湖北省重點高中智學聯(lián)盟20232024學年高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學一、選擇題（每題5分，共20分）1.若復數(shù)$z=3+4i$，則$|z|$的值為（）A.5B.7C.9D.252.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，公差為3，則$a_{10}$的值為（）A.29B.30C.31D.323.若函數(shù)$f(x)=x^22x+1$，則$f(x)$的最小值為（）A.0B.1C.1D.24.在直角坐標系中，點$A(1,2)$到原點$O$的距離為（）A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{10}$C.5D.10二、填空題（每題5分，共20分）1.若$\sin\theta=\frac{1}{2}$，且$\theta$是第二象限的角，則$\cos\theta=$_______。2.在等比數(shù)列$\{b_n\}$中，若$b_1=3$，公比為2，則$b_4=$_______。3.若函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2$，則$f(x)$的一個零點為_______。4.在直角坐標系中，直線$y=2x+1$與$y$軸的交點坐標為_______。三、解答題（每題15分，共60分）1.已知復數(shù)$z=2+3i$，求$z$的共軛復數(shù)$\bar{z}$和$|z|$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=2n^2+3n$，求$a_1$和公差$d$。3.已知函數(shù)$f(x)=x^24x+3$，求$f(x)$的零點和頂點坐標。4.已知點$A(2,3)$和點$B(4,1)$，求線段$AB$的長度和斜率。5.已知直線$l:y=2x+1$和直線$m:y=\frac{1}{2}x+2$，求兩直線的交點坐標和夾角。四、應用題（每題20分，共40分）1.某超市銷售一種商品，進價為20元，售價為30元。每月銷售量為1000件。若每月銷售額增長10%，求每月銷售額和利潤。2.已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為100元，銷售價為150元。每月生產(chǎn)量為1000件。若每月生產(chǎn)量增加10%，求每月生產(chǎn)成本和銷售收入。五、探究題（每題20分，共40分）1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數(shù)。若$f(1)=3$，$f(1)=5$，$f(2)=10$，求$a,b,c$的值。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$和等比數(shù)列$\{b_n\}$，若$a_1=b_1=1$，公差為2，公比為3。求證：對于任意正整數(shù)$n$，都有$a_n+b_n$是偶數(shù)。一、選擇題1.A2.B3.C4.B二、填空題1.sqrt3/22.243.14.(0,1)三、解答題1.barz23i,z52.a15,d33.零點x11,x23,頂點坐標(1,2)4.線段AB長度sqrt10,斜率2/35.交點坐標(3,7),夾角45°四、應用題1.每月銷售額33000元,利潤11000元2.每月生產(chǎn)成本110000元,銷售收入165000元五、探究題1.a1,b2,c32.證明：由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可知，ana1(n1)d，bnb1(n1)q。因為a1b11，所以anbn(n1)(dq)。因為公差為2，公比為3，所以dq236。因為n是正整數(shù)，所以(n1)是非負整數(shù)。所以anbn(n1)(dq)是非負整數(shù)乘以6，即anbn是6的倍數(shù)，也就是偶數(shù)。1.復數(shù)：共軛復數(shù)，復數(shù)的模2.數(shù)列：等差數(shù)列，等比數(shù)