安徽省安慶市示范高中2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線是曲線的一條切線，則實數（）A． B． C． D．2．已知服從正態分布，當時，關于的二項式的展開式的常數項為（

）A．1 B．4 C．6 D．123．已知點,平面過原點,且垂直于向量,則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．4．山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外．據統計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑X（單位：mm）服從正態分布，則估計蘋果直徑在內的概率為（

）（附：若，則，．）A．0.6827 B．0.8413 C．0.9545 D．0.81865．函數，若數列滿足，，且是遞增數列，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，已知、雙曲線的左、右焦點，A、B為雙曲線上關于原點對稱的兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．7．給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數.若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.經研究發現所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖象的對稱中心.若函數，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中???是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N?M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經過到達N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達N處的方法有20種二、多選題（本大題共3小題）9．若，則（

）A． B． C． D．10．已知實數x，y滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為11．對于函數，下列說法正確的是（

）A．函數在處取得極大值 B．函數的值域為C．有兩個不同的零點 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線E與雙曲線具有相同的漸近線，且經過點，則雙曲線E的方程為.13．直線與曲線相切，則.14．甲罐中有4個紅球，4個白球和2個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數列的前項和為，若，且滿足（）.(1)求數列的通項公式；(2)證明：.16．某品牌汽車4S店對2020年該市前幾個月的汽車成交量進行統計，用表示2020年第月份該店汽車成交量，得到統計表格如下：123456781412202022243026（1）求出關于的線性回歸方程.(，精確到整數)（2）利用回歸方程預測九月份的汽車成交量，并預測哪個月份成交量開始突破35輛.參考數據及公式：，，，.17．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若O為坐標原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.18．已知函數，其中(1)求的單調區間；(2)恒成立，求a的值．19．已知函數．(1)求出函數的極值；(2)若對于任意的，都有，求整數的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】數的定義域為（0，+∞），設切點為（m，2lnm+1），則函數的導數，則切線斜率，則對應的切線方程為即且，即，則，則，故選B．2．【答案】D【詳解】因為服從正態分布，，所以，二項式的展開式的第項，令，可得，所以二項式的展開式的常數項為，故選D.3．【答案】D【詳解】由題意,,,則,所以點到平面的距離為.故選D.4．【答案】D【詳解】由知，，所以.故選D.5．【答案】D【詳解】由題意可知分段函數在每一段上為增函數，且，即，解得，故實數a的取值范圍是．故選D.6．【答案】A【詳解】連接，由及雙曲線的對稱性知是矩形，由，，，則，，∴，∴離心率為，故選A．

【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，列出關于關系式是?題關鍵．本題利用雙曲線的對稱性構造矩形，然后結合雙曲線定義得出關系式，求得離心率．7．【答案】B【詳解】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對稱中心為，即，所以，故選B.8．【答案】B【詳解】對于甲，經過到達有1種，經過到達有種，經過到達有種，經過到達有1種，甲從M到達N處的方法共有20種，同理對于乙，經過到達分別有種．對于A，甲從M必須經過到達N處的方法有9種，A正確，對于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯誤，對于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對于D，甲從M到達N處的方法共有20種，D正確故選B.9．【答案】CD【詳解】由，令得，A選項錯誤.令得①，所以，C選項正確.令得②，①-②得，D選項正確.，所以，B選項錯誤.故選CD.10．【答案】ABD【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.設圓上任意一點的坐標為.即.A，，當時，取得最大值為，A正確.B，，當時，取得最大值為，B正確.C，如圖所示，當過原點的直線與圓相切與第一象限時，最大.設切線的方程為，即，圓心到切線的距離為.所以的最大值為，C錯誤.D選項，，當時，取得最大值為，D正確.故選ABD.11．【答案】ABD【詳解】函數的定義域為，求導，令，解得：極大值所以當時，函數有極大值，故A正確；對于BCD，令，得，即，當時，，，則作出函數的抽象圖像，如圖所示：由圖可知函數的值域為，故B正確；函數只有一個零點，故C錯誤；又函數在上單調遞減，且，則，故D正確；故選ABD.12．【答案】【詳解】由題意不妨設與雙曲線具有相同的漸近線的雙曲線E的方程為，若雙曲線E經過點，則，解得，所以雙曲線E的方程為.13．【答案】0或4/4或0【詳解】直線過點設切點，所以切線方程為：，由切線過點可得，解得得，

所以或.14．【答案】/【詳解】分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件,則.15．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）依題意，可知（），當時，由，可知，由，可得兩式相減可知，，即（），因此時，為公比為2的等比數列，故（），所以.（2）由（1）可知，，，當時，，也符合該形式，因此（），.16．【答案】（1）；（2）預計9月份的成交量為30輛，從12月份起成交量開始突破35輛.【詳解】解：（1）由題意得：，，∴，∴，所以回歸直線方程為.（2）當時，即預計9月份的成交量為30輛，由得：，∴即從12月份起成交量開始突破35輛.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標準方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，，，，，聯立方程組，消去整理得，則，原點到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或18．【答案】(1)遞減區間是，遞增區間是；(2)2.【詳解】（1）函數的定義域為，求導得函數，因，當時，，當時，，即函數在上遞減，在上遞增，所以函數的遞減區間是，遞增區間是.（2）由（1）知，函數在處取得最小值，，令，，當時，，當時，，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，從而得，所以.19．【答案】