高級中學名校試題PAGEPAGE1重慶市康德卷2025屆高三下學期高考模擬調研（六）數學試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知等差數列中，，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設首項為，公差為，因為，所以，即，解得，因為，所以，解得，則，得到，故A正確.故選：A2.已知的三個頂點分別是，則的面積為（）A.3 B.5 C. D.10【答案】B【解析】由題意得：所以又由，即，所以，故選：B.3.函數的一條對稱軸為，一個對稱中心為，則可能為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以由輔助角公式得，令，解得，故，令，解得，故，則,當時，，故C正確.故選：C4.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】，，所以,故選：A.5.已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角為，一個焦點為，則雙曲線的頂點到漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于雙曲線

，其漸近線方程為，由題意可得漸近線的傾斜角為，所以，又，聯立解得，雙曲線的任一頂點到任一漸近線的距離都相等，不妨取頂點和漸近線，則雙曲線的頂點到漸近線的距離為.故選：B.6.正方體的棱長為是棱的中點，是側面內一點，且平面，則長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點為，連接，由中位線易知，又在平面內，不在平面內，所以平面，平面，又是平面內兩條相交直線，所以平面平面，又平面，所以在平面內，又是側面內一點，所以的軌跡是線段,易知,，所以長度的取值范圍是.故選：C7.已知點在直線上，過點的兩條直線與圓分別相切于兩點，則圓心到直線的距離的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由圖可知，所以四點共圓，設，則該圓心為，半徑為，所以該圓方程為，整理得：，由它與圓的方程相減，得兩圓相交弦的方程：，所以圓心到直線的距離為：，又因為點在直線上，則，代入消元得：，當時取等號.故選：C.8.若能被整除，則的最小正整數取值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由題意得,，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，而，得到，故，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，若使最小，則滿足，解得，故C正確.故選：C二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數滿足，則（）A.若為純虛數，則的虛部是B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A：，滿足，故A錯誤；對于B：因為，所以，正確；對于C：令，則，，所以，正確；對于D：由可知：在復平面上，復數對應的點在以點為圓心，3為半徑的圓上，的幾何意義是點到點的距離，由圓心到的距離為1可得，，D正確，故選：BCD10.已知，則以下等式可能成立的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】當時，滿足，此時，故A正確；若，則，故B錯誤；因為，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC11.若實數滿足，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】由平方不等式可得：，代入，則，取等號條件是，故A正確；B錯誤；令，則，由于存在滿足上式成立，則，即，故D正確，C錯誤；故選：AD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在處的切線斜率等于，則實數的值為_____.【答案】【解析】令，則，因為曲線在處的切線斜率等于，所以，則，解得.故答案為：13.若高為3的正三棱臺的上、下底面的邊長之比為1:2，且其體積等于7，則該三棱臺上底面的面積為_____.【答案】【解析】設上底面邊長為，則下底面邊長為，正三角形的面積公式為，因此上底面面積，下底面面積，顯然，即，棱臺的體積公式為：，代入已知條件,，并設，則，得：化簡后：解得，因此上底面的面積，故答案為：.14.若存在實數使得方程有個解，則的值為_____.【答案】【解析】因為，其中，由可得，可得，令，其中，則直線與函數的圖象有兩個公共點，因為，即函數為偶函數，所以，直線與函數在上的圖象有且只有一個公共點，當時，，當時，；當時，.所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數在上的圖象只有一個公共點，因此，.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場一共有4層樓.一部電梯可以從第1層上升至第2，3，4層中的任意一層，若有4個人從第1層進入這部電梯上樓.（1）求恰有2人去第4層的概率；（2）求在第4層下電梯人數的分布列和數學期望.解：（1）4人從第1層進入這部電梯上樓共有種情況，4人中有2人去第4層共有種情況，因此恰有人去第層的概率為；（2）由題意，在第層下電梯人數可能取值為．，，，，．所以的分布列為所以．16.圓錐如圖所示，是頂點，，是底面圓上的兩條相互垂直的直徑，點在上.（1）求證:；（2）若且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：由圓錐知，又，，平面，平面，所以平面，平面，故，又是中點，即是線段的垂直平分線，故．（2）解：由（1）知，結合，可知為等腰直角三角形，故；由，知，故；設，則；以為原點，所在直線分別為軸，軸和軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，；所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則；記直線與平面所成角為，則，故，直線與平面所成角的余弦值為．17.已知銳角的內角的對邊分別為，且成等差數列.（1）若，求面積的最大值；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）由成等差數列知，故；由余弦定理：，故（當且僅當時等號成立），故（當且僅當時等號成立），故面積的最大值是．（2）由正弦定理：，，則；由為銳角三角形，，則，解得，則；由在上單調遞增，故，故，即周長的取值范圍為．18.已知函數，（1）當時，討論的單調性;（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，（），則有，考慮函數，因為，令，，由可得：，由可得：，所以在上單減，在上單增，因為，所以，則函數在上單增，因為，則有時，，時，，所以時，，時，，所以函數上單調遞增，在上單調遞減．（2）當時，成立，則有成立，記，則成立，，記，①當時，，當時，，，在單調遞減，當時，，，在單調遞增，故，不滿足條件；②當時，在成立，故在單調遞減，，滿足條件；③當時，，由②知，此時綜上，．19.二次函數的圖象是拋物線，現在我們用“圖象平移”的方式討論其焦點與準線，舉例如下:二次函數的圖象可以由的圖象沿向量平移得到;拋物線，即的焦點坐標為，準線方程為;故二次函數的焦點坐標為，準線方程為.（1）求二次函數的焦點坐標和準線方程；（2）求二次函數的焦點坐標和準線方程；（3）設過的直線與拋物線的另一個交點為，直線與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點.是否存在定點，使得三點共線?若存在，請求出定點的坐標;若不存在，請說明理由.解：（1）二次函數，它的圖象可以由拋物線沿向量平移得到；拋物線即的焦點坐標為，準線方程為；所以二次函數的焦點坐標為，準線方程為．（2）二次函數，它的圖象可以由拋物線沿向量平移得到；拋物線即的焦點坐標為，準線方程為；所以二次函數的焦點坐標為，準線方程為；即二次函數的焦點坐標為，準線方程為．（3）由（1）知拋物線可以由拋物線沿向量平移得到；先考慮如下問題：過的直線與拋物線的另一個交點為，直線與直線交于點，過點作x軸的垂線交拋物線于點，討論是否存在定點，使得三點共線；設，又，則直線的方程為：，化簡得：，與直線聯立得：，代入得：，即，則直線的方程：，化簡得；當時，恒成立，所以直線恒過定點，即存在定點，使得三點共線；故存在定點，使得三點共線．重慶市康德卷2025屆高三下學期高考模擬調研（六）數學試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知等差數列中，，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設首項為，公差為，因為，所以，即，解得，因為，所以，解得，則，得到，故A正確.故選：A2.已知的三個頂點分別是，則的面積為（）A.3 B.5 C. D.10【答案】B【解析】由題意得：所以又由，即，所以，故選：B.3.函數的一條對稱軸為，一個對稱中心為，則可能為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以由輔助角公式得，令，解得，故，令，解得，故，則,當時，，故C正確.故選：C4.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】，，所以,故選：A.5.已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角為，一個焦點為，則雙曲線的頂點到漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于雙曲線

，其漸近線方程為，由題意可得漸近線的傾斜角為，所以，又，聯立解得，雙曲線的任一頂點到任一漸近線的距離都相等，不妨取頂點和漸近線，則雙曲線的頂點到漸近線的距離為.故選：B.6.正方體的棱長為是棱的中點，是側面內一點，且平面，則長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點為，連接，由中位線易知，又在平面內，不在平面內，所以平面，平面，又是平面內兩條相交直線，所以平面平面，又平面，所以在平面內，又是側面內一點，所以的軌跡是線段,易知,，所以長度的取值范圍是.故選：C7.已知點在直線上，過點的兩條直線與圓分別相切于兩點，則圓心到直線的距離的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由圖可知，所以四點共圓，設，則該圓心為，半徑為，所以該圓方程為，整理得：，由它與圓的方程相減，得兩圓相交弦的方程：，所以圓心到直線的距離為：，又因為點在直線上，則，代入消元得：，當時取等號.故選：C.8.若能被整除，則的最小正整數取值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由題意得,，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，而，得到，故，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，若使最小，則滿足，解得，故C正確.故選：C二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數滿足，則（）A.若為純虛數，則的虛部是B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A：，滿足，故A錯誤；對于B：因為，所以，正確；對于C：令，則，，所以，正確；對于D：由可知：在復平面上，復數對應的點在以點為圓心，3為半徑的圓上，的幾何意義是點到點的距離，由圓心到的距離為1可得，，D正確，故選：BCD10.已知，則以下等式可能成立的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】當時，滿足，此時，故A正確；若，則，故B錯誤；因為，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC11.若實數滿足，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】由平方不等式可得：，代入，則，取等號條件是，故A正確；B錯誤；令，則，由于存在滿足上式成立，則，即，故D正確，C錯誤；故選：AD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在處的切線斜率等于，則實數的值為_____.【答案】【解析】令，則，因為曲線在處的切線斜率等于，所以，則，解得.故答案為：13.若高為3的正三棱臺的上、下底面的邊長之比為1:2，且其體積等于7，則該三棱臺上底面的面積為_____.【答案】【解析】設上底面邊長為，則下底面邊長為，正三角形的面積公式為，因此上底面面積，下底面面積，顯然，即，棱臺的體積公式為：，代入已知條件,，并設，則，得：化簡后：解得，因此上底面的面積，故答案為：.14.若存在實數使得方程有個解，則的值為_____.【答案】【解析】因為，其中，由可得，可得，令，其中，則直線與函數的圖象有兩個公共點，因為，即函數為偶函數，所以，直線與函數在上的圖象有且只有一個公共點，當時，，當時，；當時，.所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數在上的圖象只有一個公共點，因此，.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場一共有4層樓.一部電梯可以從第1層上升至第2，3，4層中的任意一層，若有4個人從第1層進入這部電梯上樓.（1）求恰有2人去第4層的概率；（2）求在第4層下電梯人數的分布列和數學期望.解：（1）4人從第1層進入這部電梯上樓共有種情況，4人中有2人去第4層共有種情況，因此恰有人去第層的概率為；（2）由題意，在第層下電梯人數可能取值為．，，，，．所以的分布列為所以．16.圓錐如圖所示，是頂點，，是底面圓上的兩條相互垂直的直徑，點在上.（1）求證:；（2）若且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：由圓錐知，又，，平面，平面，所以平面，平面，故，又是中點，即是線段的垂直平分線，故．（2）解：由（1）知，結合，可知為等腰直角三角形，故；由，知，故；設，則；以為原點，所在直線分別為軸，軸和軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，；所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則；記直線與平面所成角為，則，故，直線與平面所成角的余弦值為．17.已知銳角的內角的對邊分別為，且成等差數列.（1）若，求面積的最大值；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）由成等差數列知，故；由余弦定理：，故（當且僅當時等號成立），故（當且僅當時等號成立），故面積的最大值是．（2）由正弦定理：，，則；由為銳角三角形，，則，解得，則；由在上單調遞增，故，故，即周長的取值范圍為．18.已知函數，（1）當時，討論的單調性;（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，（），則有，考慮函數，因為，令，，由可得：，由可得：，所以在上單減，在上單增，因為，所以，則函數在上單增，因為，則有時