高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省點石聯考2025屆高三下學期3月聯合考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得且,即且，所以．故選：C2.已知，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】，所以，所以．故選：C.3.探究學習小組收集了早餐店2024年前六個月包子的售賣數據，得出每個月售賣包子的個數（單位：萬個）與月份的經驗回歸方程為，已知五月份的售賣量為2萬個，則時的殘差為（）A. B.0.2 C. D.0.1【答案】D【解析】令，得，則所求殘差為．故選：D.4.已知有窮數列是等差數列，公差為，前項和為，．命題，為等差數列；命題，為遞增數列，則（）A.和均為真命題 B.和均為真命題C.和均真命題 D.和均為真命題【答案】A【解析】有窮數列是等差數列，公差為，前項和為，，則，，，，所以為等差數列，則為真命題；當時，為遞減數列，設的項數為，要使為遞增數列，只需，即，所以，則為真命題．故選：A.5.已知的最小正周期為，且，，則與無關的是（）A. B.C. D.在上的零點個數【答案】B【解析】記，，其中，，，，由可知，應在同一個單調區間內，即，，或，，，故或，由三角函數的對稱性知，故B正確．A選項，故其會發生改變，C選項，則，故亦會發生變化，D選項會隨著周期的變化而變化．故選：B6.在平面直角坐標系中，軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為．已知是橢圓上一動點，動點的軌跡為，設的離心率為，的離心率為，則下列選項中滿足的是（）A.且 B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，，.橢圓中，，故.設點的坐標為，則．A.由，得或，故，此時軌跡的方程為，離心率．B.由得，故，此時軌跡的方程為，離心率．C.由得，故，所以，此時軌跡的方程為，離心率．D.由得，，得，故，此時軌跡方程為，離心率．故選：C.7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，高為，母線與下底面所成的角為，上底面上的動點和下底面上的動點距離的最大值為，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設上、下底面的動點分別為，．過點作下底面的垂線，垂足為，作圖如下：有，由幾何關系可知當，位于圓臺軸截面上下底邊相對的頂點時，距離最大．因此，由已知可得方程組，解得，則圓臺的體積．故選：A.8.若函數，其中．若只有一個零點，則的最小值為（）A. B.5 C. D.2【答案】B【解析】令，得或，因為只有一個零點，所以，如圖，在坐標系中，可以看成到的距離的平方，而到的距離為，且函數，求導得到，在處的切線斜率為，則方程為，斜率為，則與線段垂直，由于函數的圖象在直線的下方，可以知道的最小值為5．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的待0分）9.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若存在，使得，則C.若，則到內任意直線的距離等于到的距離D.若與內任意直線所成的角均相等，則【答案】BD【解析】對于A選項，若，則或，A錯；對于B選項，若存在，使得，則，B對；對于C選項，到的距離應為到內任意直線的距離的最小值，C錯；對于D選項，設直線與平面所成角為，則，因為為直線與平面內任意直線所成角的最小值，且直線與平面內任意直線所成角的最大值為，因為與內任意直線所成的角均相等，則，即，D對.故選：BD.10.已知拋物線，焦點，，動點滿足，則（）A.B.若在上，則是等腰直角三角形C.D.的軌跡長度為【答案】ABC【解析】A.由題意得，故，拋物線的方程為，A正確．B.由選項A得拋物線準線為直線，過點向準線作垂線，垂足為，則，故，，不妨設點在第一象限，則，直線的方程為，與聯立得，∴軸，故是等腰直角三角形，B正確.C.由得，整理得，∴，C正確．D.由得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故軌跡長度為，D錯誤．故選：ABC.11.函數的定義域為，若存在滿足：對任意的恒成立，則稱為上的函數，則下列說法正確的是（）A.若是上的函數，則為上的函數B.，是上的函數C.是上的函數，則D.命題“是上的函數”的一個必要條件為“”【答案】ABD【解析】A.若是上的函數，則有，.設，則，由得，，∴，∴為上的函數，故A正確．B.由題意得，，∵對，，∴，即，∴，是上的函數，故B正確．C.若，則恒成立，即是函數，故C錯誤．D.由是上的函數，得在上恒成立，當時，，時，，故時，，時，，根據二次函數的性質可知，是函數的零點，即，故．記，，由得，由得，∴在上為減函數，在上為增函數，故，即，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某類考試報名人數為10000人，已知考試的成績服從正態分布，若錄取分數線為350分，則錄取人數約為________．（結果四舍五入取整數）（參考數據：若服從正態分布，則）【答案】1587【解析】，所以錄取人數為（人）．故答案為：1587.13.已知，，且，，則的值為________．【答案】【解析】由，知，，．因為，則，又，則，．由兩角和與兩角差的余弦公式可得，，兩式作差可得．又由兩角差的正弦公式得，則，因此．故答案為：.14.為積極響應教育部印發的《全國青少年學生讀書行動實施方案》，鼓勵學生多讀書、品經典，社區舉辦了“圖書在哪”的抽獎活動．如圖，在一個的方格表中，按如下規則放置了一些圖書，小方格中的數字表示與其有公共頂點的小方格的圖書的總本數，且有數字的小方格上沒有圖書，其余方格內無限制，且每一個方格只能放1本圖書．則在所有可能的情況中，能抽中的圖書數目最多為________，所有可能的圖書排列方式總數為________．【答案】①.11②.192【解析】如圖所示，灰色代表圖書位置，此時有11本圖書，接下來說明不可能有12本圖書，考慮數字控制區域，假設有一種方式可以達到8本圖書，首先左上角區域只有2本圖書（下圖左），在大圖中去掉后變成了下圖中間的樣子，并且圖中應有6本圖書．類似的，下方數字2代表周圍單元格中有2本圖書，再去掉后形如下方右側圖形，此時需要填4本圖書，但只剩下三個空方格，矛盾！故最多有7本，結合不受限制的區域，最多能抽中本書．接下來求所有可能的方法數．情形一：如圖所示，？處有圖書時，在左上數字2的周圍有兩種情形，若數字3右側方格無圖書，則4周圍的圖書排布方式已經固定，此時下方數字2的排布方式也被固定，此時中間數字3周圍只有兩本圖書，矛盾！所以中間數字3右側必有圖書．此時如上右圖陰影區域中有且僅有一本圖書，故下方數字2左側或右側有一本圖書．若下方數字2左側有一本圖書，則右側沒有圖書，此時4周圍的圖書排布已經固定，則此時3周圍圖書也已經符合題意，只有一種情形．若下方數字2右側有一本圖書，此時考慮下方數字2周圍還應存在的一本圖書的位置，若在2右上方，即上左圖中☆位置，則滿足題意，并且此時3周圍也滿足題意，4周圍還剩一本圖書，共有兩種選擇，共兩種；若不在2右上方，則4周圍圖書的排布已經符合題意，3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇．綜上，在情形一中，根據分類加法和分步乘法計數原理，共有種可能．情形二：如圖所示，？處無圖書時，左上數字2的圖書排布被固定，與情形一類似討論，可知3右側必有圖書，此時根據3周圍應還有2本圖書得到下方的2左右兩側均無圖書（否則下方2周圍圖書數目大于2），故4周圍的圖書排列方式被固定，所以3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇．故情形二共有2種可能．所以共有種．故答案為：①11；②192.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.記的內角，，的對邊分別，，，已知．（1）求；（2）設是邊中點，若，求．解：（1）在中，由正弦定理及，得，又，則，而，化簡得，即，而，因此，所以.（2）在中，由，得，，由正弦定理，得，由是邊中點，得，則，因此，在中，由正弦定理，得.16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，，是棱上一點，且二面角為直二面角．（1）證明：是中點；（2）若，且二面角的余弦值為，求的長．證明：（1）由已知可得，則，由二面角為直二面角，則平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以．又，由等腰三角形的性質，知是中點．（2）由已知和（1），以為原點，，，分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系．故平面的一個法向量．設平面的法向量為，設，由已知可得，，所以，，，所以，，由，可得，取，所以，化簡得，解得（舍）或，所以又是中點，所以，即長為4．17.已知函數，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若的極小值小于0，求的取值范圍．解：（1）當時，，，所以，，所以在處的切線方程為，即．（2）的定義域為，且有，令，在上恒成立，故在上單調遞增．而，，又的圖象在上連續不斷，故存在，使得，又在上單調遞增，故是在上的唯一零點．則的單調性如下表：-0+單調遞減極小值單調遞增所以的極小值為，又，故，令，在上恒成立，故在上單調遞減，又，故的充要條件為，故，所以的取值范圍為．18.現有一個質地均勻的骰子，按照下述規則從左到右依次記錄字符：拋擲骰子，點數為1，2，3時，記錄字符AA；點數為4時記錄字符B，點數為5時記錄字符C，點數為6時記錄字符D．繼續投擲骰子，按照相同的規則向右記錄AA，B，C，D的字符．例如拋擲5次骰子得到的點數依次是5，6，2，3，4，則記錄的字符為CDAAAAB，共7個字符，其中從左向右第4個字符為A，第7個字符為B．（1）拋擲3次骰子，并記錄字符．記字符中A的個數為，求；（2）拋擲次骰子，并記錄字符．記第個字符為的概率為．（i）求證：是常數列；（ii）求的前項和．解：（1）由題意知，的所有可能取值為0，2，4，6．則，，，，故．（2）（i）將第個字符為分為兩種情形討論．①第一次拋擲的結果為1，2或3，則最左邊兩個字符為AA，剩下的個字符中，第個字符為的概率為；②第一次拋擲的結果為4，5或6，則在剩下的個字符中，第個字符為的概率為．綜上：．故，即是一個常數列．（ii）容易計算，，故．故，即是以為首項，為公比的等比數列，故，故的前項和為．19.已知橢圓的左、右頂點分別為，，雙曲線過點，且離心率為．（1）求的方程；（2）若過點的直線交于，兩點（異于，兩點），直線，交于，兩點（異于點），過作，垂足為．求證：存在定點，使得為定值．（1）解：由題意知，，解得，因此雙曲線的方程為．（2）證明：設直線，，，，，將橢圓方程與直線方程聯立，得消去得，顯然，則，是該方程的兩根，則，，則，故．設直線的方程為，將與雙曲線的方程聯立，得消去，得，即，顯然，則，是該方程兩根，因此，，由，化簡得，解得或，若，則過點，舍去，因此，此時，過定點．取為的中點，即，此時．遼寧省點石聯考2025屆高三下學期3月聯合考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得且,即且，所以．故選：C2.已知，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】，所以，所以．故選：C.3.探究學習小組收集了早餐店2024年前六個月包子的售賣數據，得出每個月售賣包子的個數（單位：萬個）與月份的經驗回歸方程為，已知五月份的售賣量為2萬個，則時的殘差為（）A. B.0.2 C. D.0.1【答案】D【解析】令，得，則所求殘差為．故選：D.4.已知有窮數列是等差數列，公差為，前項和為，．命題，為等差數列；命題，為遞增數列，則（）A.和均為真命題 B.和均為真命題C.和均真命題 D.和均為真命題【答案】A【解析】有窮數列是等差數列，公差為，前項和為，，則，，，，所以為等差數列，則為真命題；當時，為遞減數列，設的項數為，要使為遞增數列，只需，即，所以，則為真命題．故選：A.5.已知的最小正周期為，且，，則與無關的是（）A. B.C. D.在上的零點個數【答案】B【解析】記，，其中，，，，由可知，應在同一個單調區間內，即，，或，，，故或，由三角函數的對稱性知，故B正確．A選項，故其會發生改變，C選項，則，故亦會發生變化，D選項會隨著周期的變化而變化．故選：B6.在平面直角坐標系中，軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為．已知是橢圓上一動點，動點的軌跡為，設的離心率為，的離心率為，則下列選項中滿足的是（）A.且 B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，，.橢圓中，，故.設點的坐標為，則．A.由，得或，故，此時軌跡的方程為，離心率．B.由得，故，此時軌跡的方程為，離心率．C.由得，故，所以，此時軌跡的方程為，離心率．D.由得，，得，故，此時軌跡方程為，離心率．故選：C.7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，高為，母線與下底面所成的角為，上底面上的動點和下底面上的動點距離的最大值為，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設上、下底面的動點分別為，．過點作下底面的垂線，垂足為，作圖如下：有，由幾何關系可知當，位于圓臺軸截面上下底邊相對的頂點時，距離最大．因此，由已知可得方程組，解得，則圓臺的體積．故選：A.8.若函數，其中．若只有一個零點，則的最小值為（）A. B.5 C. D.2【答案】B【解析】令，得或，因為只有一個零點，所以，如圖，在坐標系中，可以看成到的距離的平方，而到的距離為，且函數，求導得到，在處的切線斜率為，則方程為，斜率為，則與線段垂直，由于函數的圖象在直線的下方，可以知道的最小值為5．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的待0分）9.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若存在，使得，則C.若，則到內任意直線的距離等于到的距離D.若與內任意直線所成的角均相等，則【答案】BD【解析】對于A選項，若，則或，A錯；對于B選項，若存在，使得，則，B對；對于C選項，到的距離應為到內任意直線的距離的最小值，C錯；對于D選項，設直線與平面所成角為，則，因為為直線與平面內任意直線所成角的最小值，且直線與平面內任意直線所成角的最大值為，因為與內任意直線所成的角均相等，則，即，D對.故選：BD.10.已知拋物線，焦點，，動點滿足，則（）A.B.若在上，則是等腰直角三角形C.D.的軌跡長度為【答案】ABC【解析】A.由題意得，故，拋物線的方程為，A正確．B.由選項A得拋物線準線為直線，過點向準線作垂線，垂足為，則，故，，不妨設點在第一象限，則，直線的方程為，與聯立得，∴軸，故是等腰直角三角形，B正確.C.由得，整理得，∴，C正確．D.由得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故軌跡長度為，D錯誤．故選：ABC.11.函數的定義域為，若存在滿足：對任意的恒成立，則稱為上的函數，則下列說法正確的是（）A.若是上的函數，則為上的函數B.，是上的函數C.是上的函數，則D.命題“是上的函數”的一個必要條件為“”【答案】ABD【解析】A.若是上的函數，則有，.設，則，由得，，∴，∴為上的函數，故A正確．B.由題意得，，∵對，，∴，即，∴，是上的函數，故B正確．C.若，則恒成立，即是函數，故C錯誤．D.由是上的函數，得在上恒成立，當時，，時，，故時，，時，，根據二次函數的性質可知，是函數的零點，即，故．記，，由得，由得，∴在上為減函數，在上為增函數，故，即，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某類考試報名人數為10000人，已知考試的成績服從正態分布，若錄取分數線為350分，則錄取人數約為________．（結果四舍五入取整數）（參考數據：若服從正態分布，則）【答案】1587【解析】，所以錄取人數為（人）．故答案為：1587.13.已知，，且，，則的值為________．【答案】【解析】由，知，，．因為，則，又，則，．由兩角和與兩角差的余弦公式可得，，兩式作差可得．又由兩角差的正弦公式得，則，因此．故答案為：.14.為積極響應教育部印發的《全國青少年學生讀書行動實施方案》，鼓勵學生多讀書、品經典，社區舉辦了“圖書在哪”的抽獎活動．如圖，在一個的方格表中，按如下規則放置了一些圖書，小方格中的數字表示與其有公共頂點的小方格的圖書的總本數，且有數字的小方格上沒有圖書，其余方格內無限制，且每一個方格只能放1本圖書．則在所有可能的情況中，能抽中的圖書數目最多為________，所有可能的圖書排列方式總數為________．【答案】①.11②.192【解析】如圖所示，灰色代表圖書位置，此時有11本圖書，接下來說明不可能有12本圖書，考慮數字控制區域，假設有一種方式可以達到8本圖書，首先左上角區域只有2本圖書（下圖左），在大圖中去掉后變成了下圖中間的樣子，并且圖中應有6本圖書．類似的，下方數字2代表周圍單元格中有2本圖書，再去掉后形如下方右側圖形，此時需要填4本圖書，但只剩下三個空方格，矛盾！故最多有7本，結合不受限制的區域，最多能抽中本書．接下來求所有可能的方法數．情形一：如圖所示，？處有圖書時，在左上數字2的周圍有兩種情形，若數字3右側方格無圖書，則4周圍的圖書排布方式已經固定，此時下方數字2的排布方式也被固定，此時中間數字3周圍只有兩本圖書，矛盾！所以中間數字3右側必有圖書．此時如上右圖陰影區域中有且僅有一本圖書，故下方數字2左側或右側有一本圖書．若下方數字2左側有一本圖書，則右側沒有圖書，此時4周圍的圖書排布已經固定，則此時3周圍圖書也已經符合題意，只有一種情形．若下方數字2右側有一本圖書，此時考慮下方數字2周圍還應存在的一本圖書的位置，若在2右上方，即上左圖中☆位置，則滿足題意，并且此時3周圍也滿足題意，4周圍還剩一本圖書，共有兩種選擇，共兩種；若不在2右上方，則4周圍圖書的排布已經符合題意，3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇．綜上，在情形一中，根據分類加法和分步乘法計數原理，共有種可能．情形二：如圖所示，？處無圖書時，左上數字2的圖書排布被固定，與情形一類似討論，可知3右側必有圖書，此時根據3周圍應還有2本圖書得到下方的2左右兩側均無圖書（否則下方2周圍圖書數目大于2），故4周圍的圖書排列方式被固定，所以3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇．故情形二共有2種可能．所以共有種．故答案為：①11；②192.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.記的內角，，的對邊分別，，，已知．（1）求；（2）設是邊中點，若，求．解：（1）在中，由正弦定理及，得，又，則，而，化簡得，即，而，因此，所以.（2）在中，由，得，，由正弦定理，得，由是邊中點，得，則，因此，在中，由正弦定理，得.16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，，是棱上一點，且二面角為直二面角．（1）證明：是中點；（2）若，且二面角的余弦值為，求的長．證明：（1）由已知可得，則，由二面角為直二面角，則平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以．又，由等腰三角形的性質，知是中點．（2）由已知和（1），以為原點，，，分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系．故平面的一個法向量．設平面的法向量為，設，由已知可得，，所以，，，所以，，由，可得，取，所以，化簡得，解得（舍）或，所以又是中點，所以，即長