三角形1.三角形三邊的關系2.三角形的三條重要線段3.三角形全等的條件4.等腰三角形的性質5.勾股定理6.相似三角形的判定7.相似三角形的性質1.三角形三邊的關系（1）三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊.（2）理論依據：兩點之間線段最短.（3）三邊關系的應用：①判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍；②證明線段間的不等關系.2.三角形的三條重要線段線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．在三角形的內部與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．（1）多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.（2）多邊形的外角和：在多邊形的每個頂點處分別取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和，多邊形的外角和恒等于360°，與邊數的多少沒有關系.（3）正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于.（4）多邊形的外角和的推導：多邊形的每個內角加上與它相鄰的外角都等于180°，所以n邊形的外角和等于n個180°的平角減去多邊形的內角和，即.3.三角形全等的條件（1）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”；（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫“角邊角”或“ASA”；（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡稱為“角角邊”或“AAS”；（4）三邊分別相等的兩個三角形全等，簡稱為“邊邊邊”或“SSS”；（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.4.等腰三角形的性質（1）等腰三角形的軸對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；（2）等腰三角形的性質一：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；（3）等腰三角形的性質二（三線合一）：等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合.（4）等邊三角形的性質：①軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；②等邊三角形的各角都等于60°.（5）等邊三角形的判定：①定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；②定理法：三個角都相等的三角形是等邊三角形；③定理法：有一個角是60°（頂角/底角）的等腰三角形是等邊三角形.5.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖所示，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么.勾股定理的變式：.6.相似三角形的判定（1）兩角分別相等的兩個三角形相似；（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）三邊成比例的兩個三角形相似.7.相似三角形的性質（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對應線段比的性質①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形中的對應線段的比等于相似比；③相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.1．（2022?鎮江）如圖，點A、B、C、D在網格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于（）A．2 B．73 C．625 2．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學得出以下結論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC＝22OF；⑤△A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④3．（2022?鎮江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，若DE＝1，則FG＝．4．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數為°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關系與數量關系？請說明理由；（4）求CHCE一．選擇題（共8小題）1．（2022?江都區校級三模）如圖，在9×5的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（）A．102 B．10 C．3102 D2．（2023?連云港一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ABC的面積比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：23．（2023?鹽城一模）在三張透明紙上，分別有∠AOB、直線l及直線l外一點P、兩點M與N，下列操作能通過折疊透明紙實現的有（）①圖1，∠AOB的角平分線；②圖2，過點P垂直于直線l的垂線；③圖3，點M與點N的對稱中心．A．① B．①② C．②③ D．①②③4．（2023?鼓樓區校級模擬）如圖，△APB中，AB=22，∠APB＝90°，在AB的同側作正△ABD，正△APE和正△BPC，則四邊形A．1 B．2 C．22 D．5．（2023?秦淮區一模）在三邊長分別為a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列數量關系不成立的是（）A．a+b＞c B．a+b＜2c C．a+b＜c D．a2+b6．（2023?梁溪區一模）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，DC＝CB．若AB＝4，則AC的最大值是（）A．2+23 B．2+43 C7．（2023?儀征市一模）如圖，△ABC中，∠B＝90°，tanA=12，點D是AB的中點，點E在線段AC上，ADABA．12或310 B．12 C．12或14 8．（2023?寶應縣一模）如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，M、N分別是AB、BC上的格點．若點P是這個網格圖形中的格點，連結PM、PN，則所有滿足∠MPN＝45°的點P有（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空題（共10小題）9．（2023?如東縣一模）如圖，D，E兩點分別在AB，AC上，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，只需添加一個條件，則這個條件可以是．10．（2023?廣陵區一模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數為．11．（2023?鎮江模擬）如圖，點D在△ABC的AD邊上，且AD：AB＝2：5，過點D作DE∥BC，交AC于點E，連接BE，則△ABE與△BEC的面積之比為．12．（2023?蘇州一模）定義：在△ABC中，∠C＝30°，我們把∠A的對邊與∠C的對邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即：thiA=∠A的對邊∠C的對邊=BCAB．如圖，若∠A＝13．（2023?靖江市模擬）平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C，點D坐標分別為（0，m），（4﹣m，0）（0＜m＜4），則AC+BD的最小值為．14．（2023?惠山區校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F是△ABC內一點，AC∥EF，AC＝2EF，∠BAD＝2∠EDF，AE＝2，DF=32，則菱形ABCD的邊長為15．（2023?高郵市一模）如圖，兩個等邊三角形的中心重合，并且三組邊分別平行．若每組邊之間的距離是4，則兩個等邊三角形邊長的差是．16．（2023?如東縣一模）如圖，等邊三角形ABC中，P，Q兩點分別在邊BC，AC上，BP＝CQ，D是PQ的中點．若BC＝4，則CD的最小值是．17．（2023?南京一模）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分別是射線AB，射線AC上的點，AD，AE的垂直平分線交于點O，當點O落在BC上時，DE長的最小值為．18．（2023?武進區一模）生活處處有數學：在五一出游時，小明在沙灘上撿到一個美麗的海螺，經仔細觀察海螺的花紋后畫出如圖所示的螺旋線，該螺旋線由一系列直角三角形組成，則第2023個三角形的面積為．三．解答題（共10小題）19．（2023?連云港一模）如圖，A，B，C，D依次在同一條直線上，BF與EC相交于點M．AB＝CD，EC＝FB，∠MBC＝∠MCB．（1）求證：ME＝MF；（2）求證：∠E＝∠F．20．（2023?宿遷一模）如圖，B、C、E、F在同一直線上，△ABC和△DEF都是等邊三角形，且AC＝DF，求證：△AFC≌△DBE．21．（2023?濱湖區一模）如圖，以AB為直徑的⊙O經過△ABC的頂點C，D是AC的中點，連接BD、OD分別交AC于點E、F．（1）求證：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面積．22．（2023?寶應縣一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一點，CD＝AB，過點D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）延長DE至F，使得EF＝CD，連結BF并與CE的延長線相交于點G，求∠BGC的度數．23．（2023?錫山區模擬）已知：如圖，在△ABC中，E是AC的中點，點F在AB上，CD∥AB，交FE的延長線于點D．（1）求證：EF＝ED；（2）若AB＝8，CD＝6，求BF的長．24．（2023?廣陵區一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為ab（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活經驗告訴我們糖水變甜了，用數學關系式可以表示為；（2）請證明（1）中的數學關系式；（3）在△ABC中，三條邊的長度分別為a，b，c，證明：ab+c25．（2023?濱湖區一模）如圖，在矩形ABCD中，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，作∠ABF的角平分線交EF的延長線于點M，BM交AD于點N．（1）求證：MF＝NF；（2）若AB＝6，BC＝10時，求MF的長；（3）若NF=12(AN+FD)26．（2023?徐州模擬）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC．連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點．連接MP，PN，MN．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是，位置關系是：；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，證明：（1）中的結論仍然成立；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝2，AB＝6．求△PMN面積的最大值．27．（2023?天寧區校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D、E分別是邊AB、邊BC上的點，連接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延長線上一點，連接CF，∠FCE＝∠ACD．（1）判斷△CDF的形狀，并說明理由；（2）