因數與倍數相關習題（1）

一、填空題

1.28的全部因數之和是.

2.用105個大小相同的正方形拼成一個長方形，有種不同的拼

法.

3.一個兩位數,十位數字減個位數字的差是28的因數,十位數字與個

位數字的積是24.這個兩位數是____.

4.李老師帶領一班學生去種樹，學生恰好被平均分成四個小組，總共

種樹667棵,假如師芻每人種的棵數一樣多，則這個班共有學生人.

5.兩個自然數的和是50,它們的最大公因數是5,則這兩個數的差是

6.現有梨36個,桔108個,分給若干個小摯友,要求每人所得的梨數,

桔數相等，最多可分給個小摯友，每個小摯友得梨個，桔

個.

7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不奢侈邊角料，能剪出最大的正

方形布片____塊.

8.長180厘米,寬45厘米,高18厘米的木料,能鋸成盡可能大的正方

體木塊（不余料）塊.

9.張師傅以1元錢3個蘋果的價格買蘋果若干個，又以2元錢5個蘋

果的價格將這些蘋果賣出，假如他要賺得10元錢利潤，則他必需賣出蘋果

個.

10.含有6個因數的兩位數有___個.

11.寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公因數是1,但兩兩均

不互質，請問有多少組這種解？

12.和為ini的四個自然數，它們的最大公因數最大能夠是多少？

13.狐貍和黃鼠狼進行跳動競賽，狐貍每次跳4l米，黃鼠狼每次跳2。

24

米，它們每秒鐘都只跳一次.競賽途中，從起點起先每隔12,米設有一個陷

井，當它們之中有一人掉進陷井時，另一個跳了多少米

14.已知a與人的最大公因數是12,a與c的最小公倍數是300,方與c

的最小公倍數也是300,則滿意上述條件的自然數a,6,c共有多少組

（例如：a=12、爐300、片300,與疔300、k12、廣300是不同的兩個自

然數組）

-------------------------------答案-----------------------------

答案：

1.56

28的因數有1,2;4,7,14,28,它們的和為

1+2+4+7+14+28=56.

2.4

因為105的因數有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分

別是105和1,35和3,21與5,15與7.所以能拼成4種不同的長方形.

3.64

因為28=2x2x7,所以28的因數有6個：1,2,4,7,14,28.在數字

0,1,2,…，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24,又6-4=2,8-3=5.

故符合題目要求的兩位數僅有64.

4.28

因為667=23x29,所以這班師生每人種的棵數只能是667的因

數：1,23,29,667.明顯,每人種667棵是不行能的.

當每人種29棵樹時，全班人數應是23T=22,但22不能被4整除，不行

能.

當每人種23棵樹時,全班人數應是29-1=28,且28恰好是4的倍數,符

合題目要求.

當每人種1棵樹時,全班人數應是667-1二666,但666不能被4整除,不

行能.

所以，一班共有28名學生.

5.40或20

兩個自然數的和是50,最大公因數是5,這兩個自然數可能是5和

45,15和35,它們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應填40或20.

［注］這里的關鍵是依最大公因數是5的條件，將50分拆為兩數之

和：50=5+45=15+35.

6.36,1,3.

要把梨36個、格子108個分給若干個小摯友，要求每人所得的梨數、

桔子相等，小摯友的人數肯定是36的因數，又要是108的因數，即肯定

是36和108的公因數.因為要求最多可分給多少個小摯友，可知小摯友的

人數是36和108的最大公因數.36和108的最大公因數是36,也就是可分

給36個小摯友.

含有6個因數的數，它的質因數有以下兩種狀況:一是有5個相同的質

因數連乘；二是有兩個不同的質因數其中一個需連乘兩次，假如用."表示

含有6個因數的數，用a和。表示M的質因數，則

M=或M=a2xb

因為〃是兩位數，所以滬司只有一種可能滬2\而滬aQ。就有以下

15種狀況:

所以,含有6個因數的兩位數共有

15+1=16(個)

11.三個數都不是質數,至少是兩個質數的乘積，兩兩之間的最大公

因數只能分別是2,3和5,這種自然數有6,10,15和12,10,15與18,10,15

三組.

12.四個數的最大公因數必需能整除這四個數的和，也就是說它們的

最大公因數應當是1111的因數.將1111作質因數分解，得

1111=11x101

最大公因數不行能是1111,其次最大可能數是101.若為101,則將這四個數

分別除以101,所得商的和應為11.現有

1+2+3+5=11,

即存在著下面四個數

101,101x2,101x3,101x5,

它們的和恰好是

101x(1+2+3+5)=101x11=1111,

它們的最大公因數為101.

所以101為所求.

13.黃鼠狼掉進陷井時已跳的行程應當是2?與12。的“最小公倍數”

48

即跳了“+口=9次掉進陷井，狐貍掉進陷井時已跳的行程應當是4,

4442

和12。的“最小公倍數”即跳了史+次掉進陷井.

8222

經過比較可知，黃鼠狼先掉進陷井，這時狐貍已跳的行程是

4,x9=40.5(米).

2

14.先將12、300分別進行質因數分解：

12=22X3

300=22X3X52

(1)確定a的值.依題意a只能取12或12x5(=60)或12x25(=300).

(2)確定力的值.

當5=12時"可取12,或12x5,或12x25；

當爐60,300時，〃都只能取12.

所以，滿意條件的外人共有5組：

{爐12{a=12-a=12{爐60{a=300

房12,ZF60.爐300,左：2,左12.

(3)確定a,力,c的組數.

對于上面a、6的每種取值，依題意，c＞均有6個不同的值：

52,52x2,52X22,6X3,52X2X3,52X22X3,即25,50,100,75,150,

300.

所以滿意條件的自然數a、b、。共有5x6二30(組)

因數與倍數相關習題(2)

一、填空題

1.把20個梨和25個蘋果平均分給小摯友，分完后梨剩下2個，而

蘋果還缺2個，一共有個小摯友.

2.幼兒園有糖115顆、餅干148塊、桔子74個，平均分給大班小摯

友；結果糖多出7顆，餅干多出4塊，桔子多出2個?這個大班的小摯友

最多有人.

3.用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個正方形，最少須

要用這樣的木板_____塊.

4.用長是9厘米、寬是6厘米、高是7厘米的長方體木塊登成一個正

方體，至少須要這種長方體木塊塊.

5.一個公共汽車站，發出五路車，這五路車分別為每隔3、5、9、15、

10分鐘發一次，第一次同時發車以后，分鐘又同時發其次次車.

6.動物園的飼養員給三群猴子分花生,如只分給第一群,則每只猴子

可得12粒；如只分給其次群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，

則每只猴子可得20粒.則平均給三群猴子,每只可得粒.

7.這樣的自然數是有的:它加1是2的倍數,加2是3的倍數,加3是

4的倍數,加4是5的倍數,加5是6的倍數,加6是7的倍數,在這種自然

數中除了1以外最小的是.

8.能被3、7、8、11四個數同時整除的最大六位數是.

9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組,要求每一組中隨意兩

個數的最大公因數是1,則至少要分成組.

10.210與330的最小公倍數是最大公因數的_倍.

二、解答題

11.公共汽車總站有三條線路，第一條每8分鐘發一輛車，其次條每

10分鐘發一輛車，第三條每16分鐘發一輛車，早上6：00三條路途同時

發出第一輛車.該總站發出最終一輛車是20:00,求該總站最終一次三輛車

同時發出的時刻.

12.甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公因數，商是12.假如甲

乙兩數的差是18,則甲數是多少乙數是多少

13.用工、紋、1-L分別去除某一個分數，所得的商都是整數.這個

285620

分數最小是幾

14.有15位同學,每位同學都有編號,他們是1號到15號，1號同學寫

了一個自然數,2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被他的

編號數整除.1號作了檢驗：只有編號連續的二位同學說得不對，其余同學

都對，問:

(1)說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數

(2)假如告知你，1號寫的數是五位數，請找出這個數.

--------------------------------答案------------------------------

答案：

1.9

若梨削減2個,則有20-2=18(個)；若將蘋果增加2個,則有

25+2=27(個)，這樣都被小摯友剛巧分完.由此可知小摯友人數是18與27

的最大公因數.所以最多有9個小摯友.

2.36

依據題意不難看出，這個大班小摯友的人數是

115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因數.

所以，這個大班的小摯友最多有36人.

3.56

所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數,也就

是長方形木板的長和寬的公倍數，又要求最少須要多少塊,所以正方形木

板的邊長應是14與16的最小公倍數.

先求14與16的最小公倍數.

31614

87

故14與16的最小公倍數是2x8x7=112.

因為正方形的邊長最小為112厘米,所以最少須要用這樣的木板

"2x112=7x8=56（塊）

16x14

4.5292

與上題類似，依題意，正方體的棱長應是9,6,7的最小公倍數，9,

6,7的最小公倍數是126.所以,至少須要這種長方體木塊

田歸5292（塊）

［注］上述兩題都是利用最小公倍數的概念進行“拼圖”的問題，前一

題是平面圖形，后一題是立體圖形，思索方式相同，后者可看作是前者的

推廣.將平面問題推廣為空間問題是數學家喜愛的探討問題的方式之一.

希望引起小摯友們留意.

5.90

依題意知,從第一次同時發車到其次次同時發車的時間是3,5,9,15和

10的最小公倍數.

因為3,5,9,15和10的最小公倍數是90,所以從第一次同時發車后90

分鐘乂同時發其次次車.

6.5

依題意得

花生總粒數二12x第一群猴子只數

二15x其次群猴子只數

二20x第三群猴子只數

由此可知,花生總粒數是12,15,20的公倍數,其最小公倍數是60.花生

總粒數是60,120,180,……，則

第一群猴子只數是5,10,15,

其次群猴子只數是4,8,12,

第三群猴子只數是3,6,9,……

所以，三群猴子的總只數是12,24,36,…….因此，平均分給三群猴

子,每只猴子所得花生粒數總是5粒.

7.421

依題意知，這個數比2、3、4、5、6、7的最小公倍數大1,2、3、4、5、

6、7的最小公倍數是420,所以這個數是421.

8.999768

由題意知,最大的六位數是3,7,8,11的公倍數,而3,7,8,11的最小公

倍數是1848.

因為999999:1848=541……231,由商數和余數可知符合條件的最大六

位數是1848的541倍，或者是999999與231的差.所以，符合條件的六位

數是999999-231=999768.

9.3

依據題目要求，有相同質因數的數不能分在一

組,26=2x13,91=7x13,143=11x13,所以，所分組數不會小于3.下面給出一

種分組方案：

(1)26,33,35；(2)34,91；(3)63,85,143.

因此，至少要分成3組.

［注］所求組數不肯定等于出現次數最多的質因數的出現次數，如

15=3x5,21=3x7,35=5x7,3,5,7各出現兩次，而這三個數必需分成三

組，而不是兩組.

除了上述分法之外，還有多種分組法,下面再給出三種：

(1)26,35；33,85,91；34,63,143.

(2)85,143,63；26,33,35；34,91.

(3)26,85,63；91,34,33；143,35.

10.77

依據“甲乙的最小公倍數x甲乙的最大公因數二甲數x乙數”，將

210x330分解質因數，再進行組合有

210x330=2x3x5x7x2x3x5x11

=22x32x52x7xll

=(2x3x5)x(2x3x5x7x11)

因此，它們的最小公倍數是最大公因數的7x11=77(倍).

11.依據題意,先求出8,10,16的最小公倍數是80,即從第一次三車

同時發出后,每隔80分鐘又同時發車.

從早上6:00至20:00共14小時,求出其中包含多少個80分鐘.

60x14-80=10-40分鐘

由此可知,20:00前40分鐘，即19:20為最終一次三車同時發車的時

刻.

12.甲乙兩數分別除以它們的最大公因數，所得的兩個商是互質數.

而這兩個互質數的乘積,恰好是甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公

因數所得的商一一12.這一結論的依據是：

（我們以“約”代表兩數的最大公因數，以“倍”代表兩數的最小公倍

數）

甲數x乙數二倍x約

甲裝數銬,所以：

約X約約X約

甲數乙數倍甲數乙數19

約約約約約

將12變成互質的兩個數的乘積：

①12=4x3,②12=1x12

先看①，說明甲乙兩數：一個是它們最大公因數的4倍，一個是它們最

大公因數的3倍.

甲乙兩數的差除以上述互質的兩數（即4和3）之差,所得的商，即甲乙

兩數的最大公因數.

18+(4-3)二18

甲乙兩數，一個是：18x3=54,另一個是：18x4=72.

再看②,18+(12