板塊六平面解析幾何提優點18拋物線中的阿基米德三角形知識拓展設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線l與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線切線，切線相交于點C.由拋物線的弦AB，與過弦AB的端點的兩條切線圍成的△ABC稱為阿基米德三角形(線段AB常稱為阿基米德三角形的底邊，C稱為頂點).阿基米德三角形的常見性質如下：精準強化練類型一定點問題類型二軌跡問題類型三面積問題類型突破類型一定點問題例1整理得2tx1－2y1＋1＝0.設B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.1.拋物線的切線方程可用解析法(Δ＝0)求解，但用導數更方便.2.阿基米德三角形的頂點C與底邊AB所在直線是極點極線.規律方法(2024·武漢模擬改編)記曲線C的方程為x2＝4y.設D為直線y＝－2上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別是E，F.證明：直線EF過定點.訓練1設D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，得x1x－2y1－2y＝0，所以直線DE的方程為x1x－2y1－2y＝0，同理可得直線DF的方程為x2x－2y2－2y＝0.因為D(t，－2)在直線DE上，所以tx1－2y1＋4＝0，又D(t，－2)在直線DF上，所以tx2－2y2＋4＝0，則點E，F的坐標都滿足tx－2y＋4＝0，所以直線EF的方程為tx－2y＋4＝0，故直線EF過定點(0，2).類型二軌跡問題例2(1)求p的值；由點A的橫坐標為2，可得點A的坐標為(2，2)，代入y2＝2px，(2)求動點M的軌跡方程.1.切點弦變化引起切線交點的變化是常見的軌跡問題.2.尋找切點弦運動的因素與切線交點之間的關系后，常用代入法.規律方法已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線C：x2＝2y上的不同兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點P(x0，y0).(1)求證：x0是x1與x2的等差中項；訓練2對x2＝2y求導得y′＝x，∴直線PA：y＝x1(x－x1)＋y1，(2)若直線AB過定點M(0，1)，求證：原點O是△PAB的垂心；設直線AB：y＝kx＋1，代入x2＝2y整理得x2－2kx－2＝0.∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，∴原點O是△PAB的垂心.設△PAB的重心G(x，y)，(3)在(2)的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程.類型三面積問題(2024·南京模擬)已知點A(－4，4)，B(4，4)，直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為－2，點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的軌跡方程；例3∴曲線C的軌跡方程為x2＝4y且(x≠±4).(2)Q為直線y＝－1上的動點，過Q作曲線C的切線，切點分別為D，E，求△QDE的面積S的最小值.設Q(m，－1)，切線方程為y＋1＝k(x－m)，化為x2－4kx＋4(km＋1)＝0，由于直線與拋物線相切可得Δ＝0，即k2－km－1＝0.∴x2－4kx＋4k2＝0，解得x＝2k.可得切點(2k，k2)，由k2－km－1＝0.∴k1＋k2＝m，k1·k2＝－1，∴切線QD⊥QE.令切點(2k，k2)到Q的距離為d，則d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km＋2)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4＝(4＋m2)(k2＋1)，當m＝0時，即Q(0，－1)時，△QDE的面積S取得最小值4.關于阿基米德三角面積的性質在選擇題、填空題中可直接運用，在解答題中不能直接使用，但能幫助預先得出結果.規律方法已知拋物線C：x2＝4y，過拋物線外一點N作拋物線C的兩條切線，A，B是切點.訓練3(1)若點N的縱坐標為－2，求證：直線AB恒過定點；設A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，即2(y－y1)＝x1x－4y1，即x1x＝2(y＋y1)，同理，直線NB的方程為x2x＝2(y＋y2).又直線NA與直線NB都過N(x0，y0)，則x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，從而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直線x0x＝2(y0＋y)上，故直線AB的方程為x0x＝2(y0＋y).又y0＝－2，故直線AB的方程為2(y－2)＝x0(x－0)，故直線AB過定點(0，2).(2)若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面積的最大值(結果用m表示).得x2－2x0x＋4y0＝0，【精準強化練】√1.(2024·廈門質檢)拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱△PAB為“阿基米德三角形”，當線段AB經過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下特征：①P點必在拋物線的準線上；②PF⊥AB.若經過拋物線y2＝4x的焦點的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點P的縱坐標為4，則直線AB的方程為 A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0 C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0設拋物線的焦點為F，由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點坐標為F(1，0)，準線方程為x＝－1，因為△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經過拋物線y2＝4x的焦點，所以點P必在拋物線的準線上，所以點P(－1，4)，√√拋物線x2＝4y的準線為y＝－1，因為弦AB過焦點，故點P在準線上，√從而△APB為直角三角形且PF⊥AB，設過點P的準線與x軸的交點為T，則|FT|＝3，進而可知∠PFO＝30°，又∵∠PFB＝90°，5.過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A，B兩點(A在第一象限)，M為線段AB的中點.M在拋物線的準線l上的射影為點N，則下列說法正確的是 A.|AB|的最小值為4 B.NF⊥AB C.△NAB面積的最小值為6當AB⊥x軸時，|AB|的值最小為2p＝4，√√√由拋物線中的阿基米德三角形的性質可得NF⊥AB，△NAB的面積的最小值為p2＝4，故A，B正確，C錯誤；6.(2024·長沙模擬)已知拋物線Γ：x2＝2py(p>0)，過其準線上的點T(t，－1)作Γ的兩條切線，切點分別為A，B，下列說法正確的是 A.p＝4 B.TA⊥TB C.當t＝1時，直線AB的斜率為2 D.直線AB過定點(0，1)√√由拋物線中阿基米德三角形的性質可知TA⊥TB，直線AB過定點(0，1)，故B，D正確.如圖，則有PF⊥AB，PA⊥PB?|PF|2＝|AF|·|BF|＝9，8.已知拋物線C：x2＝4y，過點P(1，－1)作拋物線C的兩條切線，切點分別為A和B，則經過P，A，B三點的圓的方程為_____________________