板塊六平面解析幾何提優(yōu)點16圓錐曲線的切線與光學性質高考定位1.拋物線的光學性質(1)如圖1所示，從拋物線的焦點F發(fā)出的光線，被拋物線反射后，得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行(或重合)的光線；反之，平行于拋物線對稱軸的一系列光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點.拋物線這種聚焦特性成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，太陽能熱水器.(2)如圖2所示，設拋物線在P處的切線l交對稱軸于點Q，PM⊥切線l交對稱軸于點M，則焦點F是QM的中點.精準強化練類型一解決反射與入射問題類型二解決距離之和的最值或范圍類型三解決與切線相關的問題類型突破類型一解決反射與入射問題(2024·杭州調研)設拋物線C：y2＝x，一光線從點A(5，2)射出，平行C的對稱軸，射在C上的P點，經(jīng)過反射后，又射到C上的Q點，則P點的坐標為__________，Q點的坐標為___________.例1如圖，直線AP平行于對稱軸且A(5，2)，(4，2)1.解決反射與入射問題都要抓住光線過焦點這個性質.2.涉及線段長度問題要注意利用圓錐曲線的定義.規(guī)律方法訓練120因為A(3，0)為該橢圓的一個焦點，所以自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線BC定過另一個焦點A′(－3，0)，故△ABC的周長為|AB|＋|BA′|＋|A′C|＋|CA|＝4a＝4×5＝20.類型二解決距離之和的最值或范圍例2法一|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|＝10＋(|PQ|－|PF2|)，即問題轉化為求|PQ|－|PF2|的最大值與最小值，因為兩邊之差小于第三邊，因此當P，Q，F(xiàn)三點一線時，取得|PQ|－|PF2|的最大值與最小值，即在P1處取得最小值，P2處取得最大值，法二根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結合橢圓的光學性質，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的.這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射(如圖，光線從F1→P1→Q)，二是被下半橢圓反射(如圖，光線從F1→P2→F2→Q)1.注意利用圓錐曲線的定義解題；2.要考慮全面，不要漏掉其中一種情況(如例2中光的兩種反射路線).易錯提醒訓練2根據(jù)雙曲線的光學性質，如圖，連接F1Q，交雙曲線的右支于點P，類型三解決與切線相關的問題例3l的距離為________.如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點A1，O1，B1，由光學性質可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，則∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，規(guī)律方法訓練3如圖，延長PF2交F1M延長線于點N，2由題意可得△PF1M≌△PNM，所以|PN|＝|PF1|，且M為F1N的中點，又點O為F1F2的中點，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，【精準強化練】√不妨設雙曲線的標準方程為x2－y2＝1，設|PF2|＝m，則|PF1|＝2＋m(m>0).√設拋物線方程為y2＝2px，所以拋物線方程為y2＝4x，焦點為F(1，0)，準線為x＝－1，由題意可得，直線AB的方程為可得y2＋3y－4＝0，√3.(2024·成都診斷)拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線y2＝4x的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點P(m，n)(n2<4m)射入，經(jīng)過拋物線上的點A(x1，y1)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，則直線l1與l2間的距離最小值為 A.2

B.4 C.8 D.16由拋物線的光學性質可知，直線AB過拋物線的焦點F(1，0)，設直線AB的方程為x＝ty＋1，將直線AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，當t＝0時，d取最小值4，故選B.√連接AF1，BF1，由題意可知A，D，F(xiàn)1三點共線，B，C，F(xiàn)1三點共線，即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5，可設|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k，由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，則4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k，在Rt△AF1F2中，√如圖，由橢圓的光學性質可得M，A，F(xiàn)1三點共線.設|BF2|＝x，則|BF1|＝2a－x，|MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x.√√√對于B，若m⊥n，則∠F1PF2＝90°.因為P在雙曲線右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2.設左、右頂點分別為A，B.7.(2024·青島模擬)拋物線有如下光學性質：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于x軸的光線l1從點M射入，經(jīng)過拋物線C：y2＝8x上的點P反射，再經(jīng)過C上另一點Q反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點N，則√√√A.若l1的方程為y＝2，則|PQ|＝8B.若l1的方程為y＝2，∠PQM＝∠MQN，則M(13，2)C.延長PO，與NQ交于點D，則點D在C的準線上D.拋物線C在點P處的切線分別與直線FP，l1所成角相等對于A，B，若l1的方程為y＝2，直線l2的方程為y＝－8，若∠PQM＝∠MQN，則點M在∠PQN的平分線上，點M到直線PQ和到直線l2的距離相等，由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B正確；對于C，拋物線C：y2＝8x，焦點坐標F(2，0)，準線方程x＝－2，由y1≠y2，得y1y2＝－16，即點D橫坐標為－2，所以點D在C的準線上，C正確；對于D，設拋物線C在點P處的切線為l，且l與x軸交于點T，在l上的P點右側取一點S(如圖)，由拋物線的光學性質可得∠SPM＝∠TPF，即拋物線C在P處的切線分別與PF，l1所成角相等，D正確.8.(2024·石家莊調研)根據(jù)拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的對稱軸，已知拋物線y2＝2x，若從點Q(3，2)發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于B點，則|AB|

＝________.由條件可知AQ與x軸平行，令yA＝2，可得xA＝2，故A點坐標為(2，2)，得8x2－17x＋2＝0，8如圖，根據(jù)題意，小球從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓反射經(jīng)過點B繼續(xù)前行，碰到點Q后回到點A，根據(jù)橢圓的定義，小球所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點到兩焦點距離之和，因為a2＝4?a＝2，所以小球經(jīng)過的路程為4×2＝8.[7，47]根據(jù)橢圓定義得|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a，因為|MN|＋|MF1|的最大值為6，右焦點F2(1，0)關于直線的對稱點P(x1，y1)，設切點為A，由橢圓的光學性質可得P，A，F(xiàn)1三點共線，所以|F1P|＝