2024-2025學年度第二學期期中考試高一數學試卷滿分：150分時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】根據共軛復數的定義，復數的四則運算進行計算.【詳解】由，則，則.故選：B.2.已知不重合的直線m、n、l和平面，下列命題中真命題是（）A.如果l不平行于，則內的所有直線均與l異面B.如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C.如果，，m、n共面，那么D.如果，那么m平行于經過n的任何平面【答案】C【解析】【分析】根據點、線、面的位置關系并結合圖形即可判斷答案.【詳解】對于A，當l與相交與點時，在平面內，過點的直線與l都是共面的，故A錯誤；對于B，如圖1，可能是，故B錯誤；對于C，設m、n共面于平面，由，可得,由，則根據線面平行的性質可得，故C正確；對于D，若，則m平行于經過n的任何平面或m在經過n的平面內，故D錯誤．故選：C.3.如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據平面圖形和直觀圖的關系，即可求解.【詳解】畫出原平面圖形，根據平面圖形和直觀圖的關系可知，，則，則，，所以這個平面圖形的面積為.故選：C4.已知向量，，在正方形網格中的位置如圖所示．若網格紙上小正方形的邊長為1，則（）A. B. C.6 D.10【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，可得，再根據平面向量的線性運算及數量積的坐標表示直接計算即可.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖所示，易得，則，所以.故選：D.5.已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：如圖為等腰直角三角形旋轉而成的旋轉體，，故選B．考點：圓錐的體積公式．6.設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是x軸，y軸正方向的單位向量．若，則把有序實數對叫做向量在斜坐標系中的坐標，記作；若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設定義可得，再根據平面向量數量積的運算律求解即可.【詳解】由題意，，與夾角為，且，則，則.故選：D.7.在中，，的平分線AD交BC邊于點D，的面積是的面積的2倍，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三角形的面積公式，結合等面積法可得，，解出，進而求解即可.【詳解】由題意，AD為的平分線，，則，由，則，即，①又，則，則，②由①②可得，，所以.故選：C.8.如圖，已知正三角形ABC的邊長為，其中心為，以為圓心作半徑為的圓，點M為圓上任意一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接交于點，連接，建立平面直角坐標系，設，，根據平面向量的數量積的坐標表示及輔助角公式可得，進而結合正弦函數的性質求解即可.【詳解】連接交于點，連接，在正三角形ABC中，由于O為三角形ABC的中心，且三角形ABC的邊長為，則為中點，且，，，以為原點，平行于的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，由于，設，，則，，所以，由于，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，，則下列結論正確的是（）A. B.若，則或C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據復數的幾何意義和共軛復數的定義，結合復數的乘法運算依次判斷選項即可.【詳解】對于A，設，則，所以，又，所以，故A正確；對于B，設，滿足，此時且，故B錯誤；對于C，設，則，，滿足，而，故C錯誤；對于D，由，則是的共軛復數，則，故D正確.故選：AD.10.如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結論正確的是（）A.圓錐的側面積為B.三棱錐體積的最大值為C.圓錐外接球體積為D.若，為線段上的動點，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】代入圓錐的側面積公式，判斷A，根據點的位置，確定三棱錐體積的最大值，判斷B，根據題中的條件，確定圓錐的外接球的球心和半徑，判斷C，翻折，使四點共面，即可確定的最小值.【詳解】由條件可知，，圓錐的側面積為，故A錯誤；B.當是的高時，此時的面積和三棱錐的體積最大，體積的最大值是，故B正確；C.因為，所以圓錐外接球的球心即為點，半徑為，所以外接球的體積為，故C正確；D.若，則是等腰直角三角形，，，所以是等邊三角形，如圖，將沿翻折，使四點共面，此時三點共線時，的最小值是，中，，由余弦定理可知，，故D正確.故選：BCD11.點O為所在平面內一點，且，則下列選項正確的是（）A.B.直線AO必過BC邊的中點C.D.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據平面向量的線性運算判斷即可；對于B，先假設直線過邊的中點，設，根據平面向量的線性運算可得，即可判斷；對于C，由可得，可得，進而求解判斷即可；對于D，平面向量的數量積的運算律求解判斷即可【詳解】對于A，由，則，則，即，故A正確；對于B，若直線過邊的中點，設，則，故B錯誤；對于C，由，則，即則，故C正確；對于D，由，，且，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．若滿足條件的有兩個，則c的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】根據正弦定理用表示出，結合題意得到關于的不等式，解不等式即可.詳解】由正弦定理，可得，所以，若滿足條件的有兩個，即三角形有兩解，所以，且，則，即，解得，則c的取值范圍是.故答案為：.13.如圖，有一長為100m的斜坡AB，傾斜角為，在不改變坡高和坡頂的前提下，通過加長坡面方法將其傾斜角改為（如圖），則坡底應延長_______m．【答案】【解析】【分析】由題意，可得，再結合正弦定理求解即可.【詳解】由題意，可得，，在中，由正弦定理得，則，解得，則坡底應延長.故答案為：.14.在中，O是的外心，G是的重心，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據重心、外心的性質，由平面向量數量積的運算化簡可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可.【詳解】記內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，取的中點D，如圖，

因為O是的外心，所以，又G是的重心，所以為的中點，則，則，又，所以，即，則，當且僅當，即時取等號，此時，則的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數（，i是虛數單位）（1）若復數，且是實數，求實數m的值；（2）若復數，且復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數m的取值范圍．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）由復數的運算法則化簡后可得，再根據復數的定義計算；（2）由復數的運算法則化簡后可得，再由對應點所在象限求得參數范圍．【小問1詳解】由，，則，因為是實數，所以，即.【小問2詳解】由，，則，因為復數在復平面內對應的點在第一象限，所以，解得，則實數m的取值范圍為．16已知向量．（1）求向量在向量上的投影向量；（2）求向量與夾角為鈍角，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據平面向量的數量積、模的坐標表示，結合投影向量的定義求解即可；（2）由題意可得，且與不共線，進而求解即可.【小問1詳解】由，則，，所以向量在向量上的投影向量為.【小問2詳解】由，則，，因為向量與夾角為鈍角，所以，且與不共線，則，解得且，所以m的取值范圍為．17.如圖在四棱錐中，，分別是的中點，．（1）求證：平面；（2）若點F在棱上且滿足，平面，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，結合中位線性質先證明面面平行，再根據性質得到線面平行；（2）已知線面平行，利用線面平行的性質得到線線平行，再結合向量關系求出的值.【小問1詳解】取的中點，連接.因為是中點，是的中點，根據三角形中位線定理，所以在中，.又因為平面，平面，所以平面又因為，是的中點，是的中點，根據梯形中位線性質，得到，又因為平面，平面，所以平面.并且，平面，則平面平面，且平面，所以平面.【小問2詳解】連接交于點，連接因為，所以.由，根據相似三角形的性質：相似三角形對應邊成比例，可得.因為平面，平面，平面平面，根據直線與平面平行的性質所以.所以在中，.因為，則.又因為，即，所以.18.在中，已知，，，，，CM與BN相交于點P．（1）求CM的長度；（2）若，求的值；（3）求的最小值，并求此時的余弦值．【答案】（1）（2）（3）的最小值為，的余弦值為【解析】【分析】（1）根據平面向量的線性運算可得，再根據平面向量的數量積的運算律求解即可；（2）根據平面向量共線的推論，可得，進而根據平面向量的數量積的運算律求解即可；（3）根據平面向量的線性運算及數量積的運算律，可得，即可得到時，取得最小值，進而得到，，進而根據平面向量的數量積的運算律及夾角的余弦公式求解即可.【小問1詳解】因為，則，則，則，即CM的長度為.【小問2詳解】當時，，由于三點共線，則存在實數，使得，由于三點共線，則存在實數，使得，所以，解得，則，則.【小問3詳解】由，，，則，，所以，則時，取得最小值.此時，，則，，所以，，由（1）知，，所以.19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若且，求的面積；（3）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據正弦定理及兩角和正弦公式化簡求解即可；（2）先根據兩角差的正切公式結合可得，再結合同角三角函數的基本關系求得，進而求