PAGEPAGE1課時作業2命題及其關系、充分條件與必要條件[基礎達標]一、選擇題1．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)．若sinA>sinB，則eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要條件．答案：C2．[2024·四川成都市中學畢業班第一次診斷檢測]命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是()A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若a＋c>b＋c，則a>bD．若a>b，則a＋c≤b＋c解析：命題的否命題是將原命題的條件和結論均否定，所以題中命題的否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，故選A.答案：A3．[2024·南昌摸底調研考試]已知m，n為兩個非零向量，則“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當m與n反向時，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，則m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，則cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0.即0°≤〈m，n〉≤90°，此時m與n不肯定共線，即必要性不成立．故“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要條件，故選D.答案：D4．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x>1，則x2>1”的否命題B．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若tanx＝eq\r(3)，則x＝eq\f(π,3)”的逆否命題解析：對于選項A，命題“若x>1，則x2>1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，易知當x＝－2時，x2＝4>1，故選項A為假命題；對于選項B，命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題為“若x>|y|，則x>y”，分析可知選項B為真命題；對于選項C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當x＝－2時，x2＋x－2＝0，故選項C為假命題；對于選項D，命題“若tanx＝eq\r(3)，則x＝eq\f(π,3)”的逆否命題為“若x≠eq\f(π,3)，則tanx≠eq\r(3)”，易知當x＝eq\f(4π,3)時，tanx＝eq\r(3)，故選項D為假命題．綜上可知，選B.答案：B5．[2024·桂林市，百色市，崇左市聯合模擬考試]若p：x<2；q：－1<x<2，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：由題易知q可以推出p，但由p不能推出q，所以p是q的必要不充分條件．故選B.答案：B6．[2024·山東濟南外國語中學月考]設a>b，a，b，c∈R，則下列命題為真命題的是()A．ac2>bc2B.eq\f(a,b)>1C．a－c>b－cD．a2>b2解析：對于選項A，a>b，若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；對于選項B，a>b，若a>0，b<0，則eq\f(a,b)<1，故B錯；對于選項C，a>b，則a－c>b－c，故C正確；對于選項D，a>b，若a，b均小于0，則a2<b2，故D錯，綜上，真命題為C.答案：C7．[2024·山西太原期末聯考]已知a，b都是實數，那么“2a>2b”是“a2>b2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：充分性：若2a>2b，則2a－b>1，∴a－b>0，∴a>b.當a＝－1，b＝－2時，滿意2a>2b，但a2<b2，故由2a>2b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，則|a|>|b|.當a＝－2，b＝1時，滿意a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．綜上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．故選D.答案：D8．[2024·山東日照聯考]“m<0”是“函數f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當m<0時，由圖象的平移變換可知，函數f(x)必有零點；當函數f(x)有零點時，m≤0，所以“m<0”是“函數f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的充分不必要條件，故選A.答案：A9．[2024·南昌市重點中學高三年級第一次模擬]已知實數a，x，a>0且a≠1，則“ax>1”的充要條件為()A．0<a<1，x<0B．a>1，x>0C．(a－1)x>0D．x≠0解析：由ax>1知，ax>a0，當0<a<1時，x<0；當a>1時，x>0.故“ax>1”的充要條件為“(a－1)x>0”．答案：C10．[2024·河南鄭州模擬]下列說法正確的是()A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1”B．“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D．“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”是真命題解析：對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故選項A錯誤；對于選項B，“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為“若a<b，則am2<bm2”，因為當m＝0時，am2＝bm2，所以逆命題為假命題，故選項B錯誤；對于選項C，由指數函數的圖象知，對隨意的x∈(0，＋∞)，都有4x>3x，故選項C錯誤；對于選項D，“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”的逆否命題為“若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝eq\f(1,2)”，該逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故選D.答案：D二、填空題11．在命題“若m>－n，則m2>n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數是________．解析：原命題為假命題，逆否命題也為假命題，逆命題也是假命題，否命題也是假命題．故假命題個數為3.答案：312．[2024·山東臨沂模擬]有下列幾個命題：①“若a>b，則a2>b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的逆命題；③“若x2<4，則－2<x<2”的逆否命題．其中真命題的序號是________．解析：①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，假命題．②原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，真命題．③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，真命題．答案：②③13．[2024·天津卷]設x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的________條件．解析：由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因為[0,2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件．答案：必要不充分14．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實數m的取值范圍為________．解析：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝x－eq\f(3,4)2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數m的取值范圍是－∞，－eq\f(3,4)∪eq\f(3,4)，＋∞.答案：－∞，－eq\f(3,4)∪eq\f(3,4)，＋∞[實力挑戰]15．[2024·武漢市模擬]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知條件p：a≤eq\f(b＋c,2)，條件q：A≤eq\f(B＋C,2)，那么條件p是條件q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：在△ABC中，若a≤eq\f(b＋c,2)，由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(b2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)b2＋c2－\f(1,2)bc,2bc)≥eq\f(\f(3,4)×2bc－\f(1,2)bc,2bc)＝eq\f(1,2)，當且僅當a＝b＝c時等號成立，所以0<A≤eq\f(π,3)，所以B＋C≥eq\f(2π,3)≥2A，即A≤eq\f(B＋C,2)，若A≤eq\f(B＋C,2)，由A＋B＋C＝π，得0<A≤eq\f(π,3)，令A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2)，滿意A≤eq\f(B＋C,2)，此時令a＝eq\r(3)t(t>0)，則b＝t，c＝2t，由eq\r(3)t>eq\f(1＋2,2)t＝eq\f(3,2)t，得a>eq\f(b＋c,2).綜上，條件p是條件q成立的充分不必要條件．故選A.答案：A16．[2024·湖南聯考]“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A．m>eq\f(1,4)B．0<m<1C．m>0D．m>1解析：若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，因此當不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時，可以有m>0，但當m>0時，不肯定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.答案：C17．[2024·北京卷]能說明“若f(x)>f(0)對