7.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1:過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公

共直線.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.提醒

基本事實(shí)1及推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法;基本事實(shí)2

的作用是判斷直線是否在某個(gè)平面內(nèi);基本事實(shí)3的作用是如何尋找兩相交平面的交線

以及為證明“線共點(diǎn)”提供理論依據(jù).2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類共面直線

異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).(2)異面直線所成的角①定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍:

.3.空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示

(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行

α∥β0個(gè)兩平面相交

α∩β=l無(wú)數(shù)個(gè)4.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.

(

)(2)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合.

(

)(3)空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面.(

)(4)異面直線a,b所成角的范圍為

.

(

)×√××2.(人教A版必修第二冊(cè)P131練習(xí)T2改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是棱CC1、AA1的中點(diǎn).則下面直線的位置關(guān)系是:

(1)AD1與BC:

;(2)FD1與BE:

;(3)EF與BD1:

;(4)AB與A1C1:

.異面平行相交異面題型一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定方法1.應(yīng)用平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理.2.采用窮舉法,即對(duì)各種關(guān)系進(jìn)行考慮,要充分發(fā)揮常見模型的直觀性作用.3.對(duì)空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷,常采用構(gòu)圖法(尤其是長(zhǎng)

方體)、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法(如墻角、桌面等)、排除篩選法等.4.應(yīng)用線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,注意其使用的前提條件.典例1

(2019課標(biāo)Ⅲ,文8,理8,5分)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,

平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則

(

)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線B解析

過E作EQ⊥CD于Q,連接BD,QN,BE,易知點(diǎn)N在BD上.∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EQ⊥平面ABCD,(面面垂直的性質(zhì)定理)∴EQ⊥QN,同理可知BC⊥CE,設(shè)CD=2,則EN=

=

=2,BE=

=

=2

.又在正方形ABCD中,BD=

=2

=BE,∴△EBD是等腰三角形,故在等腰△EBD中,M為DE的中點(diǎn),

∴BM=

=

=

,∴BM=

>2=EN,即BM≠EN.又∵點(diǎn)M、N、B、E均在平面BED內(nèi),∴BM,EN在平面BED內(nèi),又BM與EN不平行,∴BM,EN是相交直線,故選B.變式訓(xùn)練1-1

(應(yīng)用平面的基本性質(zhì)判斷)如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1

D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是

(

)

A.A,M,O三點(diǎn)共線

B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面

D.B,B1,O,M共面A解析

因?yàn)镸在A1C上,A1C在平面A1ACC1內(nèi),所以M在平面A1ACC1內(nèi),又因?yàn)镸在平面AB1D1內(nèi),所以M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上,即A,M,O三點(diǎn)共線,因此A,M,O,A1共面且A,M,C,O共面.連接BD,因?yàn)槠矫鍮B1D1D與平面AB1D1的交線為B1D1,所以M在平面BB1D1D外,即B,B1,O,

M不共面,故選A.題型二異面直線所成角的求解典例2

(2021全國(guó)乙文,10,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB

與AD1所成的角為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

解法一:如圖所示,連接BC1,C1P,

易知四邊形ABC1D1是平行四邊形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其補(bǔ)角)就是異面直線AD1

與PB所成的角,(利用圖中已有的平行線找角)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則BC1=

a,C1P=

a,PB=

=

a.在△C1BP中,cos∠PBC1=

=

,(解三角形,利用余弦定理的推論求解)∴∠PBC1=

,即直線PB與AD1所成的角為

.故選D.解法二:(利用特殊三角形解)連接BC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)锳D1∥BC1,所以∠PBC1(或其補(bǔ)角)是異面直線

PB與AD1所成的角,連接A1B,A1C1,易知△A1BC1為正三角形,又P為A1C1的中點(diǎn),所以∠PBC1=

,故選D.歸納總結(jié)

求異面直線所成角的方法平移法:異面

共面

解三角形(一般常用到正弦定理和余弦定理).說(shuō)明:平移的方法一般有以下三種,①利用題圖中已有的平行線平移;②利用特殊點(diǎn)(線

段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;③補(bǔ)形平移.變式訓(xùn)練2-1

(高考題改編變式)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,CD⊥BC,

CD∥AB,AB=2BC=2CD=2PD,則異面直線PA與BC所成角的余弦值為

(

)

A.

B.

C.

D.

A解析

分別取AB,PB的中點(diǎn)E,F,連接BD,DE,DF,EF,如圖所示.∵CD∥AB,AB=2CD,∴CD∥EB,

CD=EB,∴四邊形EBCD為平行四邊形,∴DE∥BC,又EF∥PA,∴∠DEF(或其補(bǔ)角)是異面直線PA與BC所成的角.∵CD⊥BC,∴四邊形EBCD是矩形.設(shè)BC=2,則DE=AE=EB=CD=PD=2,∴AD=BD=

=2

,∵PD⊥平面ABCD,AD,BD?平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥BD,

∴在Rt△PAD中,PA=

=2

,∴EF=

,在Rt△PBD中,PB=

=2

,∴DF=

,故cos∠DEF=

=

=

.∴異面直線PA與BC所成角的余弦值為

.題型三空間幾何體的截面問題1.正方體中的基本斜截面

2.多面體中找截面的幾種方法(1)直接法:有兩點(diǎn)在多面體的同一個(gè)面上,連接這兩點(diǎn)即為多面體與截面的交線,找截

面實(shí)際就是找交線的過程.(2)延長(zhǎng)線法:若直線相交,但在多面體中未體現(xiàn),可以通過作延長(zhǎng)線的方法找到交點(diǎn),然

后借助交點(diǎn)找到交線.(3)平行線法:過直線與直線外一點(diǎn)作截面,若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行,可

以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到多面體與截面的交線.(4)空間向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,利用線面平行與垂直,通過計(jì)算,確定截面與多面

體各棱的交點(diǎn),連接各交點(diǎn)即得截面多邊形.典例3已知在一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1和C1D1的中點(diǎn)分別為M,N,

如圖,則過A,M,N三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為

(

)

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形B解析

解法一:平行線法取DD1的中點(diǎn)F,連接AF,C1F,C1M,則AF=AM=C1M=C1F,故四邊形AMC1F為菱形,則AM∥

C1F,取D1F的中點(diǎn)E,連接EN,AE,因?yàn)镹為D1C1的中點(diǎn),所以EN∥C1F,所以EN∥AM,故A,E,

N,M四點(diǎn)共面,在B1C1上取一點(diǎn)P,使B1P=2C1P,連接NP,MP,易得MP∥AE,所以過A,M,N三

點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為五邊形AMPNE,故選B.

解法二:空間向量法以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系,則A(12,0,0),M(12,12,6),N(0,6,12),

則

=(0,12,6),設(shè)截面與DD1的交點(diǎn)為E(0,0,a),則

=(0,-6,a-12),因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面DCC1D1,又平面ABB1A1與截面的交線為AM,平面DCC1D1與截面的交線為NE,所以AM∥NE,所以

=

,解得a=9,則

=(-12,0,9),設(shè)截面與棱B1C1的交點(diǎn)為P(x,12,12),則

=(x-12,0,6),易知

∥

,則

=

,解得x=4,連接MP,PN,NE,EA,即得截面圖形為五邊形,故選B.變式訓(xùn)練3-1

(情景模型變式)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2,AB⊥BC,AB=BC

=2,過AB,BB1的中點(diǎn)E,F作平面α,且平面α與平面AA1C1C垂直,則平面α截該直三棱柱所

得截面的周長(zhǎng)為

.3

+

解析

取AC的中點(diǎn)D,連接BD,取A1C1的中點(diǎn)D1,連接B1D1,取AD的中點(diǎn)G,連接EG,EF,延長(zhǎng)EF與

A1B1的延長(zhǎng)線交于H,取C1D1的中點(diǎn)M,連接MH,交B1C1于N,連接FN,GM,易知EG∥BD,BD

∥B1D1,MN∥B1D1,所以EG∥MN,因?yàn)锳B=BC,D為AC中點(diǎn),所以BD⊥AC,因?yàn)锳A1⊥平面

ABC,BD