高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市2025屆高考模擬考試(一模)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以集合AB中元素的個(gè)數(shù)為2.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，則.故選：B.3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)周期，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期可得故選：D4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】，的二項(xiàng)展開示的通項(xiàng)為①，②，在①式中，令得11，故的常數(shù)項(xiàng)為，在②式中，令得，則的常數(shù)項(xiàng)為，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.5.甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)甲獲勝為事件A，比賽進(jìn)行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，過作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，，同理可證，解得，所以，，故選：D．7.曲線與和分別交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線在A處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)，則，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以.故選：A.8.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)，其中銳角由確定，由，得，而，因此，即，則，即，于是，所以.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列，且，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，兩式相減得，即所以，又，解得，所以，正確；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，正確；對(duì)于C，由，得，則集合中元素的個(gè)數(shù)為，即，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確．故選：ABD10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.外接圓的面積為C.面積的最大值為 D.周長(zhǎng)的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫砜傻茫瑒t，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由正弦定理可得外接圓的半徑，所以外接圓的面積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由可得，且，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由可得，即，且，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最大值為，故D正確；故選：BCD.11.若雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的右支上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的面積為9B.若為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為3C.四邊形面積最小值為D.的最小值為【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為1，雙曲線的焦點(diǎn)，對(duì)于A，由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由雙曲線的定義可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，所以當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積最小，由雙曲線的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)位于右頂點(diǎn)時(shí)，最小，所以，所以四邊形面積的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但，所以取不到等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】1【解析】因?yàn)椋芍瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)是奇函數(shù)，則，解得，則，又因?yàn)椋矗芍瘮?shù)是奇函數(shù)，所以符合題意.故答案為：1.13.已知正四棱臺(tái)的高為3，其頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的半徑為5，球心在正四棱臺(tái)的一個(gè)底面上，則該正四棱臺(tái)的體積為______．【答案】122【解析】因?yàn)榍蛐脑谡睦馀_(tái)的一底面上，設(shè)球心所在底面為下底面，正四棱臺(tái)的高為3，球半徑為5，連接球心與正四棱臺(tái)上底面一頂點(diǎn)，以及球心與上底面中心，構(gòu)成直角三角形，設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則上底面中心到頂點(diǎn)距離為根據(jù)勾股定理，即，解得，因?yàn)榍蛐脑谙碌酌妫碌酌嬷行牡巾旤c(diǎn)距離就是球半徑5，設(shè)下底面邊長(zhǎng)為，則，解得，根據(jù)正四棱臺(tái)體積公式（其中是高，是下底面積，是上底面積），下底面積，上底面積，已知高，則體積故答案為：12214.，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】在上恒成立當(dāng)時(shí)，即解得，此時(shí).令則，①當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞增，恒成立，恒成立，；②時(shí)．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解得與矛盾，舍去；綜上所述，的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步簽．15.為了解高三，1班和2班的數(shù)學(xué)建模水平，現(xiàn)從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模能力比賽（滿分100分），成績(jī)?nèi)缦拢簲?shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；數(shù)據(jù)Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．（1）求數(shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數(shù)；（2）從上述成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人作下一步調(diào)研，設(shè)被抽到的3人中來自于高三，2班的學(xué)生人數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）將數(shù)據(jù)Ⅰ從小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)Ⅰ的第80百分位數(shù)為.（2）數(shù)據(jù)Ⅰ中60分以下的有54分，58分；數(shù)據(jù)Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；即符合題意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.可知X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的概率分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.16.底面為菱形的四棱錐中，與交于點(diǎn)，平面平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危浴停驗(yàn)槠矫嫫矫妫瑸榻痪€，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴停驗(yàn)槠矫嫫矫妫瑸榻痪€，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴停驗(yàn)椋矫妫云矫妫唬?）解：由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令得，故，直線與平面所成角的正弦值為，即，化簡(jiǎn)得，負(fù)值舍去，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知數(shù)列和滿足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．（1）解：因?yàn)椋傻茫矗芍獢?shù)列為常數(shù)列，則，所以；又因?yàn)椋瑒t有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.（2）證明：由（1）可知：，可得，顯然，所以.18.已知橢圓的離心率為分別為的左．右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，且．（1）求的方程；（2）過的右焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線與交于點(diǎn)．①證明：點(diǎn)在定直線上；②求的最大值．解：（1）由題意知，，所以，即．又，所以，所以．所以的方程為．（2）①由于直線過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)直線的方程為．由得，設(shè)，則，所以．因?yàn)闄E圓的左，右頂點(diǎn)分別為，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得,解得，所以點(diǎn)在定直線上．②設(shè)直線的傾斜角分別為，則，由①知，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．19.已知函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，記直線的方程為，若直線恰為曲線的一條切線（為切點(diǎn)），且（為的定義域），則稱函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．（1）試判斷函數(shù)是否為“切線支撐”函數(shù)．若是，求出一組點(diǎn)；否則，請(qǐng)說明理由；（2）已知為“切線支撐”函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．（1）解：,顯然，令，得，即，所以是的極小值點(diǎn)，且為曲線得一條切線，所以函數(shù)是“切線支撐”函數(shù)，可取.（2）解：當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，所以切點(diǎn)不可能都在軸的右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，所以切點(diǎn)不可能都在軸的左側(cè)；所以切點(diǎn)必在軸的兩側(cè).不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)處的切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)閮牲c(diǎn)處的切線重合，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以，即，設(shè)A點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，設(shè)點(diǎn)處的切線方程為，則，即，所以為“切線支撐”函數(shù)，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）證明：因?yàn)椋O(shè)，所以點(diǎn)處的切線方程為和，所以，所以，不妨取，則，即，所以，不妨取，則切線的方程為，又，所以函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．山東省濟(jì)寧市2025屆高考模擬考試(一模)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以集合AB中元素的個(gè)數(shù)為2.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，則.故選：B.3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)周期，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期可得故選：D4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】，的二項(xiàng)展開示的通項(xiàng)為①，②，在①式中，令得11，故的常數(shù)項(xiàng)為，在②式中，令得，則的常數(shù)項(xiàng)為，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.5.甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)甲獲勝為事件A，比賽進(jìn)行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，過作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，，同理可證，解得，所以，，故選：D．7.曲線與和分別交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線在A處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)，則，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以.故選：A.8.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)，其中銳角由確定，由，得，而，因此，即，則，即，于是，所以.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列，且，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，兩式相減得，即所以，又，解得，所以，正確；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，正確；對(duì)于C，由，得，則集合中元素的個(gè)數(shù)為，即，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確．故選：ABD10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.外接圓的面積為C.面積的最大值為 D.周長(zhǎng)的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫砜傻茫瑒t，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由正弦定理可得外接圓的半徑，所以外接圓的面積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由可得，且，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由可得，即，且，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最大值為，故D正確；故選：BCD.11.若雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的右支上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的面積為9B.若為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為3C.四邊形面積最小值為D.的最小值為【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為1，雙曲線的焦點(diǎn)，對(duì)于A，由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由雙曲線的定義可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，所以當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積最小，由雙曲線的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)位于右頂點(diǎn)時(shí)，最小，所以，所以四邊形面積的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但，所以取不到等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】1【解析】因?yàn)椋芍瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)是奇函數(shù)，則，解得，則，又因?yàn)椋矗芍瘮?shù)是奇函數(shù)，所以符合題意.故答案為：1.13.已知正四棱臺(tái)的高為3，其頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的半徑為5，球心在正四棱臺(tái)的一個(gè)底面上，則該正四棱臺(tái)的體積為______．【答案】122【解析】因?yàn)榍蛐脑谡睦馀_(tái)的一底面上，設(shè)球心所在底面為下底面，正四棱臺(tái)的高為3，球半徑為5，連接球心與正四棱臺(tái)上底面一頂點(diǎn)，以及球心與上底面中心，構(gòu)成直角三角形，設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則上底面中心到頂點(diǎn)距離為根據(jù)勾股定理，即，解得，因?yàn)榍蛐脑谙碌酌妫碌酌嬷行牡巾旤c(diǎn)距離就是球半徑5，設(shè)下底面邊長(zhǎng)為，則，解得，根據(jù)正四棱臺(tái)體積公式（其中是高，是下底面積，是上底面積），下底面積，上底面積，已知高，則體積故答案為：12214.，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】在上恒成立當(dāng)時(shí)，即解得，此時(shí).令則，①當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞增，恒成立，恒成立，；②時(shí)．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解得與矛盾，舍去；綜上所述，的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步簽．15.為了解高三，1班和2班的數(shù)學(xué)建模水平，現(xiàn)從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模能力比賽（滿分100分），成績(jī)?nèi)缦拢簲?shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；數(shù)據(jù)Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．（1）求數(shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數(shù)；（2）從上述成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人作下一步調(diào)研，設(shè)被抽到的3人中來自于高三，2班的學(xué)生人數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）將數(shù)據(jù)Ⅰ從小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)Ⅰ的第80百分位數(shù)為.（2）數(shù)據(jù)Ⅰ中60分以下的有54分，58分；數(shù)據(jù)Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；即符合題意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.可知X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的概率分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.16.底面為菱形的四棱錐中，與交于點(diǎn)，平面平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危浴停驗(yàn)槠矫嫫矫妫瑸榻痪€，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴停驗(yàn)槠矫嫫矫妫瑸榻痪€，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴停驗(yàn)椋矫妫云矫妫唬?）解：由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令得，故，直線與平面所成角的正弦值為，即，化簡(jiǎn)得，負(fù)值舍去，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知數(shù)列和滿足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．（1）解：因?yàn)椋傻茫矗芍獢?shù)列為常數(shù)列，則，所以；又因?yàn)椋瑒t有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.（2）證明：由（