8.4拋物線考點1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.定義:把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做

拋物線,點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點在x軸上:y2=±2px(p>0);焦點在y軸上:x2=±2py(p>0).考點2拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0準(zhǔn)線x=-

x=

y=-

y=

焦點

對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱頂點(0,0)離心率e=1焦半徑長x0+

-x0+

y0+

-y0+

焦點弦長x0+x1+p-(x0+x1)+py0+y1+p-(y0+y1)+p其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是拋物線上兩動點,且PQ過焦點F,線段PF稱為拋物線的焦半徑,線

段PQ稱為拋物線的焦點弦.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)若點P到點F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1,則點P的軌跡是拋物線.

(

)(2)若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線相切.

(

)(3)拋物線y2=2px(p>0)中p是焦點到準(zhǔn)線的距離.

(

)2.已知點F為拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點,點A(4,m)在Γ上,且|AF|=5,則m=

.√×√±4題型一拋物線的定義及其應(yīng)用

典例1已知拋物線y2=4x上一點P到準(zhǔn)線的距離為d1,到直線l:4x-3y+11=0的距離為d2,則

d1+d2的最小值為

(

)A.3

B.4

C.

D.

A解析

設(shè)拋物線的焦點為F.拋物線上的點P到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點F的距離,所以過焦點F作直線4x-3y+11=0的垂線,則點F到直線4x-3y+11=0的距離為d1+d2的最小

值,如圖所示.

由F(1,0),直線4x-3y+11=0,可得(d1+d2)min=

=3,故選A.變式訓(xùn)練1-1

(關(guān)鍵元素變式)(2024重慶南開中學(xué)模擬,8)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦

點為F,點A

,點M在拋物線上,且滿足|MA|=

|MF|,若△MAF的面積為12

,則p的值為

(

)A.3

B.4

C.2

D.2

D解析

由y2=2px?F

,根據(jù)拋物線的對稱性,不妨設(shè)M(x,y)(x>0,y>0),因為|MA|=

|MF|,所以

=

×

?x2-3px+y2-

p2=0,又點M在拋物線上,所以y2=2px,則有x2-3px+2px-

p2=0?x=

p或x=-

p(舍去),即y2=2p·

?y=

p或y=-

p(舍去).又因為△MAF的面積為12

,所以有

×

·

p=12

?p=2

或p=-2

(舍去),故選D.題型二拋物線的焦半徑問題典例2

(2024湖南衡陽二模,13)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線與拋物

線交于A,B兩點(點A在第一象限),∠AFO=120°(O為坐標(biāo)原點),|AF|=4,則|BF|=

.解析

過A,B作x軸的垂線,垂足分別為H,M,如圖所示,

設(shè)∠AFH=θ,由題可知θ=60°,則|AF|=

,|BF|=

,故

=4,解得p=2,則|BF|=

=

.知識拓展

拋物線中焦半徑的相關(guān)結(jié)論如圖所示,以拋物線y2=2px(p>0)為例,設(shè)AB是過拋物線焦點F的一條弦,AB所在直線的傾

斜角為θ,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為P、Q,分別過A,B作x軸的垂線、垂

足為H、M.

設(shè)AB方程為x=ty+

,聯(lián)立

得y2-2pty-p2=0,則有y1y2=-p2,x1x2=

=

;由拋物線定義可得:|FH|=|TH|-p=|AP|-p=|AF|-p,在△AFH中,cosθ=

=

,解得|AF|=

;由拋物線定義可得:|MF|=p-|TM|=p-|BQ|=p-|BF|,在△BFM中,cos∠MFB=cosθ=

=

,解得|BF|=

;則

+