小學奧數幾何專題--立體圖形（六年級）競賽測試

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題型選擇題填空題簡答題XX題XX題XX題總分

得分

評卷人得分一、XX題

（每空XX分，共XX分）

【題文】如圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8,寬為3,高為2的小長方體，那么新的幾何

體的表面積是多少？

□

【答案】600

【解析】我們從三個方向（前后、左右、上下）考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10D106D600

?

【題文】右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長I厘

米的正方體，做成一種玩具.它的表面積是多少平方厘米？（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體

）

□

【答案】120

【解析】原正方體的表面積是4口4口6口96（平方厘米）.每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時

又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分.總的來看，每一個面都增加了4個邊

長是1厘米的正方形.

從而，它的表面積是：96口4口6口120平方厘米.

【題文】在一個棱長為50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩

下的立體圖形的表面積是多少？

【答案】15000

【解析】對于和長方體相關的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個方向考慮.變化前后的表面

積不變：50口506口15000（平方厘米）.

【題文】下圖是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體

小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為口厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個

相同為口厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？

□

【答案】口

【解析】我們仍然從3個方向考慮.平行于上下表面的各面面積之和：2口22口8（平方厘米）；左右方向、

前后方向：22416（平方厘米），1144（平方厘米），口41（平方厘米），口4（平方厘米），這個立體圖形的表面

積為：口口41（平方厘米）.

【題文】一個正方體木塊，棱長是1米，沿著水平方向將它鋸成2片，每片又鋸成3長條.每條又鋸成4

小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那么這24塊長方體的表面積之和是多少？

□

【答案】18

【解析】鋸一次增加兩個面，鋸的總次數轉化為增加的面數的公式為：鋸的總次數口2口增加的面數.

原正方體表面積：1166（平方米），一共鋸了（2口1）口（31）（41）6次，

6112618（平方米）.

【題文】一個表面積為□的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是多少平方厘米

?

□

【答案】168平方厘米

【解析】每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積.所以每個方向切兩刀后，表

面積增加到原來的3倍，即表面積的和為口.

【題文】如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少？

□

【答案】54

【解析】當小積木互相重合的面最多時表面積最小.

設想27塊邊長為1的正方形積木，當拼成一個口的正方體時，表面積最小，現在要去掉2塊小積木，只有

在兩個角上各去掉一塊小積木，或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木時，表面積不會增加，該幾何體表面積

為54.

【題文】要把12件同樣的長a、寬b、高h的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，該

如何打包？

⑴當bL]2h時，如何打包？

⑵當bL]2h時，如何打包？

⑶當bL]2h時，如何打包？

【答案】如解析圖

【解析】圖2和圖3正面的面積相同，側面面積口正面周長□長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大，

圖2的正面周長是8hL]6b,圖3的周長是12hL]4b.兩者的周長之差為2（bD2h）.

當bE]2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當bEJ2h時，按圖2打包；當bLl2h時，按圖3打包.

□

【題文】要把6件同樣的長17、寬7、高3的長方體物品拼裝成一件大的長方體，表面積最小是多少？

【答案】1034

【解析】考慮所有的包裝方法，因為6口1口2口3,所以一共有兩種拼接方式：

第一種按長寬高116拼接，重疊面有三種選擇，共3種包裝方法.

第二種按長寬高123拼接，有3個長方體并列方向的重疊面有三種選擇，有2個長方體并列方向的重疊面

剩下2種選擇，一共有6種包裝方法.

其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為1034.

□

【題文】如圖，在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小正方體，求這個立體圖形的表面

積.

□

【答案】214

【解析】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發現：小正方體的上面與

大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個立體圖形的表面積就可以分成這

樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方體的四個側面，大正方

體的四個側面.上下方向：口（平方分米）；側面：口（平方分米），口（平方分米）.這個立體怪形的表面積

為：□（平方分米）.

【題文】如圖，棱長分別為口厘米、口厘米、口厘米、口厘米的四個正方體緊貼在一起，則所得到的多面

體的表面積是多少平方厘米？

□

【答案】194平方厘米

【解析】（法1）四個正方體的表面積之和為：口（平方厘米），

重疊部分的面積為：口（平方厘米），

所以，所得到的多面體的表面積為：□（平方厘米）.

（法2）三視圖法.從前后面觀察到的面積為二平方厘米，從左右兩個面觀察到的面積為口平方厘米，從上下

能觀察到的面積為□平方厘米.

表面積為□（平方厘米）.

【題文】把19個棱長為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.，求這個立體圖

形的表面積.

□

【答案】54

【解析】從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示.因此，這個立體圖形的表面積為：2個

上面口個左面口個前面.上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為：

10平方厘米.因此，這個立體圖形的總表面積為：□（平方厘米）.

□口□

上下面左右面前后面

【題文】用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？

□

【答案】46平方厘米

【解析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成.

該圖形的表面積等于口個小正方形的面積，所以該圖形表面積為46平方厘米.

【題文】有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色.求被涂

成紅色的表面積.

□

【答案】56

【解析】□（平方米）.

【題文】棱長是□厘米（□為整數）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長是1厘米的小正方

當長方體的長、寬、高都大于1時，有兩個面涂上紅色的小正方體是去掉8個頂點所在的小正方體后12條

棱上剩余的小正方體，因為有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，所以長方體的長、寬、高之和是

□.由于三個數的和一定，差越大積越小，為了使小正方體的個數盡量少，應該令口，此時共有口個小正

方體.

因為口，所以至少要把這個大長方體分割成108個小正方體.

【地文】把正方體的六個表面都劃分成9個相等的正方形.用紅、黃、藍三種顏色去染這些小正方形，要

求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個？

□

【答案】22

【解析】一個面最多有5個方格可染成紅色（見左下圖）.因為染有5個紅色方格的面不能柜鄰，可以相

對，所以至多有兩個面可以染成5個紅色方格.

□

其余四個面中，每個面的四個角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個紅色方格（見上中國）.因為染

有4個紅色方格的面也不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染成4個紅色方格.最后剩下兩個相

對的面，每個面最多可以染2個紅色方格（見右上圖）.所以，紅色方格最多有口（個）.

（另解）事實上上述的解法并不嚴密，“如果最初的假設并沒有兩個相對的有5個紅色方格的面，是否其

他的四個面上可以出現更多的紅色方格呢？”這種解法回避了這個問題，如果我們從約束染色方格數的本

質原因入手，可嚴格說明口是紅色方格數的最大值.

對于同一個平面上的格網，如果按照國際象棋棋盤的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成紅色,但

是現在需要染色的是一個正方體的表面，因此在分析問題時應該兼顧棱、角等面與面相交的地方：

□□□

（1）（2）（3）

⑴如圖，每個角上三個方向的3個方格必須染成不同的三種顏色，所以8個角上最多只能有8個方格染成

紅色.

⑵如圖，陰影部分是首尾相接由口個方格組成的環，這9個方格中只能有口個方格能染成同一種顏色（如果

有5個方格染同一種顏色，必然出現相鄰，可以用抽屜原理反證之：先去掉一個白格，剩下的然后兩兩相

鄰的分成四個抽屜，必然有一個抽屜中有兩個紅色方格），像這樣的環，在正方體表面最多能找到不重疊

的兩道（關于正方體中心對稱的兩道），涉及的口個方格中最多能有口個可染成紅色.

⑶剩下口個方格，分布在□條棱上，這口個格子中只能有□個能染成紅色.

綜上所述，能被染成紅色的方格最多能有□個格子能染成紅色，第一種解法中已經給出口個紅方格的染色

方法，所以□個格子染成紅色是最多的情況.

【題文】一個長、寬、高分別為口厘米、□厘米、口厘米的長方形.現從它的上面盡可能大的切下一個正方

體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正

方體，剩下的體積是多少立方厘米？

【答案】1107

【解析】本題的關鍵是確定三次切下的正方體的棱長.由于口，為了方便起見.我們先考慮長、寬、高分別

為口厘米、口厘米、口厘米的長方體.

因為口，容易知道第一次切下的正方體棱長應該是口厘米，第二次切時，切下棱長為口厘米的正方體符合

要求.第三次切時，切下棱長為口厘米的正方體符合要求.

那么對于原長方體來說，三次切下的正方體的棱長分別是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的體積應是

:□（立方厘米）.

□

【題文】有黑白兩種顏色的正方體積木，把它擺成右圖所示的形狀，已知相鄰（有公共面）的積木顏色不同，

標口的為黑色，圖中共有黑色積木多少塊？

□

【答案】17

【解析】分層來看，如下圖（切面平行于紙面）共有黑色積木17決.

□□□

【題文】有許多相同的立方體，每個立方體的六個面上都寫著同一個數字（不同的立方體可以寫相同的數字

）先將寫著2的立方體與寫著1的立方體的三個面相鄰，再將寫著3的立方體寫著2的立方體相鄰（見左下

圖）.依這樣構成右下圖所示的立方體，它的六個面上的所有數字之和是多少？

□

【答案】216

【解析】第一層如下圖，第二層、第三層依次比上面一層每格都多1（見下圖）.

□

上面的9個數之和是27,由對稱性知，上面、前面、右面的所有數之和都是27.同理，下面的9個數之和

是45,下面,左面、后面的所有數之和都是45.所以六個面上所有數之和是口.

【題文】如圖所示，一個口的立方體，在一個方向上開有口的孔，在另一個方向上開有口的孔，在第三個

方向上開有□的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？

□

【答案】100；204

【解析】求體積：

開了口的孔，挖去口，開了口的孔，

挖去口；開了口的孔，

挖去口，

剩余部分的體積是：口.

（另解）將整個圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個切片分別如圖：

□□

得到總體積為：□.

求表面積：

表面積可以看成外部和內部兩部分.外部的表面積為口，內部的面積可以分為前

后、左右、上下三個方向，面積分別為口、

口、□,所以總的表面積為

□.

（另解）運用類似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露正方形個數：

前后方向：口

上下方向：口左右方向：口

□□□

總表面積為口.

總結：“切片法”：全面打洞（例如本題，五層一樣），挖塊成線（例如本題，在前一層的基礎二，一條線一

條線地挖），這里體現的思想方法是：化整為零，有序思考！

【題文】如圖，原來的大正方體是由口個小正方體所構成的.其中有些小正方體已經被挖除.圖中涂黑色

的部分就是貫穿整個大正方體的挖除部分.請問剩下的部分共有多少個小正方體？

□

【答案】72

【解析】對于這一類從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數I【題文】一個由125個同樣的

小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，右圖

就是抽空的狀態.右圖中剩下的小正方體有多少個？

□

【答案】73

【解析】解法一：（用“容斥原理”來解）由正面圖形抽出的小正方體有口個，由側面圖形抽出的小正方體

有□個，由底面圖形抽出的小正方體有口?個，正面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有口個.正面圖形

和底面圖形重合抽出的小正方體有口個，底面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有口個，三個面的圖形

共同重合抽出的小正方體有4個.根據容斥原理，口，所以共抽出了52個小正方體.口，所以右圖中剩下

的小正方體有73個.

注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事.

但你可以先構造空的兩個方向上共同部分的模型，再由第三個方向來穿過“花墻”.

這里，化虛為實的思想方法很重要.

解法二：（用“切片法”來解）

可以從上到下切五層，得：

⑴從上到下五層，如圖：

□

⑵或者，從右到左五片，如圖：

□

請注意這里的挖空的技巧是：先認一種方向.

比如：從上到下的每一層，首先都應該有第一層的空四塊的情況，即一

如果挖第二層：第⑴步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：

□

第⑵步，把從右向左的兩塊成線地挖走.（請注意挖通的效果就是成線挖去），如圖：

□

第⑶步，把從前向后的一塊（請注意跟第二層有關的只是一塊！）挖成線！如圖：

□

【題文】右圖中的（1X2X3）⑷是同樣的小等邊三角形，（5）⑹也是等邊三角形且邊長為⑴的2倍，（7M8X9X10）是

同樣的等腰直角三角形，儲）是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻（9川0川1）為平面展開圖的立體圖形的體積是以⑴⑵

⑶⑷為平面展開圖的立體圖形體積的多少倍.

□□

【答案】16

【解析】本題中的兩個圖都是立體圖形的平面展開圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖：

□□

其中左圖是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形，是一個四個面都是正三角形的正四面體，右圖以⑸⑹⑺

⑻⑼(10)(11)為平面展開圖的立體圖形，是一個不規則圖形，底面是01),四個側面是⑺⑻⑼(10),兩個斜面是⑸

(6).

對干這兩個立體圖形的體積，可以采用套模法來求，也就是對于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們

熟悉的基本立體圖形來套，看看它們與基本立體圖形相比,缺少了哪些部分.

由于左圖四個面都是正三角形，右圖底面是正方形，側面是等腰直角三角形.想到都用正方體來套.

對干左圖來說，相當于由一個正方體切去4個角后得到(如下左圖，切去口、口、口、口)；而對于右圖來

說，相當于由一個正方體切去2個角后得到(如下右圖，切去口、口).

□□

假設左圖中的立方體的棱長為口，右圖中的立方體的棱長為口，則以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形的

體積為：口，

以⑸(6)(7)(8)(9)(10)(11)為平面展開圖的立體圖形的體積為口.

由于右圖中的立方體的棱長即是題中正方形E)的邊長，而左圖中的立方體的每一個面的對角線恰好是正三

角形⑴的邊長，通過將等腰直角三角形⑺分成4個相同的小等腰直角三角形可以得到右圖中的立方體的棱

長是左圖中的立方體的棱長的2倍，即二I.

那么以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形的體積與以⑸(6)⑺⑻⑼(10)(11)為平面展開圖的立體圖形的體積的比

為：口，也就是說以⑸⑹⑺⑻(9K10K11)為平面展開圖的立體圖形的體積是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖

形體積的16倍.

【題文】圖⑴和圖⑵是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開圖，圖中所有的邊長都相同,請問：

圖⑴能圍起來的立體圖形的體積是圖⑵能圍起來的立體圖形的體積的幾倍？

□□

圖⑴圖⑵

【答案】20

【解析】首先，我們把展開圖折成立體圖形，見下列示意圖：

□□

圖⑴圖⑵

對干這類題目，一般采用“套模法”，即用一個我們熟悉的基本立體圖形來套，這樣做基于兩點考慮，一

是如果有類似的模型，可以直接應用其計算公式；二是如果可以補上一塊或者放到某個模型里面，那么可

以從這個模型入手.

我們把圖⑴中的立體圖形切成兩半，再轉一轉，正好放進去！我們看到圖⑴與圖⑶的圖形位置的微妙關系

□□

圖

⑶圖⑷

由圖⑷可見，圖⑴這個立體的體積與圖⑶這個被切去了8個角后的立體圖形的體積相等.

假設立方體的1條邊的長度是1.那么一個角的體積是口，所以切掉8個角后的體積是口.

再看圖⑵中的正四面體，這個正四面體的棱長與圖⑶中的每一條實線線段相等，所以應該用邊長為口的立

方體來套.如果把圖⑵的立體圖形放入邊長為的立方體里的話是可以放進去的.

□

這是切去了四個角后的圖形，從上面的分析可知一個角的體積為口，所以圖⑵的體積是：口，那么前者的

體積是后者的口倍.

【題文】如圖，用高都是口米，底面半徑分別為口米、□米和口米的□個圓柱組成一個物體.問這個物體

的表面積是多少平方米？（口取口）

□□

【答案】32.97

【解析】從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為口（立方米），側面積為口（立方米），所以該物體

的表面積是口（立方米）.

【題文】有一個圓柱體的零件，高口厘米，底面直徑是二厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是匚厘米，孔深口厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空勺的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平

方厘米？

□

【答案】307.72

【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側面積之和，為

□（平方厘米）.

【題文】圓柱體的側面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形,那么這個圓柱體的體積是

多少立方厘米.（結果用口表示）

【答案】口立方厘米或口立方厘米

【解析】當圓柱的高是12厘米時體積為口（立方厘米）

當圓柱的高是12厘米時體積為口（立方厘米）.所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米.

【題文】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求

這個油桶的容積.（口）

□

【答案】100.48

【解析】圓的直徑為：□（米），而油桶的高為2個直徑長，即為：口，故體積為□立方米.

【題文】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱

體的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（口）

□

【答案】2056

【解析】做成的圓柱體的側面是由中間的長方形卷成的，可見這個長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則

剪下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：口（厘米），

原來的長方形的面積為：口（平方厘米）.

【題文】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少口平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【答案】25.12

【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2

厘米圓柱體的側面積，所以原來圓柱體的底面周長為口厘米，底面半徑為口厘米，所以原來的圓柱體的體

積是口（立方厘米）.

【題文】一個圓柱體的體積是口立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再截

開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（口）

□□

【答案】16

【解析】從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個側面面

積與原來圓柱體的側面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側面的面積.

（法1）這兩個側面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑.

可知，圓柱體的高為口（厘米），所以增加的表面積為口（平方厘米）；

（法2）根據長方體的體積公式推導.增加的兩個面是長方體的側面，側面面積與長方體的長的乘積就是長方

體的體積.由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為口立方厘米，而拼成的長方體的長等于圓柱體底面

周長的一半，為口厘米，所以側面長方形的面積為口平方厘米，所以增加的表面積為□平方厘米.

【題文】一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數據可推知瓶子的容積是多少立方厘米.

（口取口）

□

【答案】100.48

【解析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的

水構成高為口厘米的圓柱，空氣部分構成高為匚厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容

積為：口（立方厘米）.

【題文】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為口立方厘米.當瓶子正放

時，瓶內的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內酒精的體積是多少立

方厘米？合多少升？

□

【答案】62.172立方厘米，合0.062172升

【解析】由題意，液體的體積是不變的，瓶內空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分

體積的口倍.所以酒精的體積為□立方厘米，而□立方厘米口毫升口升.

【題文】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為二平方厘米，（如下圖所示），請你根據圖中標

明的數據，計算瓶子的容積是多少立方厘米？

□□

【答案】60

【解析】由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為口,從而水與空著的部分的比為口，由圖1知水的

體積為口，所以總的容積為口立方厘米.

【題文】一個盛有水的圓柱形容器，底面內半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個底面半徑

為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這時容器的水深是多少厘米？

【答案】17.72

【解析】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應等于原有水的體積與圓柱體在水中體

積之和，因而水深為：□（厘米）.

它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是口厘米.

【題文】有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水.甲杯中沉沒

著一鐵塊，當取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢

.問：這時乙杯中的水位上升了多少厘米？

【答案】0.5

【解析】兩個圓柱直徑的比是口，所以底面面積的比是口.鐵塊在兩個杯中排開的水的體積相同，所以乙

杯中水升高的高度應當是甲杯中下降的高度的口，即□（厘米）.

【題文】如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的口，乙容器中水的高度是錐高的口，比較

甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？

□□

【答案】口

【解析】設圓錐容器的底面半徑為口，高為口，則甲、乙容器中水面半徑均為口，則有口，

□,口，

□,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍.

【題文】如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸

,已知薄膜的厚度為口厘米，則薄膜展開后的面積是多少平方米？

□

【答案】65.94

【解析】纏繞在一起時塑料薄膜的體積為：口（立方厘米），薄膜展開后為一個長方體，體積保持不變，而

厚度為口厘米，所以薄膜展開后的面積為

口平方厘米口平方米.

另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積.

由干展開前后薄膜的側面的面積不變，展開前為口（平方厘米），展開后為一個長方形，寬為厘米,所以長

為口厘米，所以展開后薄膜的面積為□平方厘米平方米.

【題文】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為

□毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？

□

【答案】71.4

【解析】將這卷紙展開后，它的側面可以近似的看成一個長方形，它的長度就等于面積除以寬.這里的寬

就是紙的厚度，而面積就是一個圓環的面積.

因此，紙的長度：

口（厘米）

所以，這卷紙展開后大約口米.

【題文】如圖，口是直角三角形，口、口的長分別是3和4.將口繞旋轉一周，求掃出的立體圖形的體積.

O

□□

【答案】37.68

【解析】如右上圖所示，口掃出的立體圖形是一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為3,高為4,

體積為：□.

【題文】已知直角三角形的三條辿長分別為口，口，口，分別以這三邊軸.旋轉一周，所形成的立體圖形

中，體積最小的是多少立方厘米？（口取口）

【答案】30.144

【解析】以口的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是口口，高是的圓錐體,體積為口

以□的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是口，高是口的圓隹體，體積為口

以□的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高二的兩個圓錐，高之和是口的兩個圓的組合體，

體積為口

【題文】如圖，直角三角形如果以□邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為口，以口邊為軸旋轉一

周，那么所形成的圓錐的體積為口，那么如果以口為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體的體積是多少？

□

【答案】9.6n

【解析】設口，口，那么以口邊為軸旋轉一周，所形成的圓錐的體積為口，以口邊為軸旋轉一周,那么所

形成的圓錐的體積為口，由此可得到兩條等式：

口，兩條等式相除得到口，將這條比例式再代入原來的方程中就能得到口，根據勾股定理，直角三角形的

斜邊口的長度為口，那么斜邊上的高為口.

如果以匚為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體相當于兩個底面相等的圓錐疊在一起，底面半徑為，高的和

為5,所以體積是□.

【題文】如圖，□是矩形，口，口，對角線□、口相交□.口、□分別是口與□的中點，圖中的陰影部分

以口為軸旋轉一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？（□取3）

□□

【答案】180

【解析】掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實際上是一個圓柱減去兩個圓錐后所形成的圖形.

兩個圓錐的體積之和為口（立方厘米）；

圓柱的體積為口（立方厘米），

所以白色部分掃出的體積為口（立方厘米）.

【題文】如圖，口是矩形，口，口，對角線口、口相交口,圖中的陰影部分以口為軸旋轉一周，則陰影部

分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

□

【答案】540

【解析】

□

設三角形口以口為軸旋轉一周所得到的立體圖形的體積是ZL則匚等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的

圓錐，減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積后得到.

所以，口（立方厘米），

那么陰影部分掃出的立體的體積是口（立方厘米）.

【題文】如圖，在一個正方體的兩對側面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱

形的洞.已知正方體邊長為10厘米，側面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上下底面的洞口是直徑為4

厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

□□

【答案】24n；668.64

【解析】⑴先求表面積.表面積可分為外側表面積和內側表面積.

外側為6個邊長10厘米的正方形挖去4個邊長4厘米的正方形及2個直徑4厘米的圓，所以，外側表面積

為：口（平方厘米）；

內側表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個圖形的上下兩個圓形底面和前后左右

4個正方形面I【答案】592；632；648；672

【解析】按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；

按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；

按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；

按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米.

□

【題文】一個酒瓶里面深口，底面內直徑是口，瓶里酒深口.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深口

.酒瓶的容積是多少？（口取3）

□

【答案】1500

【解析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變.

當酒瓶倒過來時酒深口，因為酒瓶深口，這樣所剩空間為高Z!的圓柱，再加上原來口高的酒即為酒瓶的容

積.酒的體積：口

瓶中剩余空間的體積口，酒瓶容積：口

【題文】如右圖所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面

涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？

□

【答案】100

【解析】該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是二平方米，從上面觀察到的面積是二平方米，由

于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是口平方米.

【題文】一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的

表面積大口，則這個圓柱體木棒的側面積是多少口.（口取口）

□

【答案】3152.56

【解析】根據題意可知，切開后表面積增加的就是兩個長方形縱切面.

設圓柱體底面半徑為口，高為口，那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大：

□,所以口，所以，圓柱體側面積為：

□.

【題文】如圖，厚度為口亳米的銅版紙被卷成一個空心圓柱（紙卷得很緊，沒有空隙），它的外直徑是180

厘米，內直徑是50厘米.這卷銅版紙的總長是多少米？

□

【答案】9388.6

【解析】卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為□（平方厘米），如果將其展開，展開后橫截面的面積不變，

形狀為一個長方形，寬為匚毫米（即口厘米），所以長為口厘米口米.所以這卷銅版紙的總長是二米.

本題也可設空心圓柱的高為口，根據展開前后銅版紙的總體積不變進行求解.其中在計算過程將會消掉.

【題文】如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長I米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每

條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊.那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米？

□

【答案】24

【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積.現在一共切了

（3口1）口（41）（51）口9刀，而原正方體一個面的面積1口11（平方米），所以表面積增加了92118（平方米）.

原來正方體的表面積為616（平方米），所以現在的這些小長方體的表積之和為618=24（平方米）.

【題文】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米

.其內有一些水，正放時水面離容器頂口厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少立

方厘米？（口）

□

【答案】1620

【解析】設圓錐的高為口厘米.由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：

□,解得口，

所以容器的容積為：口（立方厘米）.

【題文】如圖，有一個邊長為20厘米的大正方體，分別在它的再上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小

立方體后，表面積變為2454平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長是多少厘米？

□

【答案】3

【解析】大立方體的表面積是20口206口2400平方厘米.在角上挖掉一個小正方體后，外面少了3個面，但

里面又多出3個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了2個面，但里面多出4個面；在面上挖掉一個

小正方體后，外面少了1個面，但里面多出5個面.所以,最后的情況是挖掉了三個小正方體.反而多出

了6個面，可以計算出每個面的面積：（2454口2400）口6口9平方厘米，說明小正方體的棱長是3厘米.

【題文】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少口平方厘米.求這個圓柱體的

表面積是多少？

□

【答案】182.8736

【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形.高縮短口厘米，表面積就減少口

平方厘米,陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是口平方厘米，所以底面周長是口（厘米），側面

積是：口（平方厘米），兩個底面積是：口（平方厘米）.所以表面積為：口（平方厘米）.

【題文】如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容器最多能裝水多少升.

□

【答案】400

【解析】圓錐容器的底面積是現在裝水時底面積的4倍，圓錐容器的高是現在裝水時圓錐高的2倍，所以

容器容積是水的體積的8倍，即口升.

【題文】如圖，用高都是口米，底面半徑分別為口米、口米和□米的口個圓柱組成一個物體.問這個物體

的表面積是多少平方米？（口取口）

□

【答案】32.97

【解析】

□

從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為口（立方米），側面積為口（立方米），所以該物體的表面積

是口（立方米）.

【題文】有一個圓柱體的零件，高口厘米，底面直徑是二厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是匚厘米，孔深口厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空勺的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平

方厘米？

□

【答案】307.72

【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側面積之和，為

□（平方厘米）.

【題文】圓柱體的側面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這個圓柱體的體積是

多少立方厘米.（結果用口表示）

【答案】口立方厘米或口立方厘米

【解析】當圓柱的高是12厘米時體積為口（立方厘米）

當圓柱的高是12厘米時體積為口（立方厘米）.所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米.

【題文】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求

這個油桶的容積.（口）

□

【答案】100.48

【解析】圓的直徑為：□（米），而油桶的高為2個直徑長，即為：口，故體積為□立方米.

【題文】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱

體的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（口）

□

【答案】2056

【解析】做成的圓柱體的側面是由中間的長方形卷成的，可見這個長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則

剪下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：口（厘米），

原來的長方形的面積為：口（平方厘米）.

【題文】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少□平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【答案】25.12

【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2

厘米圓柱體的側面積，所以原來圓柱體的底面周長為口厘米，底面半徑為口厘米，所以原來的圓柱體的體

積是口（立方厘米）.

【題文】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少口平方厘米.求這個圓柱體的

表面積是多少？

□

【答案】182.8736

【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形.高縮短口厘米，表面積就減少口

平方厘米.陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是口平方厘米，所以底面周長是口（厘米），側面

積是：口（平方厘米），兩個底面積是：口（平方厘米）.所以表面積為：口（平方厘米）.

【題文】一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的

表面積大口，則這個圓柱體木棒的側面積是多少口？（口取口）

□

【答案】3152.56

【解析】根據題意可知，切開后表面積增加的就是兩個長方形縱切面.

設圓柱體底面半徑為口，高為口，那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大：

□,所以口，所以，圓柱體側面積為：

□.

【題文】已知圓柱體的高是匚厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了二平方

厘米，求圓柱體的體積.（口）

【答案】30

【解析】圓柱切開后表面積增加的是兩個長方形的縱切面，長方形的長等于圓柱體的高為10厘米,寬為圓

柱底面的直徑，設為口，則口，口（厘米）.圓柱體積為：口（立方厘米）.

【題文】一個圓柱體的體積是口立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再截

開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（口）

□□

【答案】16

【解析】從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個側面面

積與原來圓柱體的側面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側面的面積.

（法1）這兩個側面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑.

可知，圓柱體的高為口（厘米），所以增加的表面積為口（平方厘米）；

（法2）根據長方體的體積公式推導.增加的兩個面是長方體的側面，側面面積與長方體的長的乘積就是長方

體的體積.由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為口立方厘米，而拼成的長方體的長等于圓柱體底面

周長的一半，為口厘米，所以側面長方形的面積為口平方厘米，所以增加的表面積為口平方厘米.

【題文】輸液100毫升，每分鐘輸口毫升.如圖，請你觀察第12分鐘時圖中的數據，問：整個吊瓶的容積

是多少毫升？

□

【答案】150

【解析】100毫升的吊瓶在正放時，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算.但倒過來

后，變成圓柱體，根據標示的格子就可以算出來.

由于每分鐘輸口亳升，12分鐘已輸液口（亳升），因此開始輸液時液面應與50亳升的格線平齊，上面空的部

分是50亳升的容積.所以整個吊瓶的容積是口（亳升）.

【題文】一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數據可推知瓶子的容積是多少立方厘米.

（口取口）

□

【答案】100.48

【解析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的

水構成高為口厘米的圓柱，空氣部分構成高為匚厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容

積為：口（立方厘米）.

【題文】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為口立方厘米.當瓶子正放

時，瓶內的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內酒精的體積是多少立

方厘米？合多少升？

□

【答案】口立方厘米，0.062172升

【解析】由題意，液體的體積是不變的，瓶內空余部分的體積也是不變的,因此可知液體體積是空余部分

體積的口倍.所以酒精的體積為口立方厘米，而立方厘米口亳升口升.

【題文】一個酒瓶里面深口，底面內直徑是口，瓶里酒深口.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深口

.酒瓶的容積是多少？（□取3）

□

【答案】1500

【解析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變.

當酒瓶倒過來時酒深口，因為酒瓶深口，這樣所剩空間為高口的圓柱，再加上原來匚高的酒即為酒瓶的容

積.

酒的體積：口

瓶中剩余空間的體積口

酒瓶容積：口

【題文】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為ZJ平方厘米，（如下圖所示），請你根據圖中標

明的數據，計算瓶子的容積是多少立方厘米？

□□

【答案】60

【解析】由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為口，從而水與空著的部分的比為口，由圖1知水的

體積為口，所以總的容積為口立方厘米.

【題文】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米

.其內有一些水，正放時水面離容器頂口厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少立

方厘米？（口）

□

【答案】1620

【解析】設圓錐的高為口厘米.由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：

□,解得口，

所以容器的容積為：□（立方厘米）.

【題文】如圖,底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為5厘米的正方體木

塊，木塊浮出水面的高度是2厘米.若將木塊從容器中取出，水面將下降多少厘米？

□

【答案】1.5

【解析】在水中的木塊體積為口（立方厘米），拿出后水面下降的高度為口（厘米）

【題文】有兩個棱長為口厘米的正方體盒子，口盒中放入直徑為口厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個，口

盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個，現在口盒注滿水，把口盒的水倒入匚盒，使匚盒

也注滿水，問口盒余下的水是多少立方厘米？

【答案】0

【解析】將圓柱體分別放入匚盒、□盒后，兩個盒子的底面被圓柱體占據的部分面積相等，所以兩個盒子

的底面剩余部分面積也相等，那么兩個盒子的剩余空間的體積是相等的，也就是說「盒中裝的水恰好可以

注滿口盒而無剩余，所以□盒余下的水是0立方厘米.

【題文】蘭州來的馬師傅擅長做拉面,拉出的面條很細很細,他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團

先搓成圓柱形面棍，長口米.然后對折，拉長到米；再對折，