答案】AC【分析】構造函數，借助新函數的單調性即可判斷.【詳解】令函數，則，所以在上單調遞增，又，所以，即，所以，而的大小不確定．故選AC.11．【答案】BCD【分析】分析可知，函數的定義域為，且，利用導數分析函數的單調性與極值，即可得出合適的選項.【詳解】對于函數，該函數的定義域為，且，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數的極小值為，無極大值，當時，，故函數無最大值，函數在上單調遞增，BCD都正確，A錯誤.故選BCD.12．【答案】【詳解】由題意，函數的定義域為，求導可得，令，因為，所以解得.所以函數的單調遞減區間為.13．【答案】【詳解】函數的定義域為，求導得，依題意，不等式在上有解，等價于在上有解，而，當且僅當時取等號，則，所以實數a的取值范圍是.14．【答案】【詳解】由題設，則在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調遞增，在上單調遞減，而，要使對，，使成立，所以，只需在上，則，可得.15．【答案】（1），（2）最大值為6，最小值為【詳解】（1）函數，解得，

所以，得所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以函數在處取得極大值，符合題意

則，（2）由（1）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以的最大值為6，最小值為16．【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，由得，切點，，則切線的斜率，故切線方程為，即.（2）函數的定義域為，，當時，，函數在定義域內為減函數，無極值；當時，令，解得，當時，；當時，，∴在上為減函數，在上為增函數，∴函數有極小值.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當時，，，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得極小值，極小值為.（2）因為對任意，恒成立，即對任意，恒成立，所以在上單調遞減，令，則，所以在上恒成立，又因為的對稱軸為，所以恒成立只需，解得，所以的取值范圍為.18．【答案】(1)(2)不存在，理由見詳解【詳解】（1），定義域是，．因為1是函數的極值點，所以，解得，經檢驗符合題意，所以.（2）令，即，令，則．令，則，令，解得，而，且為增函數，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，當x趨向于0時，趨向于，即，，，故存在，使得，即，故當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，故，因為，所以，且，故，即無零點．19．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1），則，令，得，若函數有兩個零點，則直線與函數的圖象有兩個不同的交點．設，則．當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此．當時，，當時