4.3三角函數的圖象與性質考點1三角函數的圖象及其變換1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中的五個關鍵點:(0,0),

,(π,0),

,(2π,0).(2)余弦函數y=cosx,x∈[0,2π]的圖象中的五個關鍵點:(0,1),

,(π,-1),

,(2π,1).2.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)一個周期內的簡圖時,要找五個關鍵點,如表所

示:ωx+φ0

π

2πx-

-

+

-

y=Asin(ωx+φ)0A0-A03.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一個振動量時,振幅為A,周期T=

,頻率f=

=

,相位為ωx+φ,初相為φ.4.函數y=sinx的圖象經變換得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑

特別提醒

1.若變換前后的兩個函數名不同,則要先化為同名函數再求解.2.兩種變換

方法都是針對x而言的,即x本身加減多少,而不是ωx加減多少.考點2三角函數的性質1.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數性質

y=sinxy=cosxy=tanx定義域RR

x

x≠kπ+

,k∈Z

部分圖象

值域[-1,1][-1,1]R對稱軸x=kπ+

(k∈Z)x=kπ(k∈Z)

對稱中心(kπ,0)(k∈Z)

(k∈Z)

(k∈Z)周期2π2ππ單調遞增區間

2kπ-

,2kπ+

(k∈Z)[2kπ-π,2kπ](k∈Z)

kπ-

,kπ+

(k∈Z)單調遞減區間

2kπ+

,2kπ+

(k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)

奇偶性奇偶奇溫馨提示

1.正弦曲線和余弦曲線相鄰的兩條對稱軸之間距離的2倍是一個周期.2.正弦曲線和余弦曲線相鄰的一條對稱軸和一個對稱中心之間距離的4倍是一個周期.3.正切曲線相鄰的兩個對稱中心之間距離的2倍是一個周期.4.不能認為y=tanx在定義域上為增函數,應在區間

(k∈Z)內為增函數.2.求三角函數最值常見的函數形式(1)y=asinx+bcosx=

sin(x+φ),其中cosφ=

,sinφ=

.(2)y=asin2x+bcos2x+csinxcosx

y=Asin2x+Bcos2x+C=

sin(2x+φ)+C,其中tanφ=

,再利用有界性處理.(3)y=asin2x+bcosx+c可轉化為關于cosx的二次函數式.(4)y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c型求最值常用換元法,令t=sinx+cosx,|t|≤

,則sinxcosx=

,把三角函數問題轉化為代數問題求解.(5)y=asinx+

(a,b,c>0),令sinx=t(-1≤t≤1,且t≠0),轉化為求y=at+

(-1≤t≤1,且t≠0)的最值,一般可結合圖象求解.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)函數y=cos2x在

上是減函數.

(

)(2)函數y=Asin(ωx-φ)的初相為φ.

(

)(3)函數y=sinx,x∈

的圖象與函數y=cosx,x∈[0,2π]的圖象的形狀一致.

(

)(4)函數y=

+sinx

的最小值是4.

(

)××√×2.函數y=tan

的定義域是

.3.若函數f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)為奇函數,則φ=

.±

題型一根據圖象確定三角函數解析式求函數y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)解析式的方法與步驟:(1)求A、B,確定函數的最大值M和最小值m,則A=

,B=

.(2)求ω,ω=

.(3)求φ.①代入法:把圖象上的一個已知點坐標代入(此時A,B,ω已知)或代入圖象與直線y=B的

交點坐標求解(此時要注意交點是在上升區間上還是在下降區間上).②五點法:確定φ值時,往往以“五點法”中的第一個零點為突破口.典例1

函數f(x)=2sin

+m(0<ω<4)的部分圖象如圖所示,則f

=

(

)

A.-2

B.-1

C.0

D.

-1C解析

由題圖可知m=

=-1,且f(x)的圖象過點(1,0),則ω-

=

+2kπ(k∈Z),(x=1為函數零點,且在下降區間)即ω=π+2kπ(k∈Z).因為0<ω<4,所以ω=π,所以f(x)=2sin

-1,所以f

=2sin

-1=2sin

-1=2sin

-1=0.故選C.提醒

根據“五點法”中的零點求φ時,一般先根據圖象的升降分清零點的類型.變式訓練1-1

(設問條件變式)(2024湖北武漢二模,13)函數f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的

部分圖象如圖所示,則φ=

.

解析

令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0,則sin(2x+φ)=-

,根據題圖知x=-

為函數零點,且零點在上升區間,則2×

+φ=2kπ-

,k∈Z,則φ=2kπ+

,k∈Z,因為|φ|<π,則k=0,φ=

.題型二三角函數的性質及其應用角度1三角函數的單調性及其應用(1)求函數的單調區間應遵循簡單化原則,將解析式進行化簡,并注意復合函數單調性法

則“同增異減”的應用.(2)求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中ω>0)的單調區間時,要視“ωx+φ”

為一個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導公式將x的系數化為

正數.(3)已知三角函數的單調區間求參數,先求出函數的單調區間,然后利用集合間的關系求

解.典例2

(2024江蘇南京外國語學校三模,6)已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分

圖象如圖所示,將函數f(x)的圖象向左平移

個單位長度后得到函數g(x)的圖象,則在下列區間上函數g(x)單調遞增的是

(

)

A.

B.

C.

D.

C解析

由函數f(x)的圖象,可得

=

-

=

,解得T=π,所以ω=2,f(x)=2sin(2x+φ),又由f

=2sin

=2,即sin

=1,可得

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=-

+2kπ,k∈Z,因為|φ|<π,所以φ=-

,所以f(x)=2sin

,所以g(x)=2sin

=2sin2x,令-

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,解得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,所以函數g(x)的單調遞增區間是

,k∈Z.結合選項知選C.變式訓練2-1

(情境模型變式)已知函數f(x)=3cos(ωx+φ)

的圖象經過點A

,直線x=

向左平移

個單位長度后恰好經過函數f(x)的圖象與x軸的交點B,若B是f(x)的圖象與x軸的所有交點中距離點A最近的點,則函數f(x)的一個單調遞增區間

為(

)A.

B.

C.

D.[-π,0]A解析

∵B是f(x)的圖象與x軸的所有交點中距離點A最近的點,A為f(x)的最小值點,∴f(x)的最小正周期T=4×

=π,(正弦(型)函數或余弦(型)函數的圖象相鄰的一條對稱軸和一個對稱中心之間距離的4倍是一個周期)即

=π,解得ω=2,∴f

=3cos

=-3,即cos

=-1,∴

+φ=π+2kπ(k∈Z),解得φ=

+2kπ(k∈Z),又0<φ<

,∴φ=

,∴f(x)=3cos

.令-π+2kπ≤2x+

≤2kπ(k∈Z),解得-

+kπ≤x≤-

+kπ(k∈Z),∴f(x)的單調遞增區間為

(k∈Z),令k=0,則

是f(x)的一個單調遞增區間,∵

?

,∴

是f(x)的一個單調遞增區間.故選A.角度2三角函數的奇偶性及其應用對于y=Asin(ωx+φ),若為奇函數,則φ=kπ(k∈Z);若為偶函數,則φ=

+kπ(k∈Z).對于y=A-cos(ωx+φ),若為奇函數,則φ=

+kπ(k∈Z);若為偶函數,則φ=kπ(k∈Z).其中A,ω,φ為常數,A≠0,ω≠0.典例3

(2024湖北武漢市漢鐵高級中學模擬,6)已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)

的部分圖象如圖所示.若將函數f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度,得到函數g(x)的圖

象.若函數g(x)為奇函數,則t的最小值是

.

解析

由題圖知,f(x)的周期T=2

=

,則ω=

=

,由f(0)=2sinφ=1,解得sinφ=

,由|φ|<

,得φ=

,于是f(x)=2sin

,g(x)=f(x-t)=2sin

,由函數g(x)為奇函數,得

-

t=-kπ,k∈Z,而t>0,則t=

+

k,k∈N,所以當k=0時,tmin=

.故答案為

.變式訓練2-2

(設問條件變式)將函數f(x)=asinx+bcosx(a,b∈R且b≠0)的圖象上各點

的橫坐標伸長為原來的2倍,再將所得圖象向左平移

個單位長度后,得到一個偶函數圖象,則

=

.解析

將函數f(x)=asinx+bcosx的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,得到函數g(x)=f

=asin

x+bcos

x的圖象,再將所得圖象向左平移

個單位長度后,得到函數h(x)=g

=asin

+bcos

,因為h(x)為偶函數,所以h(x)的圖象關于y軸對稱,所以有h

=h

,h

=asin

+bcos

=b,h

=asin

+bcos

=

a+

b.因此b=

a+

b,解得

=

.角度3三角函數的周期性及其應用求三角函數的最小正周期,一般先通過恒等變換把解析式化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=A

cos(ωx+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B(A,ω,φ為常數,A≠0,ω≠0)的形式,再應用公式T=

(正弦、余弦型)或T=

(正切型)求解.典例4

(2024天津南開期末,8)設函數f(x)=

sin(ωx-φ)(ω>0,|φ|<π).若f

=0,f

=

,且f(x)的最小正周期大于2π,則

(

)A.ω=

,φ=-

B.ω=

,φ=

C.ω=

,φ=-

D.ω=

,φ=

C解析

由f(x)的最小正周期大于2π,可得

>

,因為f

=0,f

=

,

直線x=

是對稱軸,x=-

是零點,而

+

=

>

,故直線x=

與x=-

是一對相鄰的對稱軸與零點,則周期T=4

所以

=

+

=

,則T=3π,又ω>0,所以ω=

=

,即f(x)=

sin

,由f

=

sin

=

,即sin

=1,可得

-φ=

+2kπ,k∈Z,則φ=-

-2kπ,k∈Z,由|φ|<π,可得k=0,φ=-

,所以ω=

,φ=-

.故選C.變式訓練2-3

(設問條件變式)已知函數f(x)=sin(ωx+φ),如圖,A,B是直線y=

與曲線y=f(x)的兩個交點,f

=0且|AB|=

,則f(2023π)=

.-解析

不妨設ω>0,A

,B

,可得sin(ωx1+φ)=sin(ωx2+φ)=

,sin

=0,由題圖可知A,B,

在一個周期內,則ωx1+φ=

+2kπ,ωx2+φ=

+2kπ,

ω+φ=2π+2kπ,k∈Z,又因為|AB|=

,即x2-x1=

,可得ωx2-ωx1=

=

,解得ω=4,則

×4+φ=2π+2kπ,k∈Z,解得φ=-

+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin

=sin

,k∈Z,則f(x)的最小正周期T=

=

,所以f(2023π)=f

=f(0)=sin

=-sin

=-

.角度4三角函數的對稱性及其應用函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數,A≠0,ω≠0)圖象的對稱軸一定經過圖象的最高點或

最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數的零點,因此在判斷直線x=x0(或點(x0,0))是不是

函數圖象的對稱軸(或對稱中心)時,可通過檢驗f(x0)的值進行.典例5

(2023江蘇南通二模,6)記函數f(x)=sin

(ω>0)的最小正周期為T.若

<T<π,且f(x)≤

,則ω=

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

根據最小正周期

<T<π,可得

<

<π,解得2<ω<4.又f(x)≤

,所以x=

是函數f(x)圖象的一條對稱軸,(函數在對稱軸處取得最值)所以

ω+