PAGEPAGE1專題01集合、常用邏輯用語【2024年高考考綱解讀】從近幾年高考題來看,涉及本節學問點的高考題型是選擇題或填空題．有時在大題的條件或結論中出現,所以在復習中不宜做過多過高的要求,只要敏捷駕馭小型綜合題型就可以了．要駕馭以函數的定義域、值域、不等式的解集為背景考查集合的交、并、補的基本運算；要能夠利用集合之間的關系,利用充要性求解參數的值或取值范圍；要駕馭命題的四種形式及命題真假的推斷；還得留意以新定義集合及集合的運算為背景考查集合關系及運算．要活用“定義法”解題,重視“數形結合”,定義是一切法則和性質的基礎,是解題的基本動身點,留意方法的選擇,抽象到直觀的轉化．要體會數學語言的簡潔性與明確性,發展運用數學語言溝通問題的實力．體會分類探討思想、數形結合思想、函數方程思想等數學思想在解題中的運用．【網絡構建】【重點、難點剖析】一、集合的概念及運算1．集合的運算性質及重要結論(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．2．集合運算中的常用方法(1)數軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數軸法求解．(2)圖象法：若已知的集合是點集，用圖象法求解．(3)Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解．【方法技巧】解答集合問題的策略：(1)集合的化簡是實施運算的前提，等價轉換是順當解題的關鍵．解決集合問題，要弄清集合中元素的本質屬性，能化簡的要化簡；抓住集合中元素的三特性質，對互異性要留意檢驗；(2)求交集、并集、補集要充分發揮數軸或韋恩圖的作用；(3)含參數的問題，要有分類探討的意識．留意空集的特別性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性．二、充分與必要條件的推斷充分、必要條件與充要條件的含義若p、q中所涉及的問題與變量有關，p、q中相應變量的取值集合分別記為A，B，那么有以下結論：p與q的關系集合關系結論p?q，qeq\o(?,/)pABp是q的充分不必要條件peq\o(?,/)q，q?pBAp是q的必要不充分條件p?q，q?pA＝Bp是q的充要條件peq\o(?,/)q，qeq\o(?,/)pAB，BAp是q的既不充分也不必要條件【方法技巧】命題真假的判定方法：(1)一般命題p的真假由涉及到的相關學問辨別；(2)四種命題的真假的推斷依據：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規律；(3)p∨q、p∧q、┐p命題的真假依據p，q的真假與邏輯聯結詞的含義判定；(4)要判定一個全稱命題是真命題，必需對限定集合M的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成馬上可(也就是通常所說的“舉一個反例”)．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中能找到一個x＝x0，使p(x0)成馬上可；否則，這一存在性命題是假命題．三、命題真假的判定與命題的否定1．四種命題的關系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．2．復合命題真假的推斷方法含邏輯聯結詞的命題的真假推斷：“p∨q”有真則真，其余為假；“p∧q”有假則假，其余為真；“綈p”與“p”真假相反．3．全稱量詞與存在量詞(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．【方法技巧】充分條件必要條件的判定方法：(1)定義法：分清條件和結論；找推式，推斷“p?q”及“q?p”的真假；下結論，依據推式及定義下結論；(2)等價轉化法：條件和結論帶有否定詞語的命題，常轉化為其逆否命題來推斷；(3)集合法：小范圍可推出大范圍，大范圍不能推出小范圍．【題型示例】題型一、集合的含義與表示、集合的運算例1、(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為()A．9 B．8C．5 D．4【解析】由題意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9個元素，故選A．【答案】A【變式探究】解決集合問題的3個留意點(1)集合含義要明確：構成集合的元素及滿意的性質．(2)空集要重視：已知兩個集合的關系，求參數的取值，要留意對空集的探討．(3)“端點”要取舍：要留意在利用兩個集合的子集關系確定不等式組時，端點值的取舍問題，肯定要代入檢驗，否則可能產生增解或漏解現象．【變式探究】[2024·全國卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1或x>2}D.{x|x≤－1或x≥2}【命題意圖】本題考查集合補集的運算、一元二次不等式的解法，考查學生的計算實力．【答案】B.【解析】∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}，∴?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.【變式探究】[2024·全國卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為()A．9B.8C.5D.4【命題意圖】本題考查集合中元素的個數，考查了學生的理解實力與推理實力．【變式探究】（2024年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，則A.B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因為全集，，所以依據補集的定義得，故選C.【變式探究】（2024年天津卷）設全集為R，集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.【變式探究】（2024年北京卷）設集合則A.對隨意實數a，B.對隨意實數a，（2，1）C.當且僅當a<0時，（2，1）D.當且僅當時，（2，1）【答案】D【解析】若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.【變式探究】（2024年江蘇卷）已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由題設和交集的定義可知：.【變式探究】（2024年北京卷）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB=A.{0，1}B.{–1，0，1}C.{–2，0，1，2}D.{–1，0，1，2}【答案】A【解析】，因此AB=，選A.【變式探究】(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，則實數m的取值范圍是________．【答案】[－1，＋∞)題型二充分與必要條件的推斷例2、（2024年浙江卷）已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以依據線面平行的判定定理得，由不能得出與內任始終線平行，所以是的充分不必要條件，故選A.【變式探究】（2024年天津卷）設，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不重復條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.據此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.【變式探究】(2024·北京卷)設a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2?2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，故選C．【方法技巧】充分、必要條件的3種推斷方法(1)利用定義推斷：干脆推斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在推斷時，確定條件是什么，結論是什么．(2)從集合的角度推斷：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題．(3)利用等價轉化法：條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來推斷真假．【變式探究】[2024·天津卷]設θ∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【命題意圖】本題考查了充分條件與必要條件，考查三角函數的圖象及性質，考查學生的計算實力及推理實力．【答案】A.【解析】當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)時，可解得0<θ<eq\f(π,6)，即0<sinθ<eq\f(1,2)，故充分性成立；由sinθ<eq\f(1,2)可取θ＝0，但此時不滿意條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)，故必要性不成立．故選A.【變式探究】命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2【答案】D.【解析】由全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題得，命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n<x2【變式探究】已知命題p：函數f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)內恰有一個零點；命題q：函數y＝x2－a在(0，＋∞)上是減函數．若p且綈q為真命題，則實數a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(－∞，2]C．(1，2]D．(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】C.【解析】由題意可得，對命題p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；對命題q，令2－a<0，即a>2，則綈q對應的a的范圍是(－∞，2]．因為p且綈q為真命題，所以實數a的取值范圍是1<a≤2.故選C.題型三命題真假的判定與命題的否定例3、[2024·全國卷Ⅰ]設有下面四個命題p1：若復數z滿意eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復數z滿意z2∈R，則z∈R；p3：若復數z1，z2滿意z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復數z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【答案】B【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝biR，所以p2為假命題．對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.則z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題，故選B.【變式探究】下列命題正確的是()A．命題“?x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定為“?x∈[0,1]，都有x2－1≤0”B．若命題p為假命題，命題q是真命題，則(綈p)∨(綈q)為假命題C．命題“若a與b的夾角為銳角，則a·b>0”及它的逆命題均為真命題D．命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0”【答案】D【方法技巧】解決命題的判定問題應留意的3點(1)推斷四種命題真假有下面兩個途徑，一是先分別寫出四種命題，再分別推斷每個命題的真假；二是利用互為逆否命題是等價命題這一關系來推斷它的逆否命題的真假．(2)要判定一個全稱命題是真命題，必需對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立．要判定一個特稱(存在性)命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成馬上可．(3)含有量詞的命題的否定，需從兩方面進行：一是改寫量詞或量詞符號；二是否定命題的結論，兩者缺一不行．【變式探究】“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是()A．?x∈R，x2－πx<0 B．?x∈R，x2－πx≤0C．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0≤0 D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0<0【答案】D【解析】全稱命