大聯考2024—2025學年（下）高一年級期中考試數學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據復數的運算法則，化簡得到，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由復數，所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.故選：D2.下列說法中正確的個數是（）①棱柱的所有面都是四邊形；②一個棱柱至少有6個頂點，9條棱，5個面；③過圓錐側面上任意一點有無數條母線；④水平放置的三角形用斜二測畫法畫出的直觀圖一定是三角形．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用棱柱的性質，棱錐的特點及斜二測畫法特點進行判斷即可.【詳解】不是所有棱柱的所有面都是四邊形，比如六棱柱的底面是六邊形，①不正確；一個三棱柱有6個頂點，9條棱，5個面，②正確；過圓錐側面上任意一點只有一條母線，③不正確；根據斜二測畫法的特點可知水平放置的三角形用斜二測畫法畫出的直觀圖一定是三角形，④正確.故選：B3.已知在邊長為的正方形中，點滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量線性運算與數量積的定義直接求解即可.【詳解】.故選：B.4.在中，內角所對的邊分別為，已知（為常數），若該三角形有兩個解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由三角形有兩個解可得，代入值求解即可.【詳解】若該三角形有兩個解，則，又，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.5.人臉識別就是利用計算機檢測樣本之間的相似度來識別身份的一種技術，余弦距離是檢測相似度的常用方法．假設平面內有兩個點為坐標原點，定義余弦相似度為，余弦距離為．已知點，則兩點的余弦距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數量積的定義求出夾角，根據題意計算即可.【詳解】根據題意，，則，所以兩點的余弦距離為.故選：C6.如圖所示為關于對稱的兩個等腰與，已知，則該平面圖形（陰影部分）繞著直線旋轉形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據已知條件確定該平面圖形分別繞著直線旋轉一周形成的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐形成的幾何體，據此計算即可求解.【詳解】該平面圖形分別繞著直線旋轉一周形成的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐形成的幾何體，因為，所以圓柱的高為1，圓柱底面半徑為，圓錐的底面半徑為，高為，所以該幾何體的體積為.故選：D7.已知三棱錐的每條側棱與它所對的底面邊長相等，且，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意將三棱錐嵌入一個長方體內，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設長方體交于一個頂點的三條棱長為，利用勾股定理得到方程組求出，再求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積；【詳解】根據題意：將三棱錐嵌入一個長方體內，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設長方體交于一個頂點的三條棱長為，該三棱錐的外接球的半徑為，如圖：則有，所以，所以，即，所以球的體積為，故選：A.8.已知在矩形中，，點為矩形所在平面內一點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，求得和的坐標，利用向量的數量積的坐標運算公式，得到，進而求得的最小值，得到答案.【詳解】如圖所示，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，設，則，可得，則，所以，所以當且僅當時，取得最小值.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數均不為0，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用復數的乘法和除法運算可得答案.【詳解】對于A，，，顯然，A不正確；對于B，設，，則，，，所以，B正確；對于C，設，，，，，所以，C正確；對于D，，，D正確；故選：BCD10.已知在中，角所對的邊分別為，則根據下列條件能確定為鈍角的是（）A. B.C.均為銳角，且 D.【答案】AC【解析】【分析】根據即可根據判斷A，根據余弦定理即可求解BD，根據三角函數的性質即可求解C.【詳解】對于A,由可得，故為鈍角，故A正確，對于B,由可得為銳角，故B錯誤，對于C,由于均為銳角，且,,故,因此，故為鈍角，故C正確，對于D，由可得，進而可得,故，進而可得,無法確定的大小，故D錯誤，故選：AC11.如圖是一個圓臺的側面展開圖，若，所在圓的半徑分別是2和4，且，則（）A.圓臺的側面積為 B.圓臺的高為C.圓臺的體積為 D.圓臺內部可以容納的球的直徑最大為【答案】BCD【解析】【分析】A選項，由扇形弧長和面積公式得到扇形和扇形的面積，相減得到A錯誤；B選項，求出圓臺上下底面的半徑，作出輔助線，由勾股定理求出圓臺的高；C選項，根據圓臺體積公式得到C正確；D選項，根據圓臺的高得到當球的直徑為時，半徑為，求出此時球心到的距離為，得到D正確.【詳解】A選項，由題意得，又，故，扇形的面積為，扇形的面積為，故圓臺的側面積為，A錯誤；B選項，圓臺母線長，由題意得，，解得，過點作⊥于點，為圓臺的高，則，，由勾股定理得，圓臺的高為，B正確；C選項，圓臺的體積為，C正確；D選項，由于圓臺的高為，當球的直徑為時，半徑為，梯形的面積為，，，故，又，故此時球心到的距離為，而，故圓臺內部可以容納的球的直徑最大為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，則______．【答案】【解析】【分析】由，平方化簡得到和，聯立方程組，即可求解.【詳解】由，可得，即，又由，可得，即，整理得，即，即，聯立方程組，可得，所以.故答案為：.13.已知向量滿足，若與共線，則實數______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標表示，結合向量共線坐標條件列式計算即得.【詳解】由向量，得，由與共線，得，所以.故答案為：.14.如圖，某小區的平面圖是半徑為300米，圓心角的扇形，小路平行于，且點在上，點在上，若米，則劣弧的長為______米．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求出劣弧的圓心角，利用弧長公式可得答案.【詳解】連接，設，因為，所以，因為，所以，由正弦定理，因為，所以，因為，所以，所以劣弧的長為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數．（1）求的實部與虛部；（2）若，求和的值．【答案】（1）的實部為，虛部為；（2）．【解析】【分析】（1）利用復數的除法運算化簡，再根據實部和虛部的概念求解；（2）利用共軛復數、復數的模長公式代入計算，根據復數相等列方程組，求解即可.【小問1詳解】因為，所以的實部為，虛部為．【小問2詳解】由（1）知，則，，代入，得，化簡可得，所以，解得.16.已知平面向量滿足，且．（1）求與的夾角；（2）若向量，且，求及．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）根據向量數量積運算律運算即可求解；（2）由化簡計算得，再根據向量模長計算公式計算即可得.【小問1詳解】因為，所以，所以，又，所以．【小問2詳解】因為，所以，解得，所以，因為，所以．17.如圖，正方體的棱長為分別是棱的中點，截面將該正方體分成兩部分，這兩部分的體積分別為，且．（1）求；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據錐體體積公式可得，在利用割補法求；（2）根據題意利用等體積法求點到面的距離.【小問1詳解】截面將正方體分成兩個幾何體，其中較小部分是一個三棱錐，其底面是腰長為的等腰直角三角形，面積為．又底面上的高為，所以三棱錐的體積．因為正方體的體積，所以剩余部分的體積．【小問2詳解】在中，，如圖，取的中點，連接，則，所以，的面積．設點到平面的距離為，因為三棱錐與三棱錐是同一個幾何體，所以，結合（1）得，即，解得，所以點到平面的距離為．18.已知的內角的對邊分別為，向量，且．（1）求；（2）若，求周長的取值范圍；（3）若是邊上的點，且平分，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）由得，再利用余弦定理求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求范圍；（3）由，結合三角形面積公式得，再利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因為，所以，即，即，由余弦定理得，化簡得，所以，又，所以．【小問2詳解】由余弦定理可知，即，整理得，當且僅當時等號成立，即，于，當且僅當時等號成立，又，所以，所以，即周長的取值范圍為．【小問3詳解】因為，所以，可得，因為，當且僅當時等號成立，又由（2）可知，，所以，當且僅當時等號成立．所以的最大值為．19.（1）某工廠有一種水晶球需用禮盒包裝，為節省費用，設計的禮盒需剛好卡住球．現有兩種設計方案，一種是正方體禮盒（如圖（1）），另一種是圓柱形禮盒（如圖（2）），在不計損耗的情況下圓柱形禮盒單位面積的費用是正方體禮盒的1.6倍，問：工廠選擇哪一種禮含更經濟實惠？（2）設某長方體禮盒的長，寬，高分別為．（ⅰ）若用十字捆扎法（如圖（3）），且長方體各面上的每一段彩帶都與所在底面的相應邊平行，求所需彩帶的總長度；（不考慮接口處的彩帶長度）（ⅱ）若用對角捆扎法（如圖（4）），且2cm，不考慮接口處的彩帶，結合（ⅰ），比較兩種捆扎方法中哪一種所用彩帶較短，較短的約為多少厘米？（結果保留到整數）參考數據：．【答案】（1）工廠選擇正方體禮盒更經濟實惠;（2）（ⅰ）48cm；（ⅱ）35cm．【解析】【分析】（1）設球的半徑為，正方體禮盒的造價為元，正方體禮盒，圓柱形禮盒的總造價分別為，結合，得到，即可得到答