2.5指數與指數函數考點指數與指數函數1.指數冪的運算(1)根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*性質當n是奇數時,a的n次方根為x=

當n是偶數時,正數a的n次方根為x=±

,負數沒有偶次方根0的任何次方根都是0,記作

=0根式概念式子

叫做根式,其中n叫做根指數,a叫做被開方數性質當n為奇數時,

=a當n為偶數時,

=|a|=

(2)分數指數冪及指數冪的運算性質分數指數冪正分數指數冪:

=

a>0,m,n∈N*,n>1負分數指數冪:

=

=

0的正分數指數冪等于0,0的負分

數指數冪沒有意義指數冪的運算性質ar·as=ar+sa>0,b>0,r,s∈R(ar)s=ars(ab)r=arbr2.指數函數的圖象與性質(1)指數函數的概念函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.提醒

形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函數叫做指數型函數,不是指數函數.(2)指數函數的圖象與性質

a>10<a<1圖象

定義域R值域(0,+∞)性質過定點(0,1),即當x=0時,y=1當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函數在(-∞,+∞)上是減函數提示

1.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),

,依據這三點的坐標可得到指數函數的大致圖象.2.函數y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關于y軸對稱.3.在直線x=1的右側,指數函數的圖象越高,其底數的值越大.如圖所示,其中0<d<c<1<b<

a.

即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)

=(

)n=a.

(

)(2)若函數f(x)是指數函數,且f(1)>1,則f(x)是增函數.

(

)(3)指數函數的圖象一定在x軸上方.

(

)2.若函數f(x)=(a2-1)·ax為指數函數,則a=

.3.若函數f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=

.4.若a>0且a≠1,則函數f(x)=ax+1-1的圖象恒過點的坐標為

.×√√2或(-1,0)題型一指數函數的圖象及應用典例1已知指數函數y=

的圖象如圖所示,則一次函數y=ax+b的圖象可能是

(

)

C解析

由指數函數的圖象可知0<

<1,排除選項B,若a,b均為正數,則a>b>0,根據一次函數的性質得此時函數y=ax+b的圖象過第一、二、三象限,即C符合題意,D不符合題意;若a,b均

為負數,則a<b<0,此時函數y=ax+b的圖象過第二、三、四象限,選項A不符合題意.故選

C.變式訓練1-1

(條件結論變式)函數f(x)=|2x-1|的圖象與直線y=m有兩個不同的交點,則m

的取值范圍為

.(0,1)解析

作出f(x)的圖象與直線y=m,如圖所示.由圖可知,若直線y=m與f(x)的圖象有兩個不同的

交點,則m∈(0,1).

歸納總結

對于指數(型)函數的問題,一般是從最基本的指數函數的圖象入手,通過平

移、伸縮、對稱變換得到所求函數的圖象.特別地,當底數a與1的大小關系不確定時應

注意分類討論.題型二指數函數的性質及應用角度1比較指數式的大小

典例2比較下列兩組數的大小:(1)(-2.5

和(-2.5

;(2)0.4-2.5,2-0.2,2.51.6.解析

(1)(-2.5

=2.

,(-2.5

=

,∵y=2.5x在R上為增函數,且

>

,∴2.

>2.

,即(-2.5

>(-2.5

.(2)∵0.4-2.5=2.52.5,y=2.5x在R上為增函數,且2.5>1.6>0,∴2.52.5>2.51.6>1,又2-0.2<20=1,∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2.變式訓練2-1

(結論拓展變式)(2023天津,3,5分)設a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大

小關系為

(

)A.a<b<c

B.b<a<cC.c<b<a

D.c<a<bD解析

∵f(x)=1.01x單調遞增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5單調遞增,∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,∴b>a>c,故選D.角度2解簡單的指數方程或不等式1.解指數方程或不等式的依據(1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0<a<1時,等價于f(x)<g(x).2.解指數不等式的方法先利用冪的運算性質化為同底數冪,再利用函數單調性轉化為一般不等式求解.典例3若不等式

<

恒成立,則實數a的取值范圍是

(

)A.(-1,0)

B.

C.

D.

B解析

不等式

<

恒成立,即

<

恒成立,由指數函數y=

的單調性得x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得a>

,所以實數a的取值范圍是

,故選B.變式訓練2-2

(關鍵元素變式)不等式10x-6x-3x≥1的解集為

.

[1,+∞)解析

將10x-6x-3x≥1兩邊同除以10x,可得

+

+

≤1.(將不等式一側變形為多個單調性相同的函數之和,得到函數單調性是解題的關鍵)令f(x)=

+

+

,則f(x)在R上單調遞減,且f(1)=1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集為[1,+∞).角度3指數函數性質的綜合應用1.指數型復合函數的單調性問題形如函數y=af(x)(a>0且a≠1)的單調性,單調區間與f(x)的單調性,單調區間有關:(1)若a>1,則函數f(x)的單調遞增(減)區間即函數y=af(x)的單調遞增(減)區間;(2)若0<a<1,則函數f(x)的單調遞增(減)區間即函數y=af(x)的單調遞減(增)區間.2.與指數函數有關的函數奇偶性問題(1)利用函數奇偶性的定義解決相關問題.(2)記住幾種常見的具有奇偶性的特殊函數:①f(x)=ax+a-x是偶函數,②f(x)=ax-a-x是奇函數,③f(x)=

是奇函數.其中a>0且a≠1.典例4

(2025屆吉林長春東北師大附中開學考,18)已知函數f(x)=

(a∈R).(1)若函數f(x)為奇函數,求a的值;(2)當a=3時,用函數單調性的定義證明:函數f(x)=

在R上單調遞增;(3)若函數y=f(x)-2x有兩個不同的零點,求a的取值范圍.解析

(1)函數的定義域為R.由f(0)=0,得a=1,此時f(x)=

.因為f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)為奇函數,故a=1.(2)證明:當a=3時,f(x)=

=3-

.

把解析式化成f(x)=3-

有利于單調性的判定

任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=

,因為x1<x2,所以

<

,又

+1>0,

+1>0,所以

<0,即f(x1)<f(x2),所以函數f(x)=

在R上單調遞增.(3)y=f(x)-2x有兩個不同的零點等價于(2x)2+(1-a)2x+1=0有兩個不同的實數解.令t=2x(t>0),則t2+(1-a)t+1=0在(0,+∞)上有兩個不同的實數解,所以

解得a>3.所以a的取值范圍為(3,+∞).變式訓練2-3

(逆