第3講不等式與基本不等式期末大總結目錄速覽第一部分：必會知識結構導圖第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結第三部分：必會技能常考題型及思想方法大歸納必會題型一：不等關系和不等式性質必會題型二：利用基本不等式求函數和代數式的最值必會題型三：應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值必會題型四：含有多個變量的條件最值及恒成立問題必會題型五：基本不等式綜合問題第一部分：知識結構導圖速看第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結1．實數?a，b?大小的比較1a＞b?2．性質?1(?傳遞性?)?：如果?a＞b，?且?b＞3．性質?2(?可加性?)?：?如果?a＞b，那么4．性質?3(?可乘性?)1?如果?a＞b，c(2)?如果?a＞b，5．性質?4(?同向可加性?)?：如果?a＞b，c6．性質?5(?同向同正可乘性?)：(1)?如果?a＞b＞0(2)?如果?a＞?b＞推論?(?正數乘方性?)：?當?a＞b＞0??7．性質?6(?正數開方性?)：?當?a＞b＞0?時，8．基本不等式對于任意實數?x?和?y，(x－y)2?0?總是成立的，即?x2－2xy設?a?0，b?0，?a＋b2?ab，?當且僅當這個不等式稱為基本不等式，其中，?a＋b2?稱為?a，b?的算術平均值，ab?稱為?a，b?9．一個不等式鏈：21a當且僅當?a＝b?時等號成立，?其中?21a＋110．當?x，y?均為正數時，(1)?若?x＋y＝s(s?為定值?)，則當且僅當?x＝y(2)?若?xy＝p(p?為定值?)，?則當且僅當?x＝y?時，第三部分：必會技能常考題型及思想方法大歸納必會題型一：不等關系和不等式性質1．(2022·青海·海南藏族自治州高級中學高一階段練習)下列命題中正確的是(

)A．若a>b>0，則1a<1b BC．若a2>b2，則a>b D【答案】A【分析】利用不等式性質，作差法及特殊值法即可判斷四個選項．【解析】對于A，1a-1b=b-aab，∵a>b>0，∴b-a<0，ab>0，對于B，當c=0時，ac2=b對于C，當a=-2,b=1時，滿足a2>b2，但是對于D，取a=2，b=1，c=-2，d=-1，則ac<bd，故D錯誤．故選：A．2．[多選](2022·黑龍江·大慶實驗中學高一階段練習)下列結論中不正確的是(

)A．若ac2>bc2，則a>bC．若a>b，c>d，則ac>bd D．若2a-b>1【答案】BC【分析】利用不等式的性質判斷選項A；求得不等式1a<1b的解判斷選項B；舉反例否定選項C；求得不等式【解析】選項A：若ac2>bc2選項B：若1a<1b，則a>b>0或選項C：令a=3>1=b，c=-3>-5=d，則ac=-9<-5=bd．判斷錯誤；選項D：若2a-b>1，則a-b>0，則故選：BC3．[多選](2022·山東青島·高一期中)對實數a，b，c，下列說法正確的是(

)A．若a<b，則a-c<b-c B．若a2<C．若a≠0,b≠0,ac2<bc2,【答案】AD【分析】由不等式的性質可判斷A；取特值可判斷B，C；作差判斷D．【解析】對于A，若a<b，則a-c<b-c，故A正確；對于B，若a=-2,b=-3，a2<b2，則a3對于C，若a=-2,b=2,c=1，滿足ac2<bc2對于D，a2+b故D正確．故選：AD．4．(2022·遼寧·建平縣實驗中學高一階段練習)(1)若-3<a<b<2，求a-b的取值范圍；(2)已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范圍．【答案】(1)-5,0；(2)-2,10【分析】(1)根據不等式的性質計算可得．(2)設3a-2b=m(a+b)+n(a-b)，整理后利用系數相等求得a與【解析】(1)因為-3<a<b<2，即-3<a<2，-3<b<2，所以-2<-b<3，所以-5<a-b<5，又a<b，所以-5<a-b<0，即a-b∈-5,0(2)設3a-2∴m+n=3m-n=-2，解得m=12∵1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，∴12≤1則3a-2∴3a-2b的取值范圍是必會題型二：利用基本不等式求函數和代數式的最值1．(2022·北京市昌平區前鋒學校高一期中)已知fx＝x+4x+1+2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用均值不等式求解即可．【解析】由題意，x>-1，故x+1>0，根據均值不等式，fx當且僅當(x+1)＝4x+1故fx的最小值是5故選：D2．(2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中)已知a>b>0，那么a2+1bA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式可求得ba-b≤a【解析】∵a>b>0，∴a-b>0，∴ba-b∴a2+1ba-b≥a2+4a∴a2+故選：B．3．(2022·海南·海口中學高一期中)當x<-1時，則x2+3x+6x+1【答案】-3【分析】對代數式形式進行化簡，得到基本不等式形式，根據基本不等式，得到答案．【解析】由題意，x<-1，故x+1<0,-x-1>0y＝≤-2＝當且僅當-x-1＝4-x-1故答案為：-34．(2022·浙江·高一期中)若0<a<2，則a2-a+【答案】5【分析】將a2-a+12a【解析】因為0<a<2，所以4-2a>0，(4-2所以a＝＝-1+當且僅當4-2a2a故答案為：545．(2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中)已知正實數a,b滿足：ab=a+4b+5．(1)求ab的最小值；(2)求a+b的最小值．【答案】(1)25(2)11【分析】(1)利用均值不等式可得ab=a+4b+5≥4ab+5(2)轉化原式為a=4b+5b-1【解析】(1)正實數a,b,ab=a+4令t=ab，則t2解得t≤-1(舍)或t≥5，即ab當且僅當a=4b,即a=10,b=52取得∴ab的最小值為25(2)由ab=a+4b+5得ab-1由正實數a,b，得4a+b=b+當且僅當b-1=3,b=4取得“=”∴a+b的最小值為11．必會題型三：應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值1．(2023·四川資陽·模擬預測)已知a，b均為正數，且1a+2b＝12A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】根據“1”的變形技巧及均值不等式求解即可．【解析】因為a，b均為正數，且1a所以2a+b當且僅當ba＝4故選：B2．(2022·安徽·碭山中學高三階段練習)若正實數x，y滿足2x+y＝xy，則x+2y(

A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9【答案】B【分析】根據條件將2x+y＝xy化為2y+【解析】由2x+y＝xy則x+2y當且僅當x＝故x+2y有最小值9故選：B．3．(2022·四川成都·高二期中)已知a>0，b>0，且1a+1b=1，則當【答案】3【分析】變換得到4a+9【解析】4a+9當9ba=4ab，即故答案為：34．(2022·上海市松江二中高一期中)已知x∈0,12，則2【答案】25【分析】先判斷2x+9【解析】因為x∈0,12，所以1-2x>0，2x+91-2x＝2x+91-2x2x+1-2x＝故答案為：255．(2022·上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高一期中)已知a>0，b>0，a+b＝2(1)求1a(2)求a+1+【答案】(1)2(2)10【分析】(1)首先根據a+b＝2，可得a2(2)首先先將原式平方，然后利用基本不等式求解最大值即可．【解析】(1)∵a>0，b>0，a+b＝∴a∴1當且僅當ba＝a∴1a+(2)a+1+當且僅當a+1＝b+2，即a＝∴a+1故a+1+b+2的最大值為必會題型四：含有多個變量的條件最值及恒成立問題1．(2022·江蘇省奔牛高級中學高一階段練習)實數a，b，c滿足a+b>0，b>0，a2-ab+2b2A．-2 B．1 C．34 D．【答案】B【分析】利用因式分式法，結合分式的運算性質、基本不等式進行求解即可．【解析】∵a2-ab+2∵a+b>0，b>0，∴==a+b當且僅當a+bb=4∴cab+b故選：B2．(2022·江蘇·星海實驗中學高一期中)若正實數x，y，z滿足4xyz＝x+yy+z，則x+y+zA．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用等式變形構造基本不等式即可得所求得最大值【解析】由正實數x，y，z滿足4所以4即2≥所以x+y+z≤4當x＝所以x+y+z最大值為：4故選：C．3．[多選](2022·江蘇省揚中高級中學高一期中)已知正實數a,b,c滿足a2-ab+4b2-c＝A．a＝2b BC．2a+1b-6c【答案】AC【分析】由c＝a2-ab+4b2，代入cab用基本不等式求得最小值，得結論a＝2b判斷A，此處條件代入已知得【解析】∵正實數a,b,c滿足a2∴cab＝a2-ab+4b2a＝2b時，c2a+1b-6c＝1b+1b故選：AC．4．(2022·江蘇南通·高一期中)若不等式n2-n(λ+1)+7?λ，對一切n∈N*恒成立，則實數λA．λ?3 B．λ?4 C．2?λ?3 D．3?λ?4【答案】A【分析】采用分離常數法，易得λ≤n2-n+7【解析】∵不等式n2-n(λ+1)+7?λ對一切∴n2-n+7?λ(n+1)∴λ?n2-n+7而n2-n+7n+1當且僅當n+1＝9n+1，即n故選：A5．(2022·上海·華師大二附中高一期中)已知正實數x、y滿足xy＝(1)求xy的最小值，并求取最小值時x、y的值；(2)若x+aya>0的最小值為9，求a【答案】(1)8，x＝2(2)2【分析】(1)利用基本不等式求最小值即可；(2)利用基本不等式得到x+ay≥1+2a+22a【解析】(1)xy＝2x+y≥22xy，即xy≥22xy，解得xy≥8，當且僅當2x＝yxy＝2(2)由xy＝2x+y得2y+1x＝1，則x+ay＝x+ay2y+1當a＝2時，xy＝2x+y2xy＝所以a＝必會題型五：基本不等式綜合問題1．(2022·遼寧·高三期中)若正實數x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為(

)A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由x+2y+xy=7，得y=7-xx+2【解析】因為x＋2y＋xy＝7，所以y=7-x所以x+y=x+7-x因為x>0，則x+2>0所以9x+2當且僅當9x+2=x+2，即x＝1，y＝所以x＋y的最小值為3．故選：D2．[多選](2022·陜西·西安南開高級中學高一期中)下列命題中，正確的是(

)①若x<0，則x+1x≤-2；②若x>1③若x>0，則x3+1x≥2x；A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【分析】結合基本不等式、差比較法、不等式的性質等知識確定正確答案．【解析】①，x<0,x+1當且僅當-x＝1-x②，x>1,x-1>0，x+1當且僅當x-1＝1x-1③，x>0,x當x＝1時等號成立，所以x3④，a>b，如2>-2，則12>-1故選：ABC3．(2022·上海·高一專題練習)若x>0，y>0，且x+y≤4，則下列不等式中恒成立的是()A．1x+y≤14 B．1x+【答案】B【分析】根據不等式的性質及基本不等式可判斷A、C項，對于D舉出反例即可，通過“1”的代換，可證明B項．【解析】因為x>0，y>0，所以x+y>0，又x+y≤4，所以，1x+y-14=根據基本不等式，xy≤x+y2≤2，當x=y令x=y=2，則1xy=1對于B項，x+y≤4，則x+y4則1x+1y≥1x+故選：B．4．[多選](2022·山東濟南·高一期中)若正實數a，b滿足a+b＝1，則下列說法正確的是(A．a+b最大值為2 B．aC．ab最小值為14 D．1a+2b【答案】ABD【分析】對A，B，C選項，結合基本不等式進行求最值即可；D選項將等式構造變形為133a+3【解析】對A選項：由a>0,b>0，a+b＝1≥(當且僅當a＝b＝對B選項；a2當且僅當a＝b＝對C選項；因為a>0,b>0，1＝a+b≥2當且僅當a＝b＝對D選項；因為a>0,b>0，a+b＝所以1＝1當且僅當a＝b＝故選：ABD．5．[多選](2021·江西省遂川中學高一階段練習)下列結論中，所有正確的結論是(

)A．若x<-3，則函數y＝x+B．若xy>0，2x+3y＝4xy，則2x+yC．若x>0，y>0，x+y+xy＝8，則xyD．若x>2，y>-2，x+2y＝2，則1【答案】BC【分析】A選項，由x<-3，則x+3<0，將y＝B選項，xy>0，并且2x+3y＝4xy，所以x>0,y>0，并且2y+3x＝4，等式化“1”，然后利用基本不等式，C選項，由x>0，y>0，x+y+xy＝8，以及x+y≥2xy，構造出關于【解析】選項A：由x<-3，則x+3<0，又y＝≤-2(-x-3)?當且僅當x＝-4時等號成立，故選項B：xy>0，并且2x+3所以x>0,y>0，并且2y則2≥14(8+2即x＝3+3選項C：由x，y∈(0,+∞)，x+y+xy＝即xy+2解得0<當且僅當x＝y＝2時，有最大值選項D：若x>2，y>-2，x+2y則(x-2)+(2y+4)所以1＝1≥1當且僅當2y+4＝x-2故選：BC．6．(2022·浙江杭州·高一期中)已知a，b為正實數且a+b＝(1)求a+b(2)求1a+(3)求(1-a【答案】(1)2(2)3+2(3)9【分析】(1)利用不等式2a(2)根據基本不等式“1”的用法，將小問中分母與a+b＝(3)根據a+b＝1化簡式子，再根據不等式【解析】(1)a當且僅當a＝b(2)1＝當且僅當a＝3-32(3)(1-＝當且僅當a＝b7．(2022·廣東·深圳外國語學校致遠高中高一階段練習)為加強“疫情防控”，某校決定在學校門口借助一側原有墻體，建造一間墻高為4米，底面積為32平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應急室，由于此應急室后背靠墻，無需建造費用，某公司給出的報價為：應急室正面和側面報價均為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，設應急室的左右兩側的長度均為x米1≤x≤6，公司整體報價為y元．(1)試求y關于x的函數解析式；(2)公司應如何設計應急室正面和兩側的長度，可以使學校的建造費用最低，并求出此最低費用．【答案】(1)y=1600(2)正面長度為8米,兩側長度為4米,建造費用最低,最低20000元．【分析】(1)首先得到正面長度為32x米，根據題意寫出總價y(2