(1)掌握計算中常用的計算結論；

(2)能快速準確的觀察出計算中的數字規律并運用換元法計算。

【特殊多位數的實用結論】

【其他常用結論】

1、HL..lxllll=123'.n321[n<9]

“個?〃個i

2、抉8數乘以9的倍數可以得到“清一色〃：

a)12345679x9=111111111

b)I2345679X18=222222222

c)12345679x27=333333333

d)12345679x36=444444444

e)12345679x45=555555555

f)12345679x54=666666666

g)12345679x63=777777777

h)12345679x72=888888888

i)12345679x81=999999999

4、特殊平方數：

=999999999x999999999

1..9

5、-=().142857-=0.285714....

77

如右圖所示：?-----------

換元法一一解數學題時，杷某個式子看成一個整體，用另一個曷去代替它，從而使問題得到簡化，這叫

換元法.換元的實質是轉化，將復雜的式子化繁為簡.

-ffl渭筋

(1)培養學生運用轉化思想利用特殊規律解題簡化解題過程;

(2)培養學生觀察數字規律及特點，運用換元法簡化解題過程。

〃工初題溺楨

一、重要結論應用

【例1】2007x20062006-2006x20072007=.

【穩固】計算：2011x201220122()122012—2012x2011201120112011

2000個人2000

一…―2000+20002000+???20002000-??2000

［穩固】計算：---------------------------------------

2001+20012001+…20012001…2001

2001個2001

［例2］■!■化成小數后，小數點后面第2007位上的數字為

7

【穩固】巳化成小數后，小數點后假設干位數字和為1992,問戶.

7

［例3］X(l+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+D的結果等于自然數的平方.

112I3I4I5卜6+5!4I3I211

【穩固】計算:

6666x6666

二、換元法

［例5］計算:(1+1%(>%》一(1+梟嗎+》

【穩固】W：(1+l+l+l)x(i+l+l+l)-(l+l+l+-L4)x(i+l+l)

23423452345234

【例6】計算:

1

992349910023499

【穩固】計算：(0.1+0.21+0.321+0.4321)x(0.21+0.3214-0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

i+L+-L1

【例7】計算:

220072(X)822008

1±U±___11

【穩固】計算：—+—+—+++++—+—+—

11213141J(21314151213141

【例8】計算

12391239

-+—+-+???+----+—+—+—+?0?+----"+2+..Jx

234102341023103410；

(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=—

【穩固】。

[例9]計算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

621739458739458378)621739458378、，739458

【穩固】計算:-----1-----H-----X----H------1----------------------------F----------1-----------X----H-----

126358947358947207)126358947207J358947

1993x1994-1

?例1()1計算：1993+1992x1994

20102

【穩固】計算:

2009x2011+1

1、計算:9999x20072007-2008x88888888

66x6666x3232-32x6666x6666

2、計算:

2011

llll)x(14ll)-(lllll)x(ill)

3、計算:(+++++++++++

5791179111357911137911

11111,111111111

4、計算:14444―+-+—+一+一1+-4--+-4--+-X

234523456234562345

2008+2009x2007

5、計算:

2008x2009-1

SIS??

1、計算下面的算式:(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

73473

2、計算:-+—+-X32+17

12321732171312321713J

111x2323-101x2553

3、計算:

201『+20122

4、計算:11111111xllllllll-(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)

20112x2010+2x2012

計算:

20113+2-2011x2009

生初題需圖

一、整數裂項

【例1】計算：1X3+2X4+3X5+4X6+---+99X101

【穩固】計算：3x5+5x74-7x9+.-+97x99+99x101

【例2】計算10x16x22+16x22x28+,+70x76x82+76x82x88

【例3】計算1x1+2x2+3x34-.......4-99x99+100x100

【用棗固】3x3x3+4x4x4+???+79x79x79

【例4】計算：1x1x1+2x2x2+3x3x34-.■?+99x99x99+l(X)xl(X)xl(X)

【木急固】3+(3+6)+(3+6+9)++(3+6+—+300)

二、分數裂和

［例5］填空：-=-+(),—=-+(),—=-+()

62'，1232()4'，

U」+()，U,+()，3、()

305426567

_52__±11.11L5-IZ19

【穩固】計算:-6+T2-2()+30-42+56-72+96

365791113

【穩固】—+—+—+-4--+—+

57612203042

1325721011+收=

【例6】計算:+++++++

3457820212435

2379111725

【穩固】-+-+—+—+—+—

3571220283042

35496377911051

【穩固】q—

61220304256’8

I212+2212+22+3212+22+32+42124-224-,,,+262

【穩固】----------------+......................------------------------

I313+2313+23+3313+23+33+4313+23+...4-263

1、1x4+4x7+7x10++49x52=

。”行?579II13151719

仃鼻：1—+----------+----------+-----------+—

612203042567290

GL成今

叵皚襁盥糜

(1)掌握循環小數化分數的根本方法與規律；

(2)在計算中能靈活運用循環小數化分數的方法進行簡便運算。

物閡跟胸隨

【根本概念】

純小數一一整數局部是零的小數。

循環小數一一從小數點后某一位開始不斷地重復出現前一個或一節數字的十進制無限小數。

循環小數有以下兩類類：混循環小數、純循環小數。

混循環小數一一循環節不是從小數局部第一位開始的循環小數。

純循環小數一一循環節從小數局部第一位開始的循環小數。

【根本方法】

(1)純循環小數化分數：這個分數的分子等于一個循環節所組成的數，分母由9構成，9的個數等

于一個循環節中的位數。

(2)混循環小數化分數:這個分數的分子是第二個循環節以前的小數局部組成的數與小數局部

中不循環局部組成的數的差；分母的頭幾位數是9,末幾位是0,9的個數與一個循環節中的

位數相同，0的個數與不循環局部的位數相同。

重點：循環小數化分數的根本方法與規律：

苑點：靈活運用循環小數化分數的規律進行運算。

〃二MS?

一、分數拆分

1111111

1r4/c9r1l1llI—10=(-----)------0----------0----=(-------I--1---0-----(--1---)-----

【穩固】在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立.

【例2】如果—L.=_L—A8均為正整數，那么8最大是多少？

2009AB

【穩固】假設」一=■!"+■!"，其中a、b都是四位數，且avb,那么滿足上述條件的所有數對(a,b)是哪

2004ab

些？

二、純循環小數化分數

［例3】把純循環小數化分數：

(1)0.6(2)3.i02

【穩固】把純循環小數化成分數

(1)0.216(2)4.i23

三、混循環小數化分數

［例4】把混循環小數化分數。

⑴0.2i5(2)6.353

【穩固】把混循環小數化成分數。

(I)0.276(2)7.42

四、循環小數的四那么運算與周期運算

循環小數化成分數后，循環小數的四那么運算就可以按分數四那么運算法那么進行。從這種意義上

來講，循環小數的四那么運算和有限小數四那么運算一樣，也是分數的四那么運算。

［例5］計算下面各題：

.(1)2.45+3.13(2)2.609-1.32⑶43x2.4(4)1.244-0.3

【穩固】⑴0.54+036=；

(2)(2006年第四屆“希望杯”六年級第1試)1.2x1.24+蘭=

27。

【例6】計算下面各題。

(I)0.6+------!------(2)1.25x0.3+1.25x1+1.25x0.6

八之，13

⑶0.14+0.25+0.36+0.47+0.58

【穩固】(1)(0.15+0.218)X0.3XU；⑵(2.234—0.98)+11(結果表示成循環小數)。

［例7】將循環小數0.027與017967。相乘，取近似值，要求保存一百位小數，那么該近似值的最后

一位小數是多少？

【穩固】計算(32-3”bU(結果表示為循環小數)。

V9990099990)9901

【例8】其分數一化為小數后，如果從小數點后第一位的數字開始連續假設干個數字之和是1992,那

7

么a是多少？

【穩固】期和」一化成循環小數后第100位上的數字之和是。

2009287

【例9】某學生將1.28乘以一個數。時，把1.23誤看成1.23,使乘積比正確結果減少0.3.那么正確結果

該是多少？

【例10】設a,b,c是0?9的數字1允許相同)，將循環小數0/a?化成最簡分數后，分子有多少種不

同情況？

【穩固】分母為1996的所有最簡分數之和是o

[例11]將純循環小數0."化為最簡單分數時，分子與分母之和為19,求。和〃(。和〃上面都帶小

數點的)。

【穩固】純循環小數0c寫成最簡分數時，分子和分母的和是58,那么三位數次=

1、計算(1)0.29i-0.192+0.375+0.526(2)0.330x0.186

??25.2413

2、有8個數，0.51,—二,0.51是其中6個,如果按從小到大的順序排列時，第4個數是0.51,

394725

那么按從大到小排列時，第4個數是哪一個數？

3、計算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

4、真分數幺化成小數后，如果小數點后連續2004個數字之和是8684,那么。可能等于多少？

27

(

1、在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立.

⑴_LJ+_LJ+-LJ+-L--L；

>02020()()I；)()()()()()

io()()

2、計算：0.1+0.125+0.3+0.16(結果保存三位小數)。

3、計算：o.oi+0.12+0.28+0.34+???+0.7*+???+0.89

4、算式i+_L+_L+L+_L+_L+_L+_L+_L+_L的計算結果，小數點后第2023位是數字幾?

2345678910

5、真分數0化成循環小數之后，從小數點后第1位起假設千位數字之和是9039,那么a是多少？

7

6、所有分母小于30并且分母是質數的真分數相加，和是。

(1)靈活運用平方和、立方和公式進行計算；

(2)了解等比數列：

(3)靈活運用等比數列求和公式進行計算。

物闔既給幼

【根本概念】

等比數列一一如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，這個數

列就叫做等比數列(geometrieprogression)?這個常數叫做等比數列的公比(commonratio),

公比通常用字母4表示SHO)。注：片1時，a〃為常數列。

【常用公式】

1、產+2?+3?+...+/型12；

6

2、13+23+33+.-?+/?-=(1+2+34-..+”1Jx(〃+D-；

3、1+3+5+7++(2〃-1)=1+2+3+?+(〃-+〃+1)++3+2+1=〃？；

4、等比數列求和公式：〔I〕S,=%q°++…+的—=一D(初)；

q-i

〔2〕S.=%g°++…+aqa="用").1)。

i-q

5、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)：

6、完全平方公式：(〃+/?『=〃'+2H?+〃，=a--2ab+b2；

用文字表述為：兩數和(或差)的平方，等于這兩個數的平方和，加上(或者減去)這兩個數的積的2倍，

兩條公式也可以合寫在一起：(〃土力了=/±2a》+/.為便于記憶，可形象的表達為：“首平方，尾

平方.2倍灰積在中央〃.

(1)平方和、立方和公式的靈活運用；

(2)等比數列公式的靈活運用。

恒俊)題溺楨

【例11](1)(31415926)2-31415925x31415927=；

(2)12342+87662+2468x8766=.

【木惠固】2009x2009-2008x2(X)8=

【例12】有一串數1,4,9,16,25,36……它們是按一定規律排列的，那么其中第199。個數與第

1991個數相差多少？

【穩固】a、〃代表任意數字，假設3+勿x(〃-8)=axa-"x〃，這個公式在數學上稱為平萬差公式.根

據公式，你來巧算以下各題吧.

(1)98x102(2)67x73(3)64x28(4)2x29x3x31

【例13】計算：(31415926『-31415925x31415927=

【穩固】1234?+87662+2468x8766=.

【例14】計算：2004x2003-2003x2002+2002x2001-2001x2000++2x1=。

【，急固】計算：2012x201l—20Ux2010+2010x2009—2009x2008+--+2xl

【例15】計算：2,+26x3+25x3?+24x3,+23x3,+22x35+2x36+3’的值。(3,=2187,38=6561,

3°=19683,3,0=59C49,27=128,2s=256,29=512,2|0=1024)

【不急固】計算：37+4x36+42x35+43x34+44x33+45x32+46x3+47

【例16】對自然數a和〃,規定=例如3X72=32+3=12,那么:

(1)1V2+2V2+3V2++99V2=:

(2)2V1+2V2+2V3+...+2V99=.

【穩固】看規律13=12,13+23=32,13+23+33=62……,試求6，+73,++143

【例17】計算：1x3+2x44-3x5+9x11

【穩固】計算：1x3+3x5+5x7+7x9+9x11+11x13+13x15

【例18]計算：11x29+12x28++19x21=.

【穩固】計算：1x99+2x98+3x97++49x51=.

【例19】計算：1x99+2x97+3x95++50x1

【矛總固】計算：1x49+2x47+3x45++25x1=.

【例20】計算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5+--+8x9x10

【矛急固】計算：1x3x54-3x5x7+5x7x9+.--+21x23x25

【例10】計算：100x100—99x99+98x98—97x97+…+2x2—1x1

【穩固】計算：50x50-49x49+48x48-47x47+??-+2x2-lxl

■

、32014x503-503x2010+2006x501-501x2002+---+6x1-1x2

1、計算：-----------------------------------------------------------------

4

2、計算：I3-23+33-43+53-63+73-83+93-103+113

3、計算：50x504-49x51+48x52+47x53+46x54=

4、計算：2X4X6+4X6X8+6X8X10H--1-50x52x54

5、計算5^76+5^75+5^74+5^73+5,^72+5,1x7

I

I、37x37+2x63x37+63x63=。

2、計算：2x4+4x6+6x8+8x10+…+24x26

3、計算：20x20-19x19+18x18-17x17++2x2-1x1.

4、計算：1x69+2x67+3x65+…+35x1

5、計算：56x36+57x38+58x3,°+59x312+510x314

(1)靈活運用平方和、立方和公式進行計算;

(2)了解等比數列；

(3)靈活運用等比數列求和公式進行計算。

朝澳繪曲

【根本概念】

等比數列一一如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，這個數

列就叫做等比數列（geometricprogression）。這個常數叫做等比數列的公比（commonratio）,

公比通常用字母g表示SW（））。注：干1時，a〃為常數列。

［常用公式】

(1)12+22+32+..+〃2=江上也@刊

6

n2x(〃+1)2

13+23+33+.+/=(1+2+3++〃『=

4

(3)1+3+5+7++(2〃—I)=1+2+3+-+("—1)+/?+(〃—1)++3+2+1=〃~；

(4)等比數列求和公式：（1）S”=牝。+“+.?.+@T）31）：

。一1

⑵5一"+%"..+〃小=^2(利。

(5)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

(6)完全平方公式：（a+〃）~=/+2a〃+。2,（a-b）2=a~-2ab+b1；

用文字表述為：兩數和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和，力口上（或者減去）這兩個數的積的2

倍,兩條公式也可以合寫在一起：（。±〃）2=/±2岫+/.為便于記憶，可形象的表達為：“首平

方，尾平方，2倍乘積在中央”.

IS83箴

(1)平方和、立方和公式的靈活運用;

等比數列公式的靈活運用。

【例21】計算：12+22+32+--+1002

【穩固】計算：12+22+32+--+502

【例22】計算：13+23+33+---+505

【穩固】計算：13+23+33+-+100

【例23］計算：22+42+62+---+202

【穩固】計算：32+6z+92+…+8/

【例24】計算：23+43+63+83+.--+20

【穩固】計算：33+63+93+--+813

【例25】計算；I2+32+52+---+291

【穩固】計算：13+33+53+73+...+493

【例26］計算：1+2+4+8+16+32+64+???+1024

【穩固】計算：3+6+12