第十五單元分式一、選擇題1.下列式子是分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據分式的定義判斷各選項即可.【詳解】解：A.分母中不含有字母，不屬于分式；B分母中不含有字母，不屬于分式；C.分母中含有字母，屬于分式；D.不含字母，不屬于分式；故選：C.【點睛】本題主要考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關鍵.2.將分式中的、同時擴大為原來的倍，分式的值將（）A.擴大倍 B.不變 C.縮小為原來的 D.縮小為原來的【答案】C【解析】【分析】根據分式的基本性質求解即可．【詳解】設，若、同時擴大為原來的倍，則有：，∴縮小為原來的，故選：．【點睛】此題考查了分式的基本性質，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質及其應用．3.滿足分式的的值可以是（）．A. B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據，可得：，從而進行判斷．【詳解】∵分式∴解得：故選：D【點睛】本題考查分式的分母不為0，解題的關鍵是能夠得出．4.下列分式中，最簡分式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】最簡分式：分子，分母沒有公因式的分式，根據最簡分式的定義逐個運算求解即可．【詳解】解：，A不合題意；為最簡分式，B符合題意；，C不合題意，，D不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了最簡分式的判斷，屬于基礎題，分子分母先因式分解，能約分的則約分化簡．5.年，清華大學集成電路學院教授任天令團隊以單層石墨烯作為柵極，打造出一種“側壁”晶體管，創下了米柵極長度的記錄．數據用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】絕對值小于的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的的個數所決定．【詳解】解：．故選：B．【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的的個數所決定．6.下列等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將各式進行計算，再進行判斷即可．【詳解】解：A、原式，故本選項錯誤；B、原式，故本選項錯誤；C、已不能再化簡，故本選項錯誤；D、，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題關鍵．7.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據同底數冪的除法，積的乘方，負整數指數冪，零指數冪的法則，進行計算，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；D、，選項錯誤，不符合題意；故選D．【點睛】本題考查同底數冪的除法，積的乘方，負整數指數冪，零指數冪，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．8.某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需的時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同．設原計劃每天生產臺機器，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設原計劃每天生產臺機器，則現在可生產臺，根據“生產600臺機器所需的時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同”列出分式方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設原計劃每天生產臺機器，則現在可生產臺，根據題意得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，讀懂題意，正確列出分式方程是解題的關鍵．9.一條筆直的公路依次經過A、B、C三地，甲、乙分別同時從A、B地出發到C地，米，米，設甲速度為a米/分，乙速度為b米/分，那么（）A.甲先到 B.乙先到 C.兩人同時到 D.無法確定誰先到【答案】B【解析】【分析】分別求出甲、乙到達C地需要的時間，然后利用作差法比較大小即可得到答案．【詳解】解：甲到達C地的時間為分鐘，乙到達C地的時間為分鐘，∵，∴，∴甲需要的時間比乙需要的時間長，∴乙先到，故選B．【點睛】本題主要考查了異分母分式減法的實際應用，正確表示出甲、乙到達C地需要的時間是解題的關鍵．10.若關于x的分式方程有增根，則m的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【詳解】去分母得：，解得∵分式方程有增根，∴，即，∴增根為3，，把代入整式方程得：，解得．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的增根問題，解題的關鍵是掌握分式方程的解題步驟以及對分式方程增根的理解．二、填空題11.若分式有意義，則的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】根據分式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解題的關鍵．12.和最簡公分母是_____．【答案】##【解析】【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數的最小公倍數；（2）凡單獨出現的字母連同它的指數作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數冪取次數最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．據此求解即可．【詳解】解：和的分母分別是，故最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查了最簡公分母的定義：通常取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．通分的關鍵是準確求出各個分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．13.若分式的值為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據分式值為零的條件得：且，即可求解．【詳解】解：根據分式的值為零的條件得：且，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件：當分式的分母不為零，分子為零時，分式的值為零，掌握以上知識是解題的關鍵．14.若，則值是______．【答案】【解析】【分析】先根據已知條件式得到，進而得到，則可推出，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的求值，正確推出，是解題的關鍵．15.關于的方程的解是非負數，則的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟求出，再根據方程的解為非負數且方程不能有增根進行求解即可．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，系數化為1得：，∵關于的方程的解是非負數，∴，∴且，故答案為：且．【點睛】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，正確求出是解題的關鍵．三、解答題16.不改變分式的值，使分子和分母中的最高次項系數都為正數：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用分式的基本性質在分子分母都乘以即可得出正確答案；（2）運用分式的基本性質在分子分母都乘以即可得出正確答案．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．【點睛】本題考查的是分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題關鍵．17.計算：【答案】2【解析】【分析】先根據負指數冪、有理數的乘方、零次冪、絕對值化簡，再計算即可．【詳解】解：＝9+4×（﹣1）﹣8+1＝9﹣4﹣8+1＝﹣2．【點睛】本題主要考查有理數的乘方、零次冪、負指數冪、絕對值等知識點，熟練掌握有理數的乘方、零次冪、負指數冪是解答本題的關鍵．18.計算：（1）；（2）．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據同分母分式的加減法運算法則進行運算即可．（2）利用分式的除法法則進行運算即可，注意要先因式分解．【小問1詳解】；【小問2詳解】【點睛】本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是正確使用分式的運算法則，如同分母分式相減，分母不變，分子相減，除以一個分式等于乘以這個分式的倒數．19.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據分式的混合運算法則，進行計算即可；（2）根據分式的混合運算法則，進行計算即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】原式．【點睛】本題考查分式的混合運算．解題的關鍵是掌握相關運算法則，正確的計算．20.先化簡分式，再討論：當整數取何值時，能使分式的值是正整數？【答案】；，，，【解析】【分析】先把分式進行化簡，再根據分式的值為正整數求出整數的值即可得到答案．【詳解】解：，分式的值是正整數，當時，原式，當時，原式，當時，原式，當時，原式，當整數取，，，時，能使分式的值是正整數．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式約分的法則是解答此題的關鍵．21.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）無解（2）【解析】【分析】（1）在方程兩邊同乘以轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）在方程兩邊同乘以轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【小問1詳解】解：在方程兩邊同乘以，得：，解得：，檢驗：把代入得：，∴是分式方程的增根，∴分式方程無解；【小問2詳解】解：在方程兩邊同乘以，得：，解得：，檢驗：把代入得：，∴是分式方程的解，∴分式方程的解為．【點睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，通過去分母把分式方程轉化為整式方程求解，解分式方程一定注意要驗根．掌握解分式方程步驟是解題的關鍵．22.先化簡，再求值：；從，1，2中選一個代入求值．【答案】，1【解析】【分析】先利用分式的運算法則和順序把原式化簡為最簡分式，再根據分式有意義的條件選擇合適的值代入求值即可．【詳解】解：，又根據分式有意義的條件，得：，在，1，2中，x只能為2，當時，原式．【點睛】此題考查了分式化簡求值，熟練掌握分式的運算法則和分式有意義的條件是解題的關鍵．23.中國是最早發現和利用茶樹國家，被稱為茶的祖國，某茶店用9600元購進A種茶葉若干盒，用6720元購進B種茶葉若干盒，所購A種茶葉比B種茶葉多10盒，已知B種茶葉每盒進價是A種茶葉每盒進價的1.2倍，分別求出A，B兩種茶葉的每盒進價．（列分式方程解）【答案】，兩種茶葉的每盒進價分別為400元，480元．【解析】【分析】設種茶葉每盒進價為元，則種茶葉每盒進價為元，根據所購A種茶葉比B種茶葉多10盒，即可得出關于x的分式方程，解之即可得出結論；【詳解】解：設種茶葉每盒進價為元，則種茶葉每盒進價為元，根據題意，得，解這個方程，得．經檢驗，是所列方程的根，（元）．答：，兩種茶葉的每盒進價分別為400元，480元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找出正確的等量關系列出分式方程是解答本題的關鍵．24.列方程解應用題：小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球．他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發，求小明和小剛兩人的速度．【答案】小明的速度是50米/分鐘，小剛騎自行車的速度是150米/分鐘．【解析】【分析】直接利用小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發，進而得出等式求出答案．【詳解】設小明的速度是米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是米/分鐘，根據題意可得：，解得：，經檢驗得：是原方程的根，故，答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘．【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．25.課堂上，李老師出了這樣一道題：已知+，求整數A、B的值﹒本題是這樣思考的：首先對等式的右邊進行通分，可得，已知兩個分式相等，分母相等，則分子也相等，即，利用多項式相等，則對應的系數相等可求得A、B的值﹒請你根據上面的思路解決下列問題：已知＝+，求A、B的值﹒【答案】【解析】【分析】兩邊通分解分式方程即可．【詳解】解：通分得：，∴，整理得：，∴，解得：．【點睛】本題考查分式方程，掌握運算法則是關鍵．一、選擇題26.下列各式計算結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數冪運算法則，逐個進行計算即可．【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B不正確，不符合題意；C、，故C不正確，不符合題意；D、，故D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數冪運算法則，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則并熟練運用．27.將關于x的分式方程去分母可得（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程兩邊都乘以，從而可得答案．【詳解】解：∵，去分母得：，整理得：，故選A．【點睛】本題考查的是分式方程的解法，熟練的把分式方程化為整式方程是解本題的關鍵．28.計算的結果等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據異分母分式加減法法則進行計算即可．【詳解】解：；故選：C．【點睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關鍵是按照相關法則進行計算．29.閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界．某區教育體育局向全區中小學生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發，參加分享活動．甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點．若設乙同學的速度是米/分，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設乙同學的速度是米/分，根據乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點，列出方程即可．【詳解】解∶設乙同學的速度是米/分，可得：故選∶D．【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．30.若關于的方程解為正數，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據方程的解是正數，可得，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵方程的解為正數，且分母不等于0∴，∴，且故選：D．【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．二、填空題31.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據分式有意義的條件列不等式求解即可．【詳解】解：若代數式有意義，則，解得：，故答案：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關鍵．32.計算：___________．【答案】【解析】【分析】根據零次冪、負整數指數冪和立方根的性質化簡，然后計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握零次冪、負整數指數冪和立方根的性質是解題的關鍵．33.若關于x的分式方程（m為常數）有增根，則增根是_______．【答案】【解析】【分析】根據使分式的分母為零的未知數的值，是方程的增根，計算即可．【詳解】∵關于x的分式方程（m為常數）有增根，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．34.關于x的分式方程有增根，則___________．【答案】【解析】【分析】等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據方程有增根，求出的值，即可求出．【詳解】，解：方程兩邊同時乘以，得，∴，∵原方程有增根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關鍵是掌握分式方程的增根．35.3月12日植樹節期間，某校環保小衛士組織植樹活動．第一組植樹12棵；第二組比第一組多6人，植樹36棵；結果兩組平均每人植樹的棵數相等，則第一組有________人．【答案】3【解析】【分析】審題確定等量關系：第一組平均每人植樹棵數＝第二組平均每人植樹棵數，列方程求解，注意檢驗．【詳解】設第一組有x人，則第二組有人，根據題意，得去分母，得解得，經檢驗，是原方程的根．故答案為：3【點睛】本題考查分式方程的應用，審題明確等量關系是解題的關鍵，注意分式方程的驗根．三、解答題36.已