年高新區(qū)學(xué)考模擬測試數(shù)學(xué)試題2025.04本試題分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷共2頁，滿分為40分；第II卷共4頁，滿分為110分．本試題共6頁，滿分為150分．考試時間為120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的考點、姓名、準(zhǔn)考證號、座號填寫在答題卡上和試卷規(guī)定的位置上．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．本考試不允許使用計算器．第I卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.-2025的絕對值是（）A．-2025B．2025C．?12025D．2.我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，如圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的左視圖是（）3．近年來我國芯片技術(shù)突飛猛進，某品牌手機自主研發(fā)的最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.00000014米，將數(shù)據(jù)“0.00000014”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.4×10?8B．1.4×10?7C．0.14×10?6D．1.4×10?94.下列數(shù)學(xué)符號中，是軸對稱圖形的是（）5．計算a2÷1b·b的結(jié)果是（A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)2b2D．2a6．某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α=31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．148.5°B．131.5°C．121.5°D．58.5°7．四大發(fā)明是中國古代先民為世界留下的一串光耀的足跡，是人類文明進步的象征．如圖，小樂收集了中國古代四大發(fā)明的四張卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余均相同，若小樂從這四張卡片中隨機抽取兩張卡片，則這兩張卡片中有“指南針”的概率是（）A．12B．13C．148.定義新運算：m*n=m2?2m?3n，例如：3*4=32?2×3?3×4=?9，若關(guān)于x的一元二次方程x*a=3有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)>43B．a(chǎn)≥43C．a(chǎn)>?439．如圖，正方形ABCD，連接BD，點E為BD上一點，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接EF交CD于點G，若GEGF=3，則EDBC的值為（A．324B．23C．10．對于任意的實數(shù)m、n，定義符號max{m，n}的含義為m，n之間的最大值，如max{3，2}=3，max{-1，2}=2．定義一個新函數(shù)：y=max(?14x2+x+94,∣x∣)，則y≥3時，x的取值范圍為（A．x≤?3或x≥1B．x≤?1或1≤x≤3C．-1≤x≤3D．x≤-3或x≥3二、填空題:（本大題共5個小題，每小題4分，共20分．）11．因式分解：4m2?25=．12．大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1是蜜蜂的蜂巢，結(jié)構(gòu)非常精巧，實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖2是由7個全等的正六邊形組成的巢房截面圖，一只蜜蜂隨機落在如圖2所示的某個巢房中，則落在陰影部分所在巢房中的概率為．13.農(nóng)科院計劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題．為了解甲、乙兩種玉米的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行試驗，得到數(shù)據(jù)如圖。則甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的方差大小關(guān)系為S2甲S2乙（填"<"或">")14．湖西橋是濟南大明湖景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為y=﹣172x2，正常水位時水面寬AB為24m，當(dāng)水位上升1.5m時水面寬CD為15.將一副學(xué)生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個四邊形ABCD，連接AC，探究tan∠ACD的值為．三、解答題:（本大題共10個小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．(本題滿分7分)計算：12?2COS30°+(12)?2+∣?3∣?(π?3.14)17．(本題滿分7分)解不等式組：3（）≥18．(本題滿分7分)如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，且BE=BF．求證：DE=DF．19．(本題滿分8分)高空走鋼絲在中國有著悠久的歷史，漢代稱“走索”“銅繩伎”，三國、魏晉稱“高絙”“踏索”，東漢張衡在《西京賦》中就有“跳丸劍之揮霍，走索上而相逢”的描寫．古代的走索用的不是鋼絲而是繩子，繩子由于柔軟，更加容易晃動，難度不小．十一假期，陽光馬戲團正在表演高空走鋼絲（圖1），雜技演員所在位置點C到AD所在直線的距離CH=3m，BC=15m，此時∠DAC=36.87°（如圖2），當(dāng)雜技演員走至鋼絲中點F時，恰好∠FAD=∠FBE=60°（如圖3）運動過程中繩子總長不變．（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，3≈1.73）（1）求AC的長；（2）求雜技演員從點C走到點F，下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．20.(本題滿分8分)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線垂直于AD的延長線，垂足為點E，AC，BD相交于點F．（1）求證：點C是BD的中點；（2）若BD=4，DC=5，求AD的長．21．(本題滿分9分)【項目背景】數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．?dāng)?shù)學(xué)不僅是工具學(xué)科，更承載著人類文明發(fā)展史．從《九章算術(shù)》的智慧到笛卡爾坐標(biāo)系的誕生，數(shù)學(xué)文化中蘊含的邏輯之美、創(chuàng)新精神與人文價值亟待被挖掘．【數(shù)據(jù)搜集與整理】某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學(xué)生中各隨機抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識競賽．并對數(shù)據(jù)（百分制）進行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用x表示，共分三組：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級10名學(xué)生的競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a=，b=，m=；（2）請計算扇形統(tǒng)計圖中“B組”所在扇形的圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（4）該校七年級學(xué)生有800人，八年級學(xué)生有1000人．估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有多少人？22．(本題滿分10分)某校在商場購進A、B兩種品牌的籃球，購買A品牌籃球花費了2500元，購買B品牌籃球花費了2000元，且購買A品牌籃球數(shù)量是購買B品牌籃球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌籃球比購買一個A品牌籃球多花30元．（1）問購買一個A品牌、一個B品牌的籃球各需多少元？（2）該校決定再次購進A、B兩種品牌籃球共50個，恰逢商場對兩種品牌籃球的售價進行調(diào)整，A品牌籃球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費用不超過3060元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌籃球？23．(本題滿分10分)【綜合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂，如圖，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠桿左端懸掛重力為80N的物體A．（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為N．（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物B的質(zhì)量變化時，L2的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為xN，L2的長度為ycm．則：①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．②完成下表：a=，b=。③在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的條件下，將函數(shù)圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖象組成一個新的圖象，記為L．若點A的坐標(biāo)為（2，0），在L上存在點Q，使得S△OAQ=9．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)．24．(本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）過點（1，3），交y軸于C點，交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA=12（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥BC于點D，點Q是拋物線對稱軸上的一動點，連接PQ，BQ，當(dāng)線段PD長度取得最大值時，求PQ+BQ的最小值；（3）在（2）中線段PD長度取得最大值的條件下，連接PA，將拋物線沿射線CB方向平移得到新拋物線y′，使得新拋物線y′經(jīng)過點B，且與直線CB相交于另一點M，點N為新拋物線y'上的一個動點，當(dāng)∠PAC+∠BMN=45°，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．25．(本題滿分12分)綜合與實踐課上，老師給出定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．同學(xué)們以此開展了數(shù)學(xué)活動．操作發(fā)現(xiàn)（1）①如圖1構(gòu)造一個四邊形ABCD，使得AB=AD，BC=DC，那么四邊形ABCD“垂美四邊形”．（填“是”或“不是”）②如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．那么四邊形BCGE是“垂美四邊形”嗎？請說明理由．拓展探究（2）如圖3，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，則兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．遷移應(yīng)用（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．P、Q分別是射線AB，AC上一個動點，同時從點A出發(fā)，分別沿AB和AC方向以每秒5個單位長度和每秒21個單位長度的速度勻速運動，運動時間為t秒，連接CP、BQ、PQ、PC與BQ交于點O，當(dāng)以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是“垂美四邊形”時，直接寫出t的值．答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.-2025的絕對值是（B）A．-2025B．2025C．?12025D．2.我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，如圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的左視圖是（B）3．近年來我國芯片技術(shù)突飛猛進，某品牌手機自主研發(fā)的最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.00000014米，將數(shù)據(jù)“0.00000014”用科學(xué)記數(shù)法表示為（B）A．1.4×10?8B．1.4×10?7C．0.14×10?6D．1.4×10?94.下列數(shù)學(xué)符號中，是軸對稱圖形的是（C）5．計算a2÷1b·b的結(jié)果是（CA．a(chǎn)2B．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)2b2D．2a6．某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α=31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（C）A．148.5°B．131.5°C．121.5°D．58.5°7．四大發(fā)明是中國古代先民為世界留下的一串光耀的足跡，是人類文明進步的象征．如圖，小樂收集了中國古代四大發(fā)明的四張卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余均相同，若小樂從這四張卡片中隨機抽取兩張卡片，則這兩張卡片中有“指南針”的概率是（A）A．12B．13C．148.定義新運算：m*n=m2?2m?3n，例如：3*4=32?2×3?3×4=?9，若關(guān)于x的一元二次方程x*a=3有實數(shù)根，則a的取值范圍是（D）A．a(chǎn)>43B．a(chǎn)≥43C．a(chǎn)>?439．如圖，正方形ABCD，連接BD，點E為BD上一點，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接EF交CD于點G，若GEGF=3，則EDBC的值為（A．324B．23C．10．對于任意的實數(shù)m、n，定義符號max{m，n}的含義為m，n之間的最大值，如max{3，2}=3，max{-1，2}=2．定義一個新函數(shù)：y=max(?14x2+x+94,∣x∣)，則y≥3時，x的取值范圍為（A．x≤?3或x≥1B．x≤?1或1≤x≤3C．-1≤x≤3D．x≤-3或x≥3二、填空題:（本大題共5個小題，每小題4分，共20分．）11．因式分解：4m2?25=(2m+5)(2m﹣5)．12．大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1是蜜蜂的蜂巢，結(jié)構(gòu)非常精巧，實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖2是由7個全等的正六邊形組成的巢房截面圖，一只蜜蜂隨機落在如圖2所示的某個巢房中，則落在陰影部分所在巢房中的概率為4713.農(nóng)科院計劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題．為了解甲、乙兩種玉米的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行試驗，得到數(shù)據(jù)如圖。則甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的方差大小關(guān)系為S2甲＞S2乙（填"<"或">")14．湖西橋是濟南大明湖景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為y=﹣172x2，正常水位時水面寬AB為24m，當(dāng)水位上升1.5m時水面寬CD為1215.將一副學(xué)生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個四邊形ABCD，連接AC，探究tan∠ACD的值為3+1．三、解答題:（本大題共10個小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．(本題滿分7分)計算：12?2COS30°+(12)?2+∣?3∣?(π?3.14)=23﹣3+4+3﹣1=23+317．(本題滿分7分)解不等式組：3（）≥解不等式①可得，x≥﹣2解不等式②可得，x＜3∴不等式組的解集為：﹣2≤x＜3所有正整數(shù)解有：1、2.18．(本題滿分7分)如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，且BE=BF（2）過點F作FI⊥AD，垂足為I，∵點F為鋼絲中點，AC＝5m，BC＝15m，∴AF=12在Rt△FAI中，∠FAD＝60°,∴AI＝AF?cos60°=10×12在Rt△ACH中，CH＝3m，∠DAC＝36.87°∴AH=30∴HI＝Al﹣AH＝5﹣4＝1（m）20.(本題滿分8分)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線垂直于AD的延長線，垂足為點E，AC，BD相交于點F．（1）求證：點C是BD的中點；（2）若BD=4，DC=5，求AD的長．證明：連接OC交BD于G∵CE切圓于C∴半徑OC⊥CE∵AE⊥CE，∴OC∥AE∴∠OCA=∠EAC∵OA＝OC∴∠OCA=∠OAC∴∠EAC=∠OAC∴CD=BC∴C是BD的中點（2）解：連接BC∵AB為直徑∴∠ACB=90°∵∠EAC=∠OAC，且∠CDB=∠OAC∴∠CDB=∠EAC∵∠DCA=∠DAC∴△CDF∽△CAD∴CD2＝CF·CA∴CF=1∵∠EAC=∠OAC∴BC=DC=5在Rt△BCF中，F(xiàn)B2＝FC2+BC2∴FB=621．(本題滿分9分)【項目背景】數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．?dāng)?shù)學(xué)不僅是工具學(xué)科，更承載著人類文明發(fā)展史．從《九章算術(shù)》的智慧到笛卡爾坐標(biāo)系的誕生，數(shù)學(xué)文化中蘊含的邏輯之美、創(chuàng)新精神與人文價值亟待被挖掘．【數(shù)據(jù)搜集與整理】某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學(xué)生中各隨機抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識競賽．并對數(shù)據(jù)（百分制）進行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用x表示，共分三組：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級10名學(xué)生的競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a=，b=，m=；（2）請計算扇形統(tǒng)計圖中“B組”所在扇形的圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（4）該校七年級學(xué)生有800人，八年級學(xué)生有1000人．估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有多少人？（1）答案為：88，87，40；（2）扇形統(tǒng)計圖中“B組”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×40%＝144°;（3）八年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好理由：因為八年級學(xué)生成績的中位數(shù)和眾數(shù)比七年級的高，所以八年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好（4）800×310答：估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有640人22．(本題滿分10分)某校在商場購進A、B兩種品牌的籃球，購買A品牌籃球花費了2500元，購買B品牌籃球花費了2000元，且購買A品牌籃球數(shù)量是購買B品牌籃球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌籃球比購買一個A品牌籃球多花30元．（1）問購買一個A品牌、一個B品牌的籃球各需多少元？（2）該校決定再次購進A、B兩種品牌籃球共50個，恰逢商場對兩種品牌籃球的售價進行調(diào)整，A品牌籃球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費用不超過3060元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌籃球？解：（1）設(shè)購買一個A品牌的籃球需x元，則購買一個B品牌的籃球需（x+30）元，由題意得2500x=2×解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，則x+30＝80.答：購買一個A品牌的籃球需50元，購買一個B品牌的籃球需80元.（2）設(shè)該校此次可購買a個B品牌籃球，則購進A品牌籃球（50﹣a）個由題意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060解得：a≤20答：該校此次最多可購買20個B品牌籃球.23．(本題滿分10分)【綜合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂，如圖，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠桿左端懸掛重力為80N的物體A．（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為N．（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物B的質(zhì)量變化時，L2的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為xN，L2的長度為ycm．則：①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．②完成下表：a=，b=。③在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的條件下，將函數(shù)圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖象組成一個新的圖象，記為L．若點A的坐標(biāo)為（2，0），在L上存在點Q，使得S△OAQ=9．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)．（1）答案為：200；（2）①答案為y=80x②a=4，b=8③函數(shù)圖象如下所示：（3）點Q的坐標(biāo)為（809，9）或（116924．(本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）過點（1，3），交y軸于C點，交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA=12（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥BC于點D，點Q是拋物線對稱軸上的一動點，連接PQ，BQ，當(dāng)線段PD長度取得最大值時，求PQ+BQ的最小值；（3）在（2）中線段PD長度取得最大值的條件下，連接PA，將拋物線沿射線CB方向平移得到新拋物線y′，使得新拋物線y′經(jīng)過點B，且與直線CB相交于另一點M，點N為新拋物線y'上的一個動點，當(dāng)∠PAC+∠BMN=45°，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．（1）y=﹣12x2+3（2）32（3）N（3，﹣2）或（173，10