板塊六平面解析幾何提優點17解析幾何中的同構技巧知識拓展1.數學中的同構式是指變量不同，但結構相同的兩個表達式.解析幾何中，常有一些點、直線、方程具有相同的特征，將這些“形”的共性坐標化.根據式子結構的相似性，對其進行代數變形的統一構造處理，就是同構.2.解析幾何中的同構主要有：(1)點、直線的同構，(2)方程的同構.3.同構的關鍵在于發現代數式子結構的相似性.精準強化練類型一一次式同構類型二二次同構類型突破類型一一次式同構如圖，設點P(x0，y0)在直線x＝m(y≠±m，0<m<1)上，過點P作雙曲線x2－y2＝1的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：直線AB過某一個定點.例1設A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率為k，x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1，整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0，∵PA與雙曲線相切，∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∵P(m，y0)在切線PA，PB上，∴A，B滿足直線方程y0y＝mx－1，是兩點唯一確定的一條直線，∴AB：y0y＝mx－1，規律方法(2024·金華調研改編)已知拋物線C：x2＝4y(p>0)，與圓M：x2＋(y＋4)2＝1.若點P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.訓練1設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，同理，可知直線PB的方程為x2x－2y2－2y＝0.由于點P為這兩條直線的公共點，所以點A，B的坐標滿足方程x0x－2y－2y0＝0，所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.可得x2－2x0x＋4y0＝0，則x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，－5≤y0≤－3，類型二二次同構(2024·安陽模擬)已知集合Q＝{(x，y)|0<ax2－by2<1(a>0，b>0)}，雙曲線C上的所有點構成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a>0，b>0)}，坐標平面內任意點N(x0，y0)，直線l：ax0x－by0y＝1稱為點N關于雙曲線C的“相關直線”.(1)若N∈P，判斷直線l與雙曲線C的位置關系，并說明理由；例2直線l與雙曲線C相切.理由如下：∴直線l與雙曲線C相切.(2)若直線l與雙曲線C的一支有2個交點，求證：N∈Q；∵直線l與雙曲線C的一支有2個交點，代入雙曲線C：ax2－by2＝1，又M在l上，即ax0x1－by0y1＝1，1.若出現兩個結構相同的一元二次方程時，說明此兩方程的未知數是對應的一元二次方程的兩根.2.根據兩同構方程未知數(即元)的意義，常見的二次方程同構有兩點坐標同構、兩直線斜率同構、截距同構、定比分點同構等.規律方法訓練2由|AP|·S2＝|BP|·S1，因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0，π)，有∠APQ＝∠BPQ，于是PQ平分∠APB，直線AP，BP的斜率kAP，kBP互為相反數，即kAP＋kBP＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，由①－②得2x0(x2－x1)＝4y0(y2－y1)，【精準強化練】1.如圖，已知拋物線C：x2＝4y，P(1，－2)為拋物線外一點，過點P向拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程.化簡可得AP：x1x－2y－2y1＝0，同理可得直線BP：x2x－2y－2y2＝0，又因為P(1，－2)在直線PA，PB上，故直線AB的方程為x－2y＋4＝0.2.過坐標原點O作圓C：(x＋2)2＋y2＝3的兩條切線，設切點為P，Q，直線PQ恰為拋物線E：y2＝2px