二。二四年齊齊哈爾市初中學業考試

數學試卷

考生注意：

1.考試時間120分鐘

2.全卷共三道大題，總分120分

3.使用答題卡的考生，請將答案填寫在答題卡的指定位置

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.實數-5的相反數是（）

A.5B.—5C.-D.—

55

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了相反數的判斷，根據相反數的定義解答即可.

【詳解】-5的相反數是5.

故選：A.

2.下列美術字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

MATH

【答案】D

【解析】

【分析】中心對稱圖形的定義：旋轉180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，軸對稱圖形的定

義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

叫做對稱軸，根據定義即可判斷出答案.

【詳解】解：選項A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A不符合題意；

選項8是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故8不符合題意；

選項C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；

選項。是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故。符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，熟記兩種圖形的特點并準確判斷是解題的關鍵.

3.下列計算正確是（）

A.4^2+2a2=6a4B.5。2a=10。

C.a6^a2=a3D.（-/『二/

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了積的乘方、合并同類項、同底數暴相乘、除，根據運算法則逐項分析，即可作答.

【詳解】解：A、4a2+2a2=6a2^6a^故該選項不符合題意；

B、5a2a=10a21?故該選項不符合題意;

C、々6+/=/聲/,故該選項不符合題意;

D、（―/7二',故該選項符合題意;

故選：D

4.將一個含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則/2的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理.根據對頂角相等和三角形的內角和定理，即可求解.

詳解】解：如圖所示,

由題意得/3=/1=50。，N5=90。，N2=/4,

???Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故選:B.

5.如圖，若幾何體是由5個棱長為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是()

主視方向

A.6B.7C.8D.9-

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，根據從左面看得到的圖形是左視圖，從上面看的到的視圖是俯視

圖，再根據面積的和，可得答案.

【詳解】左視圖:土

俯視圖:

???該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是：7x1x1=7

故選：B

6.如果關于、的分式方程;一號二。的解是負數’那么實數〃?的取值范圍是<)

A.<1且mW0B.m<1C.m>1D.且團工一1

【]A

【解析】

【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程的

解是負數得到1<0,并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出山的取值范圍即可，熟練掌握

解分式方程的步驟是解題的關鍵.

【洋解】解：方程兩邊同時乘以工(1+1)得，x+l-twc=0,

解得]=-!-；■

m-\

???分式方程的解是負數,

/H-1<0,

/.in<\,

又：x（x+l）w。，

:.x+1工0,

/.---工-1,

m-\

；?tn工0，

<1且m工0,

故選：A.

7.六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運動項目，且

每名學生在一個大課間只能選擇參加一種運動項目，則甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項

目的概率是（）

111

A.3-4-6-

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用4、B、C、。表示籃球、足球、排球、羽毛球，根

據題意畫樹狀圖求解即可.

【詳解】解：分別用4、8、C、。表示籃球、足球、排球、羽毛球，

列樹狀圖如F：

八八八八

乙ABCDABCDABCDABCE

由樹狀圖可知，共有16種等可能情況，其中甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的情況有

4種，

41

即甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是一=一，

164

故選：C.

8.校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現突出的學生，計劃拿出200元錢全部用

于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本（兩種都要購買）作為獎品，則購買方案有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程的應用，設單價分別為8元和io元的兩種筆記本分別為x,y個，根據題

意列出方程，根據整數解的個數，即可求解.

【詳解】解：設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個,

依題意，8.r+10^=200

2+25

4

r,）'為正整數,

???當y=4時,X=2O,

當y=8時，x=15

當y=12時，x=10

當y=16時，工=5

，購買方案有4種，

故選:B.

9.如圖，在等腰RtZXABC1中，N84C=90。，A3=12,動點E，尸同時從點4出發，分別沿射線A5和

射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點￡停止運動時，點尸也隨之停止運動，連接Eb,以EF

為邊向下做正方形EFGH,設點E運動的路程為為（0<x<12）,正方形EFG”和等腰RtZ\A3c重合部

分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查動態問題與函數圖象，能夠明確），與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間

的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當例與BC重合時，及當工《4時圖象的走

勢，和當”>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解：當陽與8c重合時，設=由題可得:

:,EF=EH=0，BE=\2-x,

在RtZ\E7〃?中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2?

???(V2x)2+(缶)2=(12-療，

/.1=4,

???當0<xW4時，y=(&x)=2x2?

2>0,

???圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當」勿在BC下方時，設AE=x,由題可得：

:?EF=g,BE=\2-x,

VZAEF=ZB=45%ZA=ZEOB=90°,

???7FAEKE0B,

,AEEO

??二,

EFEB

x=EO

:F=右，

n-x

???EO

???當4Vx<12時，y=-12)x=-x2+x,

V-l<0,

???圖象為開口向下的拋物線的一部分,

綜上所述：A正確，

故選：A.

10.如圖，二次函數)，=依2+加+2(4。0)的圖象與X軸交于(TO),(/0),其中2<x<3.結合圖

象給出下列結論:

③當x>i時，y隨k的增大而減小；

2

④關于x的一元二次方程0^+以+2=0（。工0）的另一個根是-/；

4

⑤b的取值范圍為1<〃<§.其中正確結論的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據二次函數的圖象與性質判斷結論①②③正誤；由二次函數與一元二次方程的關系判斷結論

④；利用結論④及題中條件2<%<3可求得。的取值范圍，再由結論②=一2可得力取值范I制，判斷

⑤是否正確.

【詳解】解：由圖可得：。<0,對稱軸工二一上~>0,

2a

:.ab<0,①錯誤；

由圖得，圖象經過點（一1,0）,將（一1,0）代入），二奴2+At+c可得々—8+2=0,

:.a-b=-2,②正確：

???該函數圖象與x軸的另一個交點為（％,0）,且2<%<3,

對稱軸x=--—<1,

2a

???該圖象中，當x〉—A時，>隨著”的增大而減小，當x<—2時，），隨著X的增大而增大，

la2a

二.當x>l時，隨著x的增大而減小，

??.③正確；

?;b=a+2,c=2,

???關于x一元二次方程以2+（Q+2）x+2=0（aw0）的根為

-h+x/h2—4ac_-(〃+2)±J(〃+2)-8。_—(6;4-2)±|?-2|

X=-------------------=--------------------------------=---------------------

2a2a2a

"0,

-(〃+2)-(2-4)2-(4+2)+2-〃

2aa2a

??.④正確：

2

???2<%<3,即2V——<3,

a

2

解得—1<。<—,

3

\,a-b=-2即a=b-2,

—1</?—2<—,

3

,,4

1<Z?<一,

3

???⑤正確.

綜匕②③④⑤正確，共4個.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是二次函數的圖象與性質、拋物線與x軸的交點問題、一元二次方程的根與系

數的關系、二次函數與不等式的關系等知識，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質.

二、填空題（每小題3分，滿分21分）

11.共吉?團中央發布數據顯示：截至2023年12月底，仝國共有共吉團員7416.7萬名.將7416.7萬用科學

記數法表示為.

【答案】7.4167X107

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法.科學記數法的表示形式為ax10〃的形式，其中1<M<1。，〃為整數.確

定〃的值時，要看把原數變成“時，小數點移動了多少位，〃的絕對值大于1與小數點移動的位數相同.

【詳解】解：7416.7萬=74167000=7.4167x1（）7,

故答案為：7.4167xl07

12.如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M,交y軸正半軸

于點N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H,畫射線O”，

2

若“（2々-1,々+1）,則〃=.

【答案】2

【解析】

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點〃在第一

象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案.

【詳解】解：根據作圖方法可得點"在第一象限角平分線上；點”橫縱坐標相等且為正數：

:.2a—}=a+\?

解得：。=2,

故答案為：2.

11

13.在函數》=不=+—^中，自變量x的取值范圍是____.

【答案】x>—3且xw—2

【解析】

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組

解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵.

[3+x>0

【詳解】解：由題意可得，{c八，

x+2wO

解得x>-3且X/一2,

故答案為：x>-3且xw—2.

14.若圓錐的底面半徑是1cm,它的側面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為cm.

【答案】V15

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的計算.設圓錐的母線長為心根據阿錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧

長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到24」=見變，然后解方程即可

180

得母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【詳解】解：設圓錐的母線長為R,

根據題意得24/二豈"，

180

解得：R=4.

即圓錐的母線長為4cm,

???圓錐的高="2_尸=y/15cm，

故答案是：JI5.

k

15.如圖，反比例函數_y=—（x〈0）的圖象經過平行四邊形ABCO的頂點A,。。在工軸上，若點8（-1,3）,

SaXRCO=3,則實數上的值為?

【答案】-6

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數，根據4B的縱坐標相同以及點A在反比例函數上得到A的坐標，進而

用代數式表達AB的長度，然后根據S°A8co=3列出一元一次方程求解即可.

【詳解】???A3C。是平行四邊形

兒5縱坐標相同

???B（—1,3）

的縱坐標是3

A在反比例函數圖象上

.??將y=3代入函數中，得到舊

1一3

SoABCO=3,B的縱坐標為3

/.|A^x3=3

解得：k=-6

故答案為：-6.

16.已知矩形紙片ABC。，AB=5,BC=4,點P在邊BC上，連接AP,將△A8P沿A尸所在的直線折

疊，點B的對應點為B'，把紙片展平，連接BB'，CB',當VBC3'為直角三角形時，線段CP的長為.

【答案】1或2

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，分兩種情況進行

討論：當N8C8'=90。時，當NB8'C=90。，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：???四邊形A3C。為矩形，

/.ZBCD=ZADC=ZABC=ZBAD=90°,AB=CD=5,AD=BC=4,

當NBC?=90。時，如圖所示：

???點方在CD上,

根據折疊可知：ABf=AB=5,BP=?P,

設CP=x,則尸=4一工，

???DB'=yjAB,2-AD1=>/52-42=3>

CF-DC—DB'-5-3-2,

RSCB/中，根據勾股定理得：B'P2=B'C2+CP?，

即（4—x>=22+f,

解得：X二彳，

2

即0=3；

2

當/ETC=90。，如圖所示:

???/PBF=/PB'B，

???/PBB'+ZBCB1=90°,NPB'B+NPB'C=90°，

???/BCB'=NCB'P,

:.PC=PE,

???PC=PB,

???BC=BP+PC=4,

/.CP=2；

3

綜上分析可知：CP=—或2.

2

3

故答案為：一或2,

2

17.如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角

形04c置于平面直角坐標系中，點。的坐標為（00）,點B的坐標為（1,0）,點C在第一象限，

NOBC=120。.將△Q5C沿工軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點

。的對應點為。'，點。的對應點為C',OC與。C'的交點為4,稱點A為第一個“花朵”的花心，點右

為第二個“花朵”的花心：……；按此規律，△03。滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質，點的坐標規律探索.連接48,求得人8=走，

OD=$oc=6分別得到AL曰],4（3+后乎，A5+20岑J,L,推導得到

4”1+（〃-1）（2+@,理）△QBC滾動一次得到A，△03C滾動四次得到&,/XOBC滾動七次得

到&,由此得到△03C滾動2024次后停止滾動，則〃=（2024+1）+3=675,據此求解即可.

【詳解】解：連接A],

由題意得ZBOC=ZBCO=30°，ABOC=ABCO=30°，OB=BC=OB=BC'=1,

??.”_LOC',

AA^=C)^tan30o=—.BD=\-OB=\,OD=y/OB2-BD2=—.

3222

???OC=C'E=5

：.A

A3+6,

同理45+26,日)

△O6C滾動一次得到A,△O6C滾動四次得到&,ZXOBC滾動七次得到A,,

???AOBC滾動2024次后停止滾動，則n=(2024+1)+3=675時,4751349+6746,

故答案為:1349+6740,

三、解答題（本題共7道大題，共69分）

18.(1)計算；"十|-4cos600|一(兀-5)。十M

(2)分解因式：ZcJ—8〃從

【答案】(1)7；(2)2a(a+2b)(a-^)

【解析】

【分析】本題考查了實數的混合運算，因式分解；

(1)根據算術平方根，特殊角的三角函數值，零指數寤，負整數指數累，進行計算即可求解；

(2)先提公因式2”，進而根據平方差公式因式分解，即可求解.

【詳解】(1)解：原式=2+4X」—1+4

2

=2+2-1+4

=7；

(2)解：原式=2〃(/一4〃2)

=2a(a+2〃)(4-?)

19.解方程：A-2-5x+6=0

【答案】xi=2,X2=3

【解析】

【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.

【詳解】利用因式分解法求解可得.

解：Vx2-5x+6=0,

:.(x-2)(x-3)=0,

貝I]x-2=0或x-3=0,

解得川=2,及=3.

【點睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.

20.為提高學生的環保意識，某校舉行了“愛護環境，人人有責”環保知識競賽，對收集到的數據進行了整

理、描述和分析.

【收集數據】隨機抽取部分學生的競賽成績組成一個樣本.

【整理數據】將學生競賽成績的樣本數據分成ABC,。四組進行整理.

(滿分100分，所有競賽成績均不低于60分)如下表：

組別ABCD

成績（X/

6()<x<7070<x<8080<x<9090<x<100

分）

人數（人）in94n16

【描述數據】根據競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統計圖.

（1）填空：rn=,n=；

（2）請補全條形統計圖；

（3）扇形統計圖中，。組對應的圓心角的度數是。；

（4）若競賽成績80分以上（含80分）為優秀，請你估計該校參加競賽的2000名學生中成績為優秀的人

數.

【答案】（1）50,40：

（2）補圖見解析；（3）72：

（4）560.

【解析】

【分析】（1）根據3組人數及其百分比求出抽取的學生人數，進而可求出加、〃的值；

（2）根據（1）中〃八〃的值補圖即可；

（3）用360。乘以C組人數的占比即可求解：

（4）用2000乘以80分以上（含80分）的人數占比即可求解：

本題考查了條形統計圖和扇形統計圖，統計表，樣本估計總體，看懂統計圖是解題的關鍵.

【小問1詳解】

解：抽取的學生人數為94?47%=200人，

A/n=200x25%=50,

????=200-50-94-16=40,

故答案為：50,40；

【小問2詳解】

解：補全條形統計圖如下:

200

故答案為：72；

【小問4詳解】

解：2000x翌±嶼=560,

200

答：估計該校參加競賽的2000名學生中成績為優秀的人數大約是560人.

21.如圖，/8c內接于。0,48為。O的直徑，CD_LA3于點。，將△C/M沿8c所在的直線翻折,

得到ACEB,點。的對應點為延長EC交8A的延長線于點F.

（2）若sinNCFB=也,AB=8,求圖中陰影部分的面積.

2

【答案】（1）見解析（2）2九一4

【解析】

【分析】（1）連接OC,由折疊的性質得NZ）3C=/EBC,NBEC=NCDB=9O0,再證明。C〃BE,

推出/C_LOC,據此即可證明b是。。的切線：

（2）先求得NCF8=45。，在RLCOD中，求得CO=00=2及，再利用扇形面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接。c,

???/CDB=90。，

???△C7M沿直線BC翻折得到,

???4DBC=/EBC,/BEC=/CDB=90°,

?：OB,OC是。。的半徑，

?**OB=OC?

???/OCB="）BC,

:.乙EBC=/OCB,

:.OC//BE,

???4FCO=/BEC=90"

???FC_LOC于點C,

又丁OC為。。的半徑，

CT7是。。的切線；

【小問2詳解】

解：??飛皿/。/8=立，

2

???ZCfB=45°,

由（1）得//。0=90。，

???ZFOC=90°-/CFB=45°,

-CD1AB,

:.ZCDO=90°,

???AB=8,

:.OC=—AB=—x8=4,

22

在Rt^CQD中，N4OC=45。,

???CD=0D=OCsinZAOC=4x

???S,\c(m=-ODCD=-x2y/2x2yf2=4,

?*?S由物A，/=x兀x4?—2兀，

^bAOe360

；?S陽影=S扇形AOC_S4CQD=2兀_4.

【點睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質，解直角三角形.充分運用圓的性質，綜合

三角函數相關概念，求得線段長度是解題的關鍵.

22.領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以〃米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地

面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上

升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高

度為96米時，進行了時長為，秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面.甲、乙兩架無

人機所在的位置距離地面的高度義米）與無人機飛行的時間M秒）之間的函數關系如圖所示.請結合圖象解答

下列問題：

（1）a=米/秒，t=秒；

（2）求線段MN所在直線的函數解析式；

（3）兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？（直接寫出答案即可）

【答案】（1）8,20

（2）y=8x-56；

（3）2秒或10秒或16秒.

【解析】

【分析】本題主要考查求一次函數應用，熟練掌握待定系數法求一次函數的解析式是解題的關鍵.

（1）根據圖形計算即可求解；

（2）先求得甲無人機單獨表演所用時間為19—12=7秒，得到M（13,48）,利用待定系數法即可求解;

（3）利用待定系數法分別求得線段。B、線段AN、線段3M所在直線的函數解析式，再分三種情況討論,

列式計算即可求解

【小問1詳解】

解：由題意得甲無人機的速度為〃=48+6=8米/秒，

，=39-19=20，

故答案為：8,20：

【小問2詳解】

解：由圖象知,N（19,96）,

???甲無人機的速度為8米/秒，

甲無人機勻速從0米到96米所用時間為96+8=12秒，

甲無人機單獨表演所用時間為19-12=7秒，

.\6+7=13#,

AM(13,48),

設線段MN所在直線的函數解析式為y=kx+b,

48=13k+A

將M（13,48）,N（19,96）代入得?

96=192+/?

k=8

解得

b=-56

???線段MN所在直線的函數解析式為y=8x-56；

【小問3詳解】

解：由題意4（0,20）,8（6,48）,

同理線段OB所在直線的函數解析式為y=8x,

線段AN所在直線的函數解析式為＞'=4x+20,

線段BM所在直線的函數解析式為丁=48,

當0W1W6時,由題意得|4%+20-時=12,

解得x=2或x=8（舍去），

當6V/W13時，由題意得依+20—48|=12,

解得工=10或x=4（舍去）,

當13<ZW19時，由題意得|8工一56-4工-20|=12,

解得x=16或x=22（舍去），

綜上，兩架無人機表演訓練到2秒或10秒或16秒時，它們距離地面的高度差為12米.

23.綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙

爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，ZA=90°,

將線段繞點B順時針旋轉90c得到線段BD，作DE上AB交AB的延長線于點E.

圖2圖3

（1）【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段A8與OE的數量關系是

（2）【問題解決】如圖3,連接CO并延長交A5的延長線于點尸，若AB=2，4c=6,求尸的

面積；

BN

（3）【類比遷移】在⑵的條件下，連接CE交BD于點、N,則正=:

2

（4）【拓展延伸I】在Q）的條件下，在直線上找點。，使請直接寫出線段AP的長

3

度.

【答案】(1)AB=DE

9

(2)10(3)—

13

18

(4)—或

77T

【解析】

【分析】（I）根據旋轉的性質可得NC80=90,進而證明△A3C&△EDB（AAS）,即可求解;

（2）根據（1）的方法訐明AABCmxEDWAAS）,進而訐明△/龍尸小。/7.求得E/=4,則《"=10?

然后根據三角形的面積公式，即可求解.

(3)過點N作NMJ.Ab于點證明得出,證明△EWNs△石(“，設

3

54

BM=x,則ME=8E-8M=6-x,代入比例式，得出x=一，進而即可求解；

13

(4)當P在8點的左側時，過點。作PQ_L3C于點。，當Q在8點的右側時，過點P作PT_LBC交

C3的延長線于點7,分別解直角三角形，即可求解.

【小問1詳解】

解：???將線段6C繞點八順時針旋轉90。得到線段80，作DEL/W交人3的延長線于點

圖2

?/ZCBD=90°,

ZABC+/DBE=90°,

/.ZA=90°,

ZABC+ZACB=90,

:"DBE=ZACB,

又???ZA=/DEB=90。且CB=BD

.△ABC%EDB（AAS）,

DE=AB；

【小問2詳解】

解：???NCBD=9。。,

.,.ZABC+NDBE=90。，

/.Z4=90°,

ZABC+ZACB=90,

:"DBE=ZACB，

又???ZA=/DEB=90°且C8=80,

.△ABC%EDB（AAS）,

:.DE=AB，I3E=AC

,/AB=2，AC=6

:.DE=2,BE=6

AE=A5+BE1=2+6=8，

￡DEB+ZA=180°

/.DE//AC,

/.△DEF^ACAF,

,DEEF

~\C~~FA

2—EF

,6-EF+8

，EF=4,

.?.8/=3石+斯=6+4=10,

-D「=gxl°x2=10；

【小問3詳解】

解：如圖所示，過點N作NW_LA/于點M,

C

???Z4=/BMN=90°,ZACB=90°-ZABC=/NBM

:,AABCS^MNB

BN_BM_MN

~BC~~AC~~AB

BNBMMN

即一=——=——,即MN」8M，

BC623

又VMN〃AC

:?AEMNS^ECA

MEMN

???一=——，

AEAC

設^\ME=I3E-/3M=6-x,

6-x3工

-------=±—

86

54

解得：x——

13

54

???BN=8M二行二9；

~BC~^C~~6~n

【小問4詳解】

解：如圖所示，當P在"點的左側時，過點戶作PQ_L8C于點Q

3

tanZ^CP=-1^=|,設尸。=2。，則CQ=3〃，

又???AC=6,A8=2,ZBAC=90°

AC6_____

AtanZ^C=—=-=3,3C="+6?=2向

/\i3乙

??.tanNP8Q=絲=3

BQ

...SQ=^PQ=^a

:.BC=CQ^BQ=-a-￥3a=—a

33

—6/=2x/io,

3

解建

2

在中，PQ=2a.BQ=-a

3

二匹F二駕〃2回一6屈40

???PB

31111

AAP=PB-AB=--2=—

II11

如圖所示，當P在B點的右側時，過點P作PT_L8C交C3的延長線于點T,

???/ABC=ZPBT,N4=NT=90°

???/BPT=ZACB

VtanZ4CT=—=-

AC3

???tanNBPT=—=tanZ/4CB=-

PT3

設BT=b,則=BP一廂b，

PT2

VtanZBCP=——=-,

CT3

.3b：2

?%+29一§

解得：〃=生叵

7

.?.BP=4iob=—

7

4054

AAP=AB+BP=2+—=—

77

54-18

綜上所述，AP=一或一.

711

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性質，

熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

24.綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=與x軸交于點A,與），軸交于點C,過

A,。兩點的拋物線），=如2+山；+4。00）與工軸的另一個交點為點3（-1,0）,點。是拋物線位于第四象限

圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線4C于點E,點尺

->

x

（1）求拋物線的解析式；

（2）點。是x軸上的任意一點，若△AC。是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

（3）當所=AC時，求點夕的坐標；

（4）在（3）的條件下，若點N是），軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接

NA,MP,則八S+M2的最小值為.

1,3

【答案】（1）y=~—x—2

22

(2)D,(-4,0),D2(4+2>/5,0),(4-275,0)

(3)P(2,-3)

【解析】

【分析［本題主要考查了求函數解析式、二次函數與幾何的綜合等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關

鍵.

（1）先根據題意確定點A、C的坐標，然后運用待定系數法求解即可；

（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據等腰三角形的定義以及坐標與圖形即可解答；

(i3、

I2*

（3）先證明4八06士人石刊7（八5人）可得〃尸=0。=2,設P〃?,一