第四講立體圖形的體積

內(nèi)容概述

★★★正方體：我們也可以稱其為立方體，它是一種特殊的長方體，它的六個(gè)面都

是正方形.如果它的棱長為a,那么可得：

正方體的表面積：S正方體=6a?：0

正方體的體積：V正方體二a3.

★★★長方體：若長方體的長、寬、高分別為a、b、c,那么可得:

長方體的表面積：S長方體=2(ab+bc+ac)；

長方體的體積：V長方體=^^.

★★★圓柱體：如右圖，圓柱體的底面是圓，其半徑為r；圓柱體的側(cè)面展開圖是一個(gè)長

方形，長方形的寬相當(dāng)于圓柱體的高，長相當(dāng)于圓柱體的底面周長；

圓柱體的表面積：S圓柱體=側(cè)面積+2個(gè)底面積=2五rh+2冗廣

圓柱體的體積：V圓柱體=底面積x高=IT1h

★★★圓錐體：如右圖，圓錐體的底面是圓，其半徑為!■；圓錐體的側(cè)面展開圖是一個(gè)

扇形；

1,

圓錐體的體積：V圓錐體=一h

4

★★★球體：V球體=一元「

3

例題精講

類型I：進(jìn)行立體圖形的體積計(jì)算時(shí)，許多時(shí)候我們是可以通過分析直接利用公式求得結(jié)果。

【例1】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水(如下圖所示)，請你根

據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是________cn?。

分析：由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為7—5=2cm,從而水雪里智的用力由

圖I知水的體積為10X4=40,所以總的容積為40+2X（2+1）=60立方厘米。

【例2】一個(gè)木盒從外面量長1（）厘米，寬8厘米，高5厘米，木板厚度1厘米，那么這個(gè)盒子的容積是

多少立方厘米？

分析：（10-2）X（8-2）X（5-2）=144（立方厘米）。

【例3】有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水.甲杯中沉

沒著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，旦乙杯中的水未外

溢.問：這時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米？

分析：兩個(gè)圓柱直徑的比是1：2,所以底面面積的比是1：4.鐵塊在兩個(gè)杯中排開的水的體積相同，所

以乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的土（注意此條件?：乙杯中的水未外溢，如果溢出我們就

不能這樣計(jì)算了），即：2x1=0.5（厘米）.注意運(yùn)用比例解決問題。

【例4】一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個(gè)底面半徑

為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放人容器中.求這時(shí)容器的水深是多少厘米？

分析：法1：若圓柱體部分浸入水中，則水深為：。17.86,17.86大于鐵圓柱得高度17,

7TX5'-7rx2~

這與我們得假設(shè)不符，所以圓柱體完全浸入水中，那么參看法2的解法即得答案。法2：若圓柱體能完全

浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：

52X^X15+22X^,X17

----------------二17.72（厘米）.它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中，而且小于20

厘米，顯然水也未溢出.于是所求的水深便是17.72厘米.在這個(gè)題目中存在一個(gè)判斷圓柱體是被水完

全浸沒，還是部分被浸沒，以及水是否溢出的過程，請教師注意引導(dǎo)學(xué)生。

【例5】如圖，在一個(gè)立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一人長方體的洞在上下側(cè)面的中

心打通一個(gè)圓柱形的洞，已知立方體邊長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正

方形,上下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的體積（取萬=3）.

分析：體積為：心一2義42乂10+43-乃><娉）？X（10-4）=672（立方厘米）.

【例6】在底面是邊長為60厘米的正方形的一個(gè)長方體容器里，直立著一個(gè)高100厘米，底面為邊長15

厘米的正方形的四棱柱鐵棍，這時(shí)容器里的水深50厘米。現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出

水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？

分析：容器里的水共有（60X6075X15）X50.當(dāng)把鐵棍提起24厘米時(shí),鐵棍仍浸濕在水中的部分長是：

f（60X60-15X15）X50-60X60X24]4-（60X60T5X15）=24.4（厘米）,所以露出水面的浸濕部分長是:

50-24.4=25.6（厘米）。

類型II：在進(jìn)行立體圖形的體積計(jì)算時(shí)，我們還可以結(jié)合棱長、表面積的特性等求得結(jié)果。

【例7】某工人用薄木板釘成一個(gè)長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條（如圖所

示）在三個(gè)方向上的加固.所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米.若

每個(gè)尼龍加固時(shí)接頭重疊都是5厘米.問這個(gè)長方體包裝箱的體積是多少立方米？

分析：從圖可使長＞寬＞高，所以長方體中有：（1）高+寬（365-5）=180,

⑵高+長丹（405—5）=200,⑶長+寬丹（485—5）=240,解得長=13（）,寬=110,高=7（）；

長方體體積為:70X110X130=1001000（立方厘米）=1.00方立方米）。

【例8】一個(gè)長方體的寬和高相等，并且都等于長的一半（如圖）.將這個(gè)長方體切成（（（

12個(gè)小長方體，這些小長方體的表面之和為600平方分米.求這個(gè)大長方體的體積.二二二二,

分析：設(shè)大長方體的寬（高）為a分米，則長為2a,右（左）面積為具余面的面枳為

2/,根據(jù)題意，2X2a2+8a2+6X2“2=600,所以‘J:贊=25,a=5,大長方體的體積=2X5X5X5=250（立

方分米）.

【例9】一個(gè)長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長方體的長、寬、高是以厘米為單位

的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)。問這個(gè)長方體的體積是多少？

分析：我們不妨設(shè)正對我們的那個(gè)面的面積是長義高，那么有長X寬+長X高=長X（寬+高）=209.

209=11X19,19=2+17,所以長方體的長、寬、高為11、2、17或11、17、2,由此可得體積為11X2X17=374

（立方厘米）。

類型III：進(jìn)行立體圖形的體積計(jì)算時(shí)，題目中沒有直接給出立體圖形，需要我們自己構(gòu)造而

后計(jì)算。

A._______.B

【例10】如右圖中的長方形ABCD,以BC為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，試求這個(gè)幾

何體的體積。（JT取3）8

分析：旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱體，其高為8,底面積為：nX42,那么體積等于384。我們還可以

聯(lián)想到以一個(gè)直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周可以得到圓錐，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周可以04C

得到兩個(gè)圓錐的疊加（類似陀螺）；以一個(gè)半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周可以得到一個(gè)球體。教師可在此添加

幾個(gè)題目鞏固聯(lián)系基本公式。

【例11】張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤.今年改用長3米寬

2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤.問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍？

分析：今年張大爺用長3米寬2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形，有兩種做法，（1）把長3米看作

［附I］如下面圖1那樣，在用塑料制的三棱柱形的筒里裝著水,這個(gè)筒的展開圖如下面圖2.現(xiàn)在，如圖1

那樣，把這個(gè)筒的A面作為底面,放在水平的桌面上,水面高度是2cm.按上面講的條件回答卜.列問題：

8面

工面

12陰

（1）把8面作為底面,放在水平的桌面上,水面高多少厘米？

⑵把C面（直角三角形的面）作為底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？

分析：以A面作為底面時(shí)，水的體積為：（3+3/2）X24-2X12=54（立方厘米）。（1）把B面作為底面時(shí).，

由于以A為底面時(shí)，有水的部分占其縱橫面（底邊為3厘米的三角形）面積的3/4,而以B為底面時(shí)，縱

截面與上述縱截面相同，故以4厘米的邊為底邊，有水部分仍占其面積的3/4,因此水面高度為截面三角

形高度的一半，即為1.5厘米；（2）以C面為底面時(shí)。水的高度為：544-（1/2X3X4）=9（厘米）。

【附2】用直徑為20厘米的惻柱形鋼材，鍛造長300厘米,寬100厘米.厚S厘米的長方形鋼板.應(yīng)截取

圓柱形鋼材多長？（丸取3）

分析：500厘米。

【附3】一個(gè)底面為正方形的長方體木塊被鋸掉一部分，變成如右圖所示的六面體ABCD-EFGH,股、

其中最長的邊DH=8厘米，最短的邊AB二BC二CDRA=BF=4厘米，那么這個(gè)六面體的體積是多少/

立方厘米？

布一

分析：42.這個(gè)六面體的體積是長4厘米，寬，1厘米，高12厘米的長方體體積的一半，即

4X4X12+2=96（立方厘米）.

［附4］某工廠原用長4米、寬1米的鐵皮圍成沒有底

和頂?shù)恼襟w形狀的產(chǎn)品存放處（底和頂另用別的材II

料），恰好夠存放一周的產(chǎn)品.現(xiàn)在產(chǎn)量增加了27%,|||||

問：能否還用原來的鐵皮圍成存放處，裝下現(xiàn)在一周的4米

產(chǎn)品？

4

分析：將此鐵皮沿長4米的邊卷起成圓柱面.圓柱底面的圓周長為4米，因而半徑為天.由于高為1米,

圓柱體積為：V=/rx（言/xl=1=3J44274（立方米）.現(xiàn)在（圓柱）的體枳和原來（正方體）的體積之比是:

T^1.274=127.4%,即體積增加了127.4%—100%=27.4%.現(xiàn)在產(chǎn)量增加了27%,仍能裝下。

【附5】（第八屆迎春杯數(shù)學(xué)競賽決賽）一個(gè)長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體.現(xiàn)從

它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體.然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體.最后再從第二次

剩余的部分盡可能大的切下一個(gè)正方體.剩下的體積是多少平方厘米？

分析：本題的關(guān)鍵在于確定三次切下的正方體的棱長.由于21：15：12=7：5：4,為方便起見.我們先考

慮長、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長方體.因?yàn)?>5>4,容易知道第一次切下的正方體棱長應(yīng)

該是4厘米（如圖）.第二次比時(shí)，切下棱長為3厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，

切下棱長為2厘米的正方體符合要求.剩下的體積應(yīng)是：21X15X12-

（123+93+63）=1107（平方厘米）.這個(gè)題目的思路我們可以參看附7。

【附6】如右圖，是一個(gè)長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)

油桶（接頭處忽略不計(jì)），求這個(gè)油桶的容積。（”取3.14）

分析：圓的直徑為：16.56+（1+3.14）=4（m）,而油桶的高為2個(gè)直徑長,即

為：4X2=8（m）,故體積為100.48立方米。

1.一個(gè)長方體的各條校長的和是48厘米，并且它的長是寬的2倍，高與寬相等，那么這個(gè)長方體的體積

是立方厘米.

解答：依題意，這個(gè)長方體的長、寬、高之和是48+4=12（厘米）,于是它的寬與高都等于12+（2+1+1）=3（厘

米），它的長是3義2二6厘米.所以這個(gè)長方體的體積是6X3X3=54（立方厘米）.

2.如右圖，有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位

是厘米.那么，圓錐體積與圓柱體積的比是多少？

解答：圓錐的體積是」x22x4x;r=S;r,,圓柱的體積是4、8乂乃二128乃.

33

所以，圓錐體積與圓柱體積的比是3萬：1287r=1:24.

3

3.在樓長為3cm的正方體木塊的每個(gè)面的中心上打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長為

1cm的正方形（見右圖）。求挖洞后木塊的體積。

解答：3-l2X3X3+2Xl3=20cm3o

4.如圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2

厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方FB.............■

厘米？?nn

解答：容器的底面積是：（13—4）義（9-4）=45（平方厘米），高為2厘米，所.............J

以容器的體積是：45X2=90（立方厘米）.------13-----H

5.一個(gè)圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是

72平方厘米.在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長6厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊.這時(shí)水面高多少厘米?

解答：把放入鐵塊后的玻璃杯看作一個(gè)底面如右圖的新容器，底面積是：72-6X6-36（T

方厘米），水的體積是：72X2.5=180（立方厘米），后來水面的高為：180+36=5（厘米）.

6.用一塊長30厘米，寬20厘米的長方形鐵皮做圓柱形容器的側(cè)面，再用另一塊鐵皮做底，問怎樣做才

能使這個(gè)圓柱形容器的容積為最大？

分析：若以長方形的長為高時(shí)，容器的底面半徑為：20?2.片3（厘米），

71

容器的容積為：萬x（3）2x20=%（立方厘米）；

71兀

若以長方形的寬為高時(shí)，容器的底面半徑為：30+2片身（厘米），