9.2二項式定理考點二項式定理1.二項式定理:(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).2.二項式系數:

(k=0,1,2,…,n).3.二項展開式的通項:Tk+1=

an-kbk,它表示展開式的第k+1項.4.二項式系數的性質(1)對稱性:與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等,即

=

.(2)增減性與最大值①增減性:當k<

(n∈N*)時,

隨k的增加而增大,由對稱性知,二項式系數的后半部分

隨k的增加而減小.②最大值:(i)當n為偶數時,中間的一項

取得最大值;(ii)當n為奇數時,中間的兩項

與

相等,且同時取得最大值.(3)各二項式系數的和①(a+b)n展開式的各二項式系數的和等于2n,即

+

+

+…+

=2n;②在(a+b)n的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和,即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)

an-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項.

(

)(2)(a+b)n的展開式中每一項的二項式系數與a,b無關.

(

)(3)(a+b)n的展開式的通項Tk+1=

an-kbk中的a和b不能互換.

(

)(4)二項展開式中系數的最大項就是二項式系數的最大項.

(

)2.若(x+2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則

=

.3.

的展開式中的常數項為

(用數字作答).×√√×60題型一二項展開式中的特定項和特定項的系數典例1

(2025屆安徽蚌埠開學調研,13)

(2x-y)5的展開式中x2y4的系數為

.80解析

(2x-y)5=

(2x-y)5-2y(2x-y)5,二項式(2x-y)5的展開式的通項為Tk+1=

(2x)5-k(-y)k=

·25-k·(-1)kx5-kyk,令k=3,得T4=

·22·(-1)3x2y3=-40x2y3,∴

(2x-y)5的展開式中x2y4的系數為-2×(-40)=80.解題技巧

若要出現x2y4,則可能是

·x3y4或(-2y)·x2y3,而(2x-y)5的展開式中x,y的指數和只能是5,所以排除

·x3y4.變式訓練1-1

(設問條件變式)(2025屆江蘇南京六校調研,12)已知

(n∈N*)的展開式中第2項的二項式系數為6,則展開式中的常數項為

.135解析

依題意知

=6,解得n=6,

的展開式的通項為Tk+1=

(3x)6-k

=36-k

,令6-

=0,得k=4,所以展開式中的常數項為36-4

=135.變式訓練1-2

(2025屆湖南師大附中月考,12)(x+3y-1)6的展開式中x2y的系數為

.-180解析

(x+3y-1)6=[(x+3y)-1]6的展開式的通項為

(x+3y)6-r(-1)r,令6-r=n,則(x+3y)n=

xn-t3tyt,令

則n=3,即6-r=3,即r=3,則展開式中含x2y的項為

·(-1)3·

·3x2y=-180x2y,故x2y的系數為-180.歸納總結

(a+b+c)n的展開式中特定項(特定項系數)的求解方法

題型二二項式系數和與各項系數和典例2

(多選)(2025屆浙江杭州十四中月考,6)已知(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則

(

)A.a1=-18B.a9=-29C.a1+a2+…+a9=-1D.a1+a3+a5+a7+a9=-

ABD解析

A、B選項,(1-2x)9的通項為Tk+1=

(-2)kxk,當k=1時,a1=

(-2)1=-18,當k=9時,a9=

(-2)9=-29,A、B正確;C選項,在(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中,令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=(1-2)9=-1,令x=0,得a0=(1-0)9=1,故a1+a2+…+a9=-1-1=-2,C錯誤;D選項,在(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9=(1+2)9=39,又a0+a1+a2+…+a9=(1-2)9=-1,故a1+a3+a5+a7+a9=-

,D正確.故選ABD.歸納總結

1.(a+b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n.可由展開式求二項式系數

的和或已知二項式系數的值反求n.2.賦值法求各項系數的和(1)對形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,對于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項的

系數的和為g(1),奇數項的系數和為

[g(1)+g(-1)],偶數項的系數和為

[g(1)-g(-1)].變式訓練2-1

(已知條件變式)(2024山東青島質檢,13)設m為整數,(x+y)2m展開式的二項

式系數的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值為b,若11a=6b,則m=

.5解析

(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為a=

,(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值為b=

=

,因為11a=6b,所以11

=6

,即11×

=6×

,解得m=5.變式訓練2-2

(關鍵元素變式)(多選)(2024重慶七校聯考,11)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+

…+a2023x2023+a2024x2024,則

(

)A.展開式中二項式系數最大項為第1012項B.展開式中所有項的系數和為1C.

+

+

+…+

+

=-1D.a1+2a2+3a3+…+2023a2023+2024a2024=4048BCD解析

對于A,由二項式系數性質可知二項式(1-2x)2024的系數最大為

,易知應為第1013項,A錯誤;對于B,令x=1,可得(1-2)2024=a0+a1+a2+…+a2023+a2024=1,即展開式中所有項的系數和為1,B

正確;對于C,令x=0,可得a0=1,令x=

,可得

=a0+

+

+…+

+

=0,所以

+

+

+…+

+

=-1,C正確;對于D,將等式(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2023x