專題04一線三等角模型基本模型：例題精講例1．（直角K字型）如圖，在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到①的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到②的位置時，求證：；(3)當直線MN繞點C旋轉到③的位置時，試問具有怎樣的數量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．例2．（非直角K字型）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓練1】（1）如圖1，已知中，90°，，直線經過點直線，直線，垂足分別為點．求證：．證明：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數量關系，并說明理由．【變式訓練2】（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉90°至DE，△AED的面積為．【變式訓練3】已知：中，，，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側作，且．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作于H，連接DE，求證：；(2)如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：；(3)當點D在射線CB上時，連接BE交直線AC于M，若，則的值為______．【變式訓練4】【問題背景】（1）如圖1，在中，，，，，垂足為E．求證：；【變式運用】（2）如圖2，在中，，，．求；【拓展遷移】（3）如圖3，在中，，，與交于點，，，直接寫出的值．課后訓練1．如圖，為等邊三角形，是邊上一點，在上取一點，使，在邊上取一點，使，則的度數為（

）A． B． C． D．2．如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且．(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E、F在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，，則BE_________CF．②如圖2，若0°<∠BCA<180°，請添加一個關于與∠BCA關系的條件__________________，使①中的結論仍然成立，并說明理由；(2)如圖3．若線CD經過∠BCA的外部，，請提出關于EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想，并簡述理由3．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是線段CA延長線上一點，且AD＝AB．點F是線段AB上一點，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE．連接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，則∠ABC＝°；(2)過D點作DG⊥AE，垂足為G．①填空：△DEG≌△；②求證：AE＝AF+BC；(3)如圖2，若點F是線段BA延長線上一點，其他條件不變，請寫出線段AE，AF，BC之間的數量關系，并簡要說明理由．4．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點，若，則的度數為；(2)如圖2，連接、，延長交于點，若，點為中點，求證：；(3)如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，則的面積為．5．如圖ABD與AEC均為等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如圖1，若反向延長ABC的高AM交DE于點N，過D作DH⊥MN．求證：DH＝AM，DN＝EN；（2）如圖2，若AM為ABC的中線，反向延長AM交DE于點N，試探究AM與DE的數量關系，并說明理由；（3）由（1）（2）的探究我們發現．（填“＜”“＞”或“＝”號，無需證明）6．如圖1所示，已知AB為直線a上兩點，點C為直線a上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，過點D作于點，過點E作于點．（1）【問題探究】小華同學想探究圖1中線段、、AB之間的數量關系．他的方法是：作直線于點H，可以先證明和________，于是可得：________和________，所以得到線段、、AB之間的數量關系是________；（2）【方法應用】在圖2中，當D、E兩點分別在直線a的上方和下方時，試探究三條線段、、AB之間的數量關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】在圖2中，當D、E兩點分別在直線a的上方和下方時，小華同學測得線段，，請用含有m、n的代數式表示△ABC的面積為________．7．（1）如圖1，已知：在中，，，直線經過點，，垂足分別為點、．證明：①；②．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點，求證：是的中點．8．已知點C是AB上的一個動點．（1）問題發現如圖1，當點C在線段AB上運動時，過點C作，垂足為點C，過點A作，垂足為點A，且，．①與全等嗎？請說明理由；②連接DE，試猜想的形狀，并說明理由；③是否成立？_________（填“成立”或“不成立”）．（2）類比探究如圖2，當點C在線段AB的延長線上時，過點C作，垂足為點C，過點作，垂足點A，且，．試直接寫出的形狀為___________；此時線段DC、AE和AC之間的數量關系為__________（直接寫出結論，不用說明理由）．9．已知：中，過B點作BE⊥AD，．(1)如圖1，點在的延長線上，連，作于，交于點．求證：；(2)如圖2，點在線段上，連，過作，且，連交于，連，問與有何數量關系，并加以證明；(3)如圖3，點在CB延長線上，且，連接、的延長線交于點，若，請直接寫出的值．10．（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，當直線MN旋轉到圖1的位置時