PAGE1-第七節函數的圖像[考綱傳真]會運用基本初等函數的圖像分析函數的性質．1．利用描點法畫函數圖像的流程2．利用圖像變換法作函數的圖像(1)平移變換(2)伸縮變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(a＞1，橫坐標縮短為原來的\f(1,a)，縱坐標不變,0＜a＜1，橫坐標伸長為原來的\f(1,a)倍，縱坐標不變))y＝f(ax)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(a＞1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do10(0＜a＜1，縱坐標縮短為原來的a，橫坐標不變))y＝af(x)的圖像．(3)對稱變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關于x軸對稱))y＝－f(x)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關于y軸對稱))y＝f(－x)的圖像；③y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關于原點對稱))y＝－f(－x)的圖像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像eq\o(→,\s\up10(關于直線y＝x對稱))y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像．(4)翻轉變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(x軸下方部分翻折到上方),\s\do10(x軸上方部分不變))y＝|f(x)|的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(y軸右側部分翻折到左側),\s\do10(原y軸左側部分去掉，右側不變))y＝f(|x|)的圖像．eq\o([常用結論])1．一個函數圖像的對稱關系(1)函數f(x)滿意關系f(a＋x)＝f(b－x)，則f(x)的圖像關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特殊地，當f(a＋x)＝f(a－x)時，函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．(2)函數f(x)滿意關系f(a＋x)＝－f(b－x)，則f(x)的圖像關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．2．兩個函數圖像的對稱關系(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關于直線x＝a對稱．(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關于點(a，b)中心對稱．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個單位得到． ()(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖像關于原點對稱． ()(3)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同． ()(4)若函數y＝f(x)滿意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)甲、乙二人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步，乙先跑步到中點再改為騎自行車，最終兩人同時到達B地．已知甲騎車比乙騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度．現將兩人離開A地的距離s與所用時間t的函數關系用圖像表示，則如圖所示的四個函數圖像中，甲、乙的圖像應當是()①②③④A．甲是圖①，乙是圖② B．甲是圖①，乙是圖④C．甲是圖③，乙是圖② D．甲是圖③，乙是圖④B[設甲騎車速度為V甲騎，甲跑步速度為V甲跑，乙騎車速度為V乙騎，乙跑步速度為V乙跑，依題意V甲騎＞V乙騎＞V乙跑＞V甲跑，故選B．]3．已知a＞0，a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖像可能是()ABCDB[y＝loga(－x)與y＝logax的圖像關于y軸對稱，故選B．]4．函數y＝logeq\f(1,2)(1－x)的大致圖像是()ABCDD[把函數y＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))x的圖像對稱到y軸左側得到y＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(－x)的圖像，再把所得圖像向右平移1個單位，得到y＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(1－x)的圖像，故選D.]5．函數f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1D[依題意，與曲線y＝ex關于y軸對稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當于y＝e－x向左平移1個單位的結果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]作函數的圖像【例1】作出下列函數的圖像：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.[解](1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的圖像，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)圖像中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的圖像中x＞0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(|x|)的圖像，如圖①實線部分．①②(2)將函數y＝log2x的圖像向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②.(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數圖像可由y＝eq\f(1,x)圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖③.③④(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函數為偶函數，先作出[0，＋∞)上的圖像，再依據對稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像如圖④.[規律方法]函數圖像的三種畫法(1)干脆法：當函數解析式(或變形后的解析式)是熟識的基本函數時，就可依據這些函數的特征描出圖像的關鍵點干脆作出．(2)轉化法：含有肯定值符號的函數，可脫掉肯定值符號，轉化為分段函數來畫圖像．(3)圖像變換法：若函數圖像可由某個基本函數的圖像經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出．易錯警示：(1)畫函數的圖像肯定要留意定義域．(2)利用圖像變換法時要留意變換依次，對不能干脆找到熟識的基本函數的要先變形，并應留意平移變換與伸縮變換的依次對變換單位及解析式的影響．識圖與辨圖【例2】(1)(2024·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖像大致為()(2)如圖，矩形ABCD的周長為8，設AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動，且MN＝1，當N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G圍成的區域的面積為y，則函數y＝f(x)的圖像大致為()ABCD(1)B(2)D[(1)因為f(－x)＝eq\f(e－x－ex,－x2)＝－eq\f(ex－e－x,x2)＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定義域上的奇函數，所以函數f(x)的圖像關于原點(0,0)中心對稱，解除選項A；因為f(1)＝e－eq\f(1,e)>2，所以解除選項C，D，選B．(2)如圖所示，點P的軌跡是分別以A，B，C，D為圓心，半徑為eq\f(1,2)的4個eq\f(1,4)圓，以及線段EF，GH，RQ，SJ部分．則G圍成的面積為矩形的面積減去4個eq\f(1,4)圓的面積，即y＝x(4－x)－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＝4x－x2－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，且當x＝2時，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故選D.][規律方法]識別函數圖像的方法技巧(1)由解析式確定函數圖像①從函數的定義域，推斷圖像的左右位置；從函數的值域，推斷圖像的上下位置．②從函數的單調性，推斷圖像的改變趨勢．③從函數的奇偶性，推斷圖像的對稱性．④從函數的周期性，推斷圖像的循環往復．⑤從函數的特殊點，解除不合要求的圖像．⑥從函數的極值點推斷函數圖像的拐點．(2)由實際情景探究函數圖像關鍵是將問題轉化為熟識的數學問題求解，要留意實際問題中的定義域問題．(1)(2024·武漢模擬)函數f(x)＝eq\f(x3,3x－1)的大致圖像是()(2)如圖，不規則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB交AB于E，當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把四邊形ABCD分成兩部分，設AE＝x，左側部分的面積為y，則y關于x的圖像大致是()ABCD(1)C(2)C[(1)函數f(x)的定義域為{x|x≠0}，解除A．又f(－1)＝eq\f(－13,3－1－1)＝eq\f(3,2)＞0，解除B．當x→＋∞時，f(x)→0，故選C．(2)當l從左至右移動時，一起先面積的增加速度越來越快，過了D點后面積保持勻速增加，圖像呈直線改變，過了C點后面積的增加速度又漸漸減慢．故選C．]函數圖像的應用?考法1探討函數的性質【例3】已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是()A．f(x)是偶函數，遞增區間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數，遞減區間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數，遞減區間是(－1,1)D．f(x)是奇函數，遞增區間是(－∞，0)C[將函數f(x)＝x|x|－2x去掉肯定值，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數f(x)的圖像，如圖，視察圖像可知，函數f(x)的圖像關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(－1,1)上是削減的．]?考法2求不等式解集【例4】函數f(x)是定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函數，在(0，＋∞)上遞增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]＜0，則x的取值范圍為________．(－3,0)∪(0,3)[函數f(x)的圖像大致如圖所示．因為f(x)為奇函數，且x·[f(x)－f(－x)]＜0，所以2x·f(x)＜0.由圖可知，不等式的解集為(－3,0)∪(0,3)．][規律方法]1.利用函數圖像探討性質的方法(1)依據已知或作出的函數圖像，從最高點、最低點，分析函數的最值、極值．(2)從圖像的對稱性，分析函數的奇偶性．(3)從圖像的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性．(4)從圖像與x軸的交點狀況，分析函數的零點等．2．利用函數的圖像探討不等式思路當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖像的上、下關系問題，從而利用數形結合求解．3．利用函數圖像探討方程根的策略構造函數，轉化為兩熟識函數圖像的交點個數問題，在同一坐標系中分別作出兩函數的圖像，數形結合求解．(1)如圖，函數f(x)的圖像為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}(2)設函數f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于隨意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是________．(1)C(2)[－1，＋∞)[(1)作出函數y＝log2(x＋1)的圖像，如圖所示：其中函數f(x)與y＝log2(x＋1)的圖像的交點為D(1,1)，由圖像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}，故選C．(2)如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1，∴a≥－1.]函數圖像對稱性的應用【例5】(1)(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50(2)(2024·全國卷Ⅲ)下列函數中，其圖像與函數y＝lnx的圖像關于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(1)C(2)B[(1)由f(x)是奇函數知f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，則f(x＋2)＝－f(x)．從而f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的周期函數．因為f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，所以f(0)＝0.因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以當x＝1時，f(2)＝f(0)＝0；當x＝2時，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；當x＝3時，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.綜上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故選C．(2)設所求函數圖像上任一點的坐標為(x，y)，則其關于直線x＝1的對稱點的坐標為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數f(x)＝lnx的圖像上，所以y＝ln(2－x)．故選B．][規律方法]函數圖像對稱性的常見結論(1)關于點(a,0)對稱①若兩個函數f(x)與g(x)的圖像關于(a,0)對稱，則有f(x)＝－g(2a－x)．②函數y＝f(x)的圖像關于(a,0)對稱，則有f(x)＝－f(2a－x)．(2)關于直線x＝a對稱①函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)②若兩個函數f(x)與g(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則有g(x)＝f(2a－x)③偶函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則函數f(x)是周期為2a的周期函數④奇函數g(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則函數g(x)是周期為4a的周期函數．(1)直線y＝k(x＋3)＋5(k≠0)與曲線y＝eq\f(5x＋17,x＋3)的兩個交點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＋y1＋y2等于()A．2B．4C．6 D．8(2)已知定義在R上的函數f(x)滿意f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)．則f(2019)＝()A．－3 B．0C．1 D．3(1)B(2)B[(1)因為y＝eq\f(5x＋17,x＋3)＝eq\f(2,x＋3)＋5，其圖像關于點(－3,5)對稱．又直線y＝k(x＋3)＋5過點(－3,5)，如圖所示．所以A，B關于點(－3,5)對稱，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.(2)由題意知f(3－x)＝f(x)＝－f(－x)，則f(x＋3)＝－f(x)，從而f(x＋6)＝f(x)．即函數f(x)是周期為6的周期函數，所以f(2019)＝f(3)＝f(0)＝0，故選B．]1．(2024·全國卷Ⅰ)函數y＝eq\f(sin2x,1－cosx)的部分圖像大致為()C[令f(x)＝eq\f(sin2x,1－cosx)，∵f(1)＝eq\f(sin2,1－cos1)＞0，f(π)＝eq\f(sin2π,1－cosπ)＝0，∴解除選項A，D.由1－cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z)，故函數f(x)的定義域關于原點對稱．又∵f(－x)＝eq\f(sin－2x,1－cos－x)＝－eq\f(sin2x,1－cosx)＝－f(x