《數陣圖與數字謎》練習題（含答案）

你還記得嗎

【復習1】把1?5這五個數填入右圖中的。里，使每條直線上的三個數之和相等.

分析：（1+2+3+4+5）+重疊數=每條直線上三數之和X2,所以，每條直線上三數之

和=（15+重疊數）+2.

因為每條直線上的三數之和是整數，所以“15+重疊數”只能是偶數，重疊數

只可能是1,3或5.

若“重疊數”=1,則兩條直線上三數之和為（15+1）+2=8。填法見下圖（1）;

若“重疊數”=3,則兩條直線上三數之和為（15+3）+2=9。填法見下圖（2）；

若“重疊數”=5,則兩條直線上三數之和為（15+5）+2=10。填法見下圖（3）.

【復習2］將1?7這七個數分別填入右圖的O里，使得每條直線上三個數之和與每個

圓圈上的三個數之和都相等.

分析：所有的數都是重疊數，中心數重疊兩次，其它數重疊一次.所以三條邊及兩個

圓周上的所有數之和為：（1+2+…+7）x2+中心數=56+中心數.

因為每條邊及每個圓周上的三數之和都相等，所以這個和應該是5的倍數，再由

中心數在1至7之間，所以中心數是4.每條邊及每個圓周上的三數之和等于（56+4）2

=12.中心數是4,每邊其余兩數之和是12?4=8,兩數之和是8的有1,7；2,6；3,5.

于是得到右下圖的填法.

【復習3】在右圖所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢

字表示不同的數字。如果：巧+解+數+字+謎=30,那么“數字謎”所代表

的三位數是多少？

分析：還是先看個位，5個“謎”相加的結果個位還是等于“謎”，“隧”

必定是5（0顯然可以排除）；接著看十位，四個“字”相加再加上進位

2,結果尾數還是“字”，那說明“字”只能是6；再看百位，三個“數”

相加再加上進位2,結果尾數還是“數”，“數”可能是4或9；再看千位，

（1）如果“數”為4,兩個“解”相加再加上進位1,結果尾數還是“解”，那說明“解”

只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6與“字”等于6重復，不能；

（2）如果“數”為9,兩個“解”相加再加上進位2,結果尾數還是“解”，那說明“解”

只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以.所以“數字謎”代表的三位數是965.

數陣圖

數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣.幻方是特殊的數

陣圖，一般地，將九個不同的數填在3X3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二

條對角線上的三數之和均相等，這樣的3X3的數陣陣列稱為三階幻方.n階幻方的定義與

三階幻方相仿！

【例1】（1）將九個數填入下圖（1）的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條對角

線上的三個數之和都等于定數k,則中心方格中的數必為V.請你說明理由！

3

（2）將九個數填入下圖（2）的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都

相等，則一定有：6=3業.請你說明理由！

2

（3）將九個數填入下圖（3）的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都

相等，則一定有：.請你說明理由！

(1)(2)(3)

分析：（1）因為每行的三數之和都等于k,共有三行，所以九個數之和等于3k.如右

下圖所示，經過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個數之和都等于k,四條虛

線上的所有數之和等于4k,其中只有中心方格中的數是“重疊數”，九個數各被計算

一次后，它又被重復計算了三次.所以有：九數之和+中心方格中的數X3=4k,

3k+中心方格中的數XR=4k,中心方格中的數=與

3

（2）和=3e,a+e+b=和=3e,所以a+b=2e,即得：e="+"

2

（3）設中心數為d.每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于3d.由

C2d-b

此可得右圖，那么有：c+（2d-b）=a+（2d-c）,由此可得：c=—.da

2

值得注意的是，這個結論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數，b2d-c

也可以是分數、小數；可以相同，也可以不同.

【鞏固】在右圖的空格中填入七個自然數，使得每一行、每一列及每一條對角線上的

三個數之和都等于90.

分析：中心數為90+3=30；右上角的數為（23+57）+2=40,

其它數依次可填（見右下圖）.

【鞏固】在下圖的每個空格中填入個自然數，使得每一行、每一列及每條對角線上的三

個數之和都相等.

分析：右下角的數為（84-10）4-2=9,中心數為（5+9）+2=7,且每行、

每列、每條對角線上的三數之和都等于7X3=21.由此可得右下圖

的填法.

【鞏固】圖中3X3的正方形的每一個方格內的字母都代表一個數，已知其每行、每列

以及兩條對角線上三個數之和都相等.若f=19,g=96.那么b是多少？

分析：我們知道:g=（b+f）+2,易得b=173.

【例2】在右圖的每個空格中，填入不大于12且互不相同的八個自然數，使得每行、O

每列、每條對角線上的三個數之和都等于21.—

分析：中央一數必定是214-3=7.從而一條對角線為8,7,6.另兩個角上的數，和匚

為14=2+12=3+11=4+10=5+9,不難驗證只有3、11與4、10兩種符合要求.于是

填法有：

【鞏固】在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數（其中已填好

一個數），使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數之和都等于21.

【例3】將1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3X3的方格內，使其構成一個幻方.

分析：（法1）：易得中心數為9,然后將剩余那么其余8個數分為4組，每組兩個數

(1)(2)

【拓展】在圖中所示方格表的每個方格內填入一個恰當的字母；可使每行、每列及ABCD

兩條對角線上4個方格中字母都是A、B、C、D,那么標有“*”的方格內應填的字

母是什么？C

分析：考慮含A和*的對角線上的元素.第二行第二個元素與C同行，因此不是C,*

第三行第三個元素與C同列，因此也不是C,所以火代表的元素必為C.

【鞏固】在右圖的每個方格中填入一個數字，使得每行、每列以及每條對角線上的方

格中的四個數字都是L2,3,4.

分析：如下圖所示，受列及對角線的限制，a

處只能填L從而b處填3；進而推知c處填

4,d處填3,e處填4,……右下圖為填好后

的數陣圖.

【例5】右圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環標志.請將1?9分別填

入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環內的數字之和都相等.

分析：設每個圓內的數字之和為k,則五個圓內的數字之和是5k,它等于1?9的和45,再

加上兩兩重疊處的四個數之和.而兩兩重疊處的四個數之和最小是1+2+3+4=10,最大

是6+7+8+9=30,所以，5K45+30=75且5k%5+10=55,HPll<k<15.

當k=lL13,14時可得四種填法（見下圖），k=12,15時無解.

【前鋪】將1?11填入左下圖的。內，使每條虛線上的三數之和都等于18.

分析：設中心數為a,由五條虛線上的數字之和得到5x18=

(1+2+…+11)+4a,解得a=6.填數方法如下圖.

【例6】將1?7這七個自然數分別填入右圖的七個。內，使得三個大圓周上的四

個數之和都等于定數，指出這個定數所有的可能取值，并給出定數為13時的一種

填法.

分析：設每個大圓周上的四個數之和為k(即題中的定數).圖中有一個O屬于三

個大圓公有，有三個。各屬于兩個大圓公有.設屬于三個大圓公有的。內的數為w,

屬于兩個大圓公有的三個。內的數字之和為V.

將三個大圓上的數字和相加，得到：3k=l+2+3+4+5+6+7+v+2w=28+v+

2w,因為v+2w最小為11(w=Lv=2+3+4),最大為29(w=7,v=6+5+4),

分別代入上式，解得13Wk419,即定數可以取13至19之間的整數.本題是k=

13的情況，此時w=Lv=2+3+4,填法見右下圖.

【例7】在右圖所示立方體的八個頂點上標出1-9中的八個，使得每個面上四個頂

點所標數字之和都等于k,并且k不能被未標出的數整除.

分析：標出的八個數是每面四個數和的2倍，是偶數，1?9和為45,因此未標出的

數是一個奇數，在L3,5,7,9中選一個數，并使余下八個數之和的一半不能被這

個數整除，依此可知未標出的數是7?

下面用余下的8個數填圖，每面四個數和為：(45-7)+2=19.如果已知某一面上

四個數和為19.那么與其平行的面上四數和也必為19.因此我們只考慮有公共頂點的

三個面即可,下面我們考慮以9為公共頂點的三個面.由于8,9不公面，因此8在頂

點9的對頂點上，有公共點9的三個面上，每面其余三個數和為10,且每兩個面有一

個公共頂點,由此試驗易得三個面上的數分別為：(6,3,1),(5,4,1),(3,2,5),

填圖如右下圖.

數字謎

【例8】將。?9中的8個不同的數字分別用a、b、c、d、e、f、g、h替換.在替換規則

下：gXg=db,gXc=bd,gXf=ef,ag+b=eh,如上面4個式子中，“+”、“K”、

“二與平常算術中相應的符號意義相同，而且也是十進位制.在這種替換規則下，的

數值等于.

分析：由gXg-d〃知，g>4.

若g=4,d=l,與gXc=，是偶數矛盾;

若g=5,則d=2,b=5,與gKb矛盾;

若g=6,則d=3,b=6,與gHb矛盾;

一，.3

若g=7,則d=4,b=9,由gXc=bd=94,得到c=4+7=13,也不合題意；

一3

若g=8,則d=6,b=4,由gXc=bd46,得到c=46-r8=5—,仍不合題意;

4

若g=9,則d=8,b=L由gXc=bd=18,得到c=18+9=2,再由gX

f=ef,f=5,e=4,再由Qg+/?=e〃，得a=e-l=3.所以cax?=23x4=92.

【例9】在下面的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數

字.請把下面漢字算式翻譯成數字算式.

香港回歸答：□□□□

+華人愛港+口□□口

華人回港游口口口口口

分析：首先“華”=L由于“人華”，故“人”只能是0.從百位看出.百位沒有向千位進位，

即有“香”=9.

看百位，知“回”比“港”大1;再看十位，可知“愛『8,并且個位要向十位進位，即“歸”+“港”=10

+“游”.

因為“游￥0，1＞知“游’22,即“歸”十“港212.又“歸*8,9,知“歸”￡7,從而“港”N5.同

樣，“歸”也不小于5,并且由于“回”比“港”大1,知“歸”、“港”、“回”應該是5,6,7(次

序未確定).容易驗證，只有“歸”=7,“港”=5,“回”=6符合條件，此時“游”=2,即算式為：

9567+1085=10652.

【鞏固】在下面的算式中，漢字“第、十、一、屆、華、杯、賽”代表

1,2,3,第十一屆

4,5,6,7,8,9中的7個數字，不同的漢字代表不同的數字，恰使得加法算式

成立.貝卜第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個數字的和等于多少？十華杯賽

2006

分析：根據加法規則，“第”=1.“屆”+“賽”=6或“屆”+“賽”=16.

若“屆”+“賽”=6,只能是“屆”、“賽”分別等于2或4,此時“一叫■“杯”=10只能是“一”、“杯”

分別為3或7.此時“十”+“華”=9,“十”、“華”分別只能取(1,8),(2,7),(3,6),(4,

5).但1,2,3,4均已被取用，不能再取.所以，“屆”+“賽”=6填不出來，只能是

“屆”+“賽”=16.這時“屆”、“賽”只能分別取9和7.這時只能是“一”+“杯"+1=10,且“十”

+“華”+1=10,也就是“一”+“杯”=9,同時“十”+“華”=9.所以它們可以分別在(3,6),(4,

5)兩組中取值.

因此“第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個數字的和等于1+9+9+16=35.

【例10】在右面的口內，各填一個合適的數字，使算式成立.

分析：從被乘數個位上的口里填什么數字入手及豎式中口乂6二()4,是本題的突

破口.這里有兩種情況：4X6=24或9X6=54,都可使口又6=()4成立.也就是

說，被乘數個位上的數字可能是4,也可能是9.

先考慮被乘數個位上的數字是9的可能性,因為在乘數十位上找不出任何數字與

9相乘得“整十數”，所以被乘數個位上的數字不可能是9.

如果被乘數個位上的數字是4,很容易推出乘數十位上的數字應是5,才能與4

相乘得“整十數”.

由被乘數乘以乘數十位上的5得270,也很容易推出被乘數十位上的數字是5,

進而可推出其它各數字.

【鞏固】在口內填入適當的數字，使下列乘法豎式成立：

(1)(2)(3)□□口

□7□□□□X□□口

X□□X口96606

□8口7547口□口

□□□口5□□口4404

口0□口□□□□□□□□□□□□

分析：(1)17X64=1088；(2)5283X39=206037；

(3)734X619=454346,被乘數是6606和4404的三位數的公約數.

【例11】□內填入適當的數字，使下列豎式成立，并使商盡可能小:

口6口□6a

口口)口口口3口切口口口3口

□□□'□□□

□□□□□3

□□□□□d

口5口口5口

□□口□□口

0

分析：由右式知d=8,所以c=3或&當a=2時，由bcXa=C5n,推出c不等于3,所以c=8,

故推出b=7;因為除數是兩位數，它與商的各個數位的乘積都是三位數，所以商的最小可能

值為262。

【鞏固】右式中不同的漢字代表1?9中不同的數字，當算式成立時，“中國”這兩中國

個漢字所代表的兩位數最大是多少？新北京

+新奧運

分析：顯然，“新”=9?因為要使“中國”盡量大，所以可以假定"中”=8.因為十2008

位加法（含個位加法進位）等于20,所以“北+奧”在1?7中的取值有三種可能：7,5；7,

4；6,5.再考慮到“國+京+運”的個位數是8,經試算，只有“北”、“奧”等于7,5,

“國”、“京”、“運”等于1,3,4.“國”取1,3,4中最大的4,得到“中國”最大

是84.

附加題目

【附1】求任一列、任一行以及兩條對角線上的三個數之和都等于267的三階質數幻方.

分析：在3X3的方格中，如果要求填入九個互不相同的質數，要求任一行、任一列

以及兩條對角線上的三個數之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質數幻方.中間

方格中的數為267+3=89.由于在兩條對角線、中間一行及中間一列這四組數中，每

組的二個數中都有89,所以每組的其余兩數之和必為26789=178.兩個質數之和為

178的共有六組：5+173=114-167=294-149=41+137=47+131=71+107.

經試驗，可得右圖所示的三階質數幻方.

【附2】將自然數1?11填入下圖的11個。中，使得每條直線（共10條）上的三個數字之

和都相等.

分析：左下角的數屬于5條直線共有，對角線上中間的數屬于4條直線共有，其余數只屬

于2條或3條直線，所以左下角的數和對角線上中間的數處于特殊地位，應當首先確定這

兩個數以及每條直線上三數之和.

設每條直線上三數之和為k.

由圖（1）中5條實線上所有數字之和，可列方程：5k=（l+2+…+ll）+4a，即I』；"；

因為k是整數，所以a只能取L6或11；

再由圖（2）中四條實線上所有數字之和，可列方程：4k=（l+2=??+ll）+a,即攵二竺上凹.

4

得到a只能取2,6或10.綜合以上討論知a=6,k=18.

在圖（3）中的5條實線中，只有b屬于3條實線共有.注意到這5條實線上的數字沒

有6,在剩下的十個數字中，三個數的和等于18的共有以下八組：3+4+11；1+8+9；1

+7+10；3+5+10；2+7+9；2+5+11；3+7+8；4+5

+9,其中同時出現在三個算式中的數只有3和9,所以b只可能是3或9,此時c等于9

或3.由同時含有3的三個算式知，若b=3,c=9,則d,e只能取4,11或5,10或7,8,

由于每條直線上的三個數之和為18,且c=9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能

取7,8.由此可得左下圖中的答案.

同理，若b=9,c=3,則可得右下圖的另一答案..

[附3]右圖中大三角形被分成九個小三角形，大三角形的每條邊都與其中五個

小三角形有公共點，試將1?9九個自然數分別填入這九個小三角形內，使得每條

邊上的五個小三角形內的數字之和都相等.問這個和最小值是多少？最大值是多

少？

分析：1?9和為45.設3個只屬于一條邊的數的和為匕

則每條邊上五個數和為：(45X2-k)+3=30-'h

3

K最小時，取k=l+2+3=6,一邊上的和為：30-iX6=28；

3

K最大時，取k=7+8+9=24,一邊上的和為：30—X24=22,因此這個和最大為28,最小為

3

22.

【附4】在1?13這十三個自然數中選十二個填在圖中的空格內，使每橫行四數

之和相等，每數列三數之和相等.

分析：由和的整除性質，首先確定使用哪十二個數填圖.由于每橫行四數之和相

等.每豎行三數之和相等知十二個數之和既是3的倍數也是4的倍數，因此是12的倍數,

由此可知不用填圖的數字是7,所選十二個數和為：Kl+13)XI34-2]-7=84,每橫行四個

數和為：84+3:28,每豎行三個數和為：84+4:21.由于豎行和為21,因此可知1,2,3,

4在不同豎行，而5只能跟3或4在同一豎行，由此可確定豎行分組有如下兩種情況：(1,

8,12),(2,9,10),(3,5,13),(4,6,11)或(1,9,11),(2,6,13),(3,8,10),

(4,5,12).再根據橫行和為28,易得如下結果：

110134113104

89569685

122311112312

新年好

X□口

新口口屋

一口□□口

【附5】右面算式(1)中，相同的漢字表示相同的數,不同的漢字表示不同的數，

2003年

其中“新”>4.清補殘缺的數字，那么“新年好”代表的數字是.

新年好691

X29

分析：“新年好”代表的數字是691.如右下式，“新”26219

新[J年1382

一定小于7,否則A是2大了，是1又小了.不論“新”，i□□□

~~20039

是5或6,由于乘法第一行首位是“新”，一定有B=9.如果2003^

(3)

“新”:5,第二行百位是4,A無合適的值，因此“新”=6,而A=2.“年”27,

對7,8,9三數算一下可知，只有“年”=9合適，如式(3)所示.

6口口

【附6】右面式中每個口表示一個數字，那么乘積是.X口□口

□□□

□□□□

分析：如右下式，顯然E=L由而XC二口5口5知，B、C中一個是5,另一□5□5

nn5n4□

個是奇數.若C=5,乘積的百位不可能是5,所以B=5.因為B=5,所以G=5

或0.若G=5,則F=9,從而A=9,即6AB=695,但695XC不可能得到6A0

XCD￡

TTFC

口5口5,不合題意；若Q0,則F=4,從而A=4,即證§=645,□□□?

J5□5_

由645XC=D5D5,得到C=7.因為B=5,G=0,所以D是偶數.

由^§乂而二645乂751=口口5口4口，得D=2,

原算式為645X721=465045.

練習

1.在左下